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乘法公式的教學(xué)反思
作為一名優(yōu)秀的人民教師，我們都希望有一流的課堂教學(xué)能力，在寫教學(xué)反思的時候可以反思自己的教學(xué)失誤，那么優(yōu)秀的教學(xué)反思是什么樣的呢？以下是小編為大家收集的乘法公式的教學(xué)反思，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
乘法公式的教學(xué)反思1
有人曾說“課堂教學(xué)總是一門帶著遺憾的藝術(shù)”,作為一名教師,我對此也頗有感慨。面對新的理念，新的結(jié)構(gòu)，新的形式，新的體系，在課堂教學(xué)中，教師是否能最大限度地發(fā)揮主導(dǎo)作用，直接影響和制約著學(xué)生主體作用的發(fā)揮。以下我就談?wù)勗诒竟?jié)課中教師的主導(dǎo)作用。
一、設(shè)疑導(dǎo)思探索公式--------引導(dǎo)者
教師的主導(dǎo)作用首先體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣方面。因為教師是課堂心理環(huán)境的直接創(chuàng)造者，教師“導(dǎo)入”的情境、語言、方法直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及其探索知識的欲望。由于我校學(xué)生的基礎(chǔ)都不是很好，所以本課采用學(xué)生剛學(xué)過的“多項式乘法法則”來吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而使其端正學(xué)習(xí)態(tài)度全神貫注地投入到學(xué)習(xí)的整個過程中。
二、激活主題理解公式--------促進者
教師的主導(dǎo)作用還應(yīng)體現(xiàn)在積極進行學(xué)法研究，加強學(xué)法指導(dǎo)。本節(jié)課中，先用圖形的.面積來對公式作出直觀的理解，再用口訣來概括公式，使學(xué)生對公式的理解更加形象生動;最后通過例題讓學(xué)生按公式對號入座，進一步理解公式中的a和b既可以表示數(shù)也可以表示字母，既可以表示單項式也可以表示多項式。采用由直觀到抽象，由抽象到形象，由形象到具體，層層遞進，由淺入深，深入淺出的辦法，使學(xué)生對完全平方公式有一個充分理解的過程。
三、組織交流應(yīng)用公式--------調(diào)控者
由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、知識基礎(chǔ)和自身的思維方式不同，將導(dǎo)致不同的學(xué)習(xí)結(jié)果，即使是思維反映很靈敏的學(xué)生，在有些時刻也會遇到一些思維障礙。本節(jié)課在學(xué)生練習(xí)過程中，要仔細觀察學(xué)生探索活動的情緒表現(xiàn)，從學(xué)生的言語、表情、眼神、手勢和體態(tài)等方面觀察他們的內(nèi)心活動，分析他們的思維狀態(tài)和概念水平，捕捉各種思維現(xiàn)象，隨時調(diào)整教學(xué)過程，讓學(xué)生自己去反思、糾錯，而教師則在關(guān)鍵時刻引導(dǎo)或者作出恰當(dāng)?shù)狞c撥。教師的主導(dǎo)作用還應(yīng)體現(xiàn)在及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展中出現(xiàn)的錯誤后有針對地指導(dǎo)、引導(dǎo)學(xué)生進行討論和探究。尤其是對(—2a—5)2的應(yīng)用可以看成〔(—2a)+(—5)〕2對應(yīng)(a+b)2，也可以看成〔(—2a)—5〕2對應(yīng)(a—b)2;更可以看成〔—(2a+5)〕2=(2a+5)2;而對于(a+b+c)2的應(yīng)用，可以用多項式乘法法則(a+b+c)(a+b+c)，也可以用完全平方公式，看成〔(a+b)+c〕2，也可以看成〔a+(b+c)〕2，不管是什么形式，最后結(jié)果是一樣的。這樣通過變式練習(xí)，從而使學(xué)生多角度、全方面地對完全平方公式進行充分認(rèn)識，完全平方公式中的a和b可以表示單項式也可以表示多項式，完全平方公式可以看成一個公式也可以看成兩個公式，增加學(xué)生對完全平方公式應(yīng)用的靈活性，要讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。
四、明晰結(jié)論深化公式--------提高者
教師主導(dǎo)作用應(yīng)是畫龍點睛作用。觀察思考、表達是伴隨探究過程不可或缺的因素。本節(jié)課中，通過糾錯練習(xí)，對四道題的正確答案進行比較分析得出總結(jié)：如果a、b的符號相同，乘積的2倍的符號用“+”;如果a、b的符號相反，乘積的2倍的符號用“—”。使學(xué)生對公式的認(rèn)識從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，思維從復(fù)合階段前進到明晰階段。通過對公式的缺項選擇填空練習(xí)，使學(xué)生對完全平方公式的認(rèn)識進一步升華。
乘法公式的教學(xué)反思2
乘法公式是《整式的乘除》一章的重要內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，要學(xué)好這部分，除了要注意：
1、掌握公式的幾何意義比如完全平方公式。
2、注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點是正確使用公式的前提。如平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是：公式的左邊是這兩個二項式的積，且這兩個二項式有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，公式的右邊是這兩項的平方差，且是左邊的相同的一項的平方減去互為相反數(shù)的一項的平方。掌握了這些特點，就能在各種情況下正確運用平方差公式進行計算了。
3、注意公式中字母的廣泛意義，乘法公式中的字母既可以代表任意的數(shù)，又可以代表代數(shù)式，只有注意到字母所表示的意義的廣泛性，就能擴大乘法公式的應(yīng)用范圍。
對課本中的教材必須要看的更深也更廣，所以我就在學(xué)生對乘法公式的基礎(chǔ)知識掌握的還不錯的基礎(chǔ)上專門提出了今天的內(nèi)容，可以說是帶點專題性質(zhì)也可以說是課本知識的一種延續(xù)，讓學(xué)生還要注意乘法公式的逆用，不僅要掌握乘法公式的正向應(yīng)用，還要注意掌握公式的逆向應(yīng)用，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。還要注意乘法公式的變形，要善于對公式變形的'應(yīng)用，在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性和廣泛性。同學(xué)們在運用公式時，不應(yīng)拘泥于公式的形式而要深刻理解、靈活運用。在課堂的反映中，我深刻的感到這個這樣的教學(xué)內(nèi)容雖然脫離了課本，但是又和課本內(nèi)容緊密聯(lