數(shù)學(xué)教案－集合
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說(shuō)明．然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫(huà)圖表示集合的例子．
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
這一節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，難點(diǎn)是運(yùn)用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡(jiǎn)單的集合．這一節(jié)的特點(diǎn)是概念多、符號(hào)多，正確理解概念和準(zhǔn)確使用符號(hào)是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵．為此，在教學(xué)時(shí)可以配備一些需要辨析概念、判斷符號(hào)表示正誤的題目，以幫助學(xué)生提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法．
1．關(guān)于牽頭圖和引言分析
章頭圖是一組跳傘隊(duì)員編成的圖案，引言給出了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，其目的都是為了引出本章的內(nèi)容無(wú)論是分析還是解決這個(gè)實(shí)際間題，必須用到集合和邏輯的知識(shí)，也就是把它數(shù)學(xué)化．一方面提高用數(shù)學(xué)的意識(shí)，一方面說(shuō)明集合和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)．
2．關(guān)于集合的概念分析
點(diǎn)、線(xiàn)、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念．
初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”；初中幾何中也知道中垂線(xiàn)是“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”等等．在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過(guò)實(shí)例，對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)．教科書(shū)給出的“一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集．”這句話(huà)，只是對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明．
我們可以舉出很多生活中的實(shí)際例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)概念，從而闡明集合概念如同其他數(shù)學(xué)概念一樣，不是人們憑空想象出來(lái)的，而是來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界．
3．關(guān)于自然數(shù)集的分析
教科書(shū)中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，與原教科書(shū)不盡相同，應(yīng)該注意．
新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集N含元素0，這樣做一方面是為了推行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù)｛0，1，2，…，9｝中最小的數(shù)，有了0，減法運(yùn)算 仍屬于自然數(shù)，其中 ．因此要注意幾下幾點(diǎn)：
（1）自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合，也就是說(shuō)自然數(shù)集包含0；
（2）自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成 或 ，其他數(shù)集{如整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R}內(nèi)排除0的集，也可類(lèi)似表示 ， ， ；
（3）原教科書(shū)或根據(jù)原教科書(shū)編寫(xiě)的教輔用書(shū)中出現(xiàn)的符號(hào)如 ， ， …不再適用．
4．關(guān)于集合中的元素的三個(gè)特性分析
集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素．例如“中國(guó)的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。
集合中的元素常用小寫(xiě)的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作 ；否則，就說(shuō)a不屬于A，記作
要正確認(rèn)識(shí)集合中元素的特性：
（l）確定性： 和 ，二者必居其一．
集合中的元素必須是確定的．這就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了．例如，給出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他對(duì)象都不用于這個(gè)集合．如果說(shuō)“由接近 的數(shù)組成的集合”，這里“接近 的數(shù)”是沒(méi)有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念，它不能構(gòu)成集合．
（2）互異性：若 ， ，則
集合中的元素是互異的．這就是說(shuō)，集合中的元素是不能重復(fù)的，集合中相同的元素只能算是一個(gè)．例如方程 有兩個(gè)重根 ，其解集只能記為｛1｝，而不能記為｛1，1｝．
（3）無(wú)序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一個(gè)集合．
集合中的元素是不分順序的．集合和點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的概念，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（l，0）和點(diǎn)（0，l）表示不同的兩個(gè)點(diǎn)，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一個(gè)集合．
5．要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念
（1）集合和元素是兩個(gè)不同的概念，符號(hào)和是表示元素和集合之間關(guān)系的，不能用來(lái)表示集合之間的關(guān)系．例如 的寫(xiě)法就是錯(cuò)誤的，而 的寫(xiě)法就是正確的．
（2）一些對(duì)象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合的元素就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別現(xiàn)象．例如對(duì)于集合 ，就是指所有不小于0的實(shí)數(shù)，而不是指“ 可以在不小于0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值”，不是指“ 是不小于0的一個(gè)實(shí)數(shù)或某些實(shí)數(shù)，”也不是指“ 是不小于0的任一實(shí)數(shù)值”……
（3）集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件．
6．表示集合的方法所依據(jù)的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)
本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定．
符號(hào)
應(yīng)用
意義或讀法
備注及示例
諸元素 構(gòu)成的集
也可用 ，這里的I表示指標(biāo)集
使命題 為真的A中諸元素之集
例： ，如果從前后關(guān)系來(lái)看，集A已很明確，則可使用 來(lái)表示，例如
此外， 有時(shí)也可寫(xiě)成 或
7．集合的表示方法分析
集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優(yōu)點(diǎn)．用什么方法來(lái)表示集合，要具體問(wèn)題具體分析．
�。╨）有的集合可以分別用三種方法表示．例如“小于 的自然數(shù)組成的集合”就可以表為：
①列舉法： ；
②描述法： ；
③圖示法：如圖1。
（2）有的集合不宜用列舉法表示．例如“由小于 的正實(shí)數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示，因?yàn)椴荒軐⑦@個(gè)集合中的元素—一列舉出來(lái)，但這個(gè)集合可以這樣表示：
①描述法： ；
②圖示法：如圖2．
（3）用描述法表示集合，要特別注意這個(gè)集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函數(shù) 中自變量 的取值范圍，即 ；
②集合 中的元素是 ，它表示函數(shù)值。的取值范圍，即 ；
③集合 中的元素是點(diǎn) ，它表示方程 的解組成的集合，或者理解為表示曲線(xiàn) 上的點(diǎn)組成的集合；
④集合 中的元素只有一個(gè)，就是方程 ，它是用列舉法表示的單元素集合．
實(shí)際上，這是四個(gè)完全不同的集合．
列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法．要注意，一般無(wú)限集，不宜采用列舉法，因?yàn)椴荒軐o(wú)限集中的元素—一列舉出來(lái)，而沒(méi)有列舉出來(lái)的元素往往難以確定．
8．集合的分類(lèi)
含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，如圖1所示．
含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集，如圖2所示．
9．關(guān)于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，記作 ．空集是個(gè)特殊的集合，除了它本身的實(shí)際意義外，在研究集合、集合的運(yùn)算時(shí)，必須予以單獨(dú)考慮．
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
集合
知識(shí)目標(biāo)：
�。�1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法
�。�2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義
�。�3）使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義
能力目標(biāo)：
�。�1）重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；
�。�2）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題；
�。�3）通過(guò)教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力；
德育目標(biāo)：
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。
教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法
教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合
授課類(lèi)型：新授課
課時(shí)安排：2課時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程（www.gymyzhishaji.com）：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．簡(jiǎn)介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；
2．教材中的章頭引言；
3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國(guó)數(shù)學(xué)家）；
4．“物以類(lèi)聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）。
二、講解新課：
閱讀教材第一部分，問(wèn)題如下：
�。�1）有那些概念？是如何定義的？
�。�2）有那些符號(hào)？是如何表示的？
�。�3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有關(guān)概念（例子見(jiàn)書(shū)）：
1、集合的概念
�。�1）集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合。
�。�2）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。
2、常用數(shù)集及記法
（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合。記作N
�。�2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+
�。�3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z
�。�4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q
�。�5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合。記作R
注：
�。�1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說(shuō)，自然數(shù)集包括數(shù)0。
�。�2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+ 、Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*
3、元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系
�。�1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A；
（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作 ．
4、集合中元素的特性
�。�1）確定性：
按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，或者不在，不能模棱兩可。
�。�2）互異性：
集合中的元素沒(méi)有重復(fù)。
（3）無(wú)序性：
集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>
注：
1、集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2、“∈”的開(kāi)口方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)。
練習(xí)題
1、教材P5練習(xí)
2、下列各組對(duì)象能確定一個(gè)集合嗎？
�。�1）所有很大的實(shí)數(shù)。 （不確定）
�。�2）好心的人。 （不確定）
�。�3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）
閱讀教材第二部分，問(wèn)題如下：
1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？
2．有限集、無(wú)限集、空集的概念是什么？試各舉一例。
（二）集合的表示方法
1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。
例如，由方程 的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}．
注：（1）有些集合亦可如下表示：
從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100}
所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…}
�。�2）a與{a}不同：a表示一個(gè)元素，{a}表示一個(gè)集合，該集合只有一個(gè)元素。
描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}
含義：在集合A中滿(mǎn)足條件P（x）的x的集合。
例如，不等式 的解集可以表示為： 或
所有直角三角形的集合可以表示為：
注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線(xiàn)及左邊部分。
如：{直角三角形}；{大于104的實(shí)數(shù)}
�。�2）錯(cuò)誤表示法：{實(shí)數(shù)集}；{全體實(shí)數(shù)}
3、文氏圖：用一條封閉的曲線(xiàn)的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合的方法。
注：何時(shí)用列舉法？何時(shí)用描述法？
（1） 有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。
如：集合
�。�2） 有些集合的元素不能無(wú)遺漏地一一列舉出來(lái)，或者不便于、不需要一一列舉出來(lái)，常用描述法。
如：集合 ；集合{1000以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)}
注：集合 與集合 是同一個(gè)集合嗎？
答：不是。
集合 是點(diǎn)集，集合 = 是數(shù)集。
（三） 有限集與無(wú)限集
1、 有限集：含有有限個(gè)元素的集合。
2、 無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。
3、 空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：
練習(xí)題：
1、P6練習(xí)
2、用描述法表示下列集合
�、賩1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
3、用列舉法表示下列集合
①{x∈N|x是15的約數(shù)} {1，3，5，15}
�、趝（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}寫(xiě)成{1，2}或{x=1，y=2}
�、�
�、� {-1，1}
�、� {（0，8）（2，5），（4，2）}
�、�
{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
三、小 結(jié)：
本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：
1．集合的有關(guān)概念：（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無(wú)限集、空集）
2．集合的表示方法：（列舉法、描述法、文氏圖共3種）
3．常用數(shù)集的定義及記法
四、課后作業(yè)：教材P7習(xí)題1.1
五、板書(shū)設(shè)計(jì)：
課題
一、知識(shí)點(diǎn)
（一）
（二）
例題：
1．
2．
六、課后反思：
本節(jié)課在教學(xué)時(shí)主要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)集合的表示方法，在認(rèn)識(shí)集合時(shí)，應(yīng)從兩方面入手：
（1）元素是什么？
�。�2）確定集合的表示方法是什么？表示集合時(shí)，與采用字母名稱(chēng)無(wú)關(guān)。
探究活動(dòng)
【題目】數(shù)集A滿(mǎn)足條件：若 ，則 （ ）
（1）若 ，試求出A中其他所有元素；
（2）自己設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)屬于A，然后求出A中其他所有元素；
（3）從上面兩小題的解答過(guò)程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)“道理”．
【參考答案】
（1）其他所有元素為－1， ．
（2）略
（3）A中只能有3個(gè)元素，它們分別是 ， 且三個(gè)數(shù)的乘積為－1．
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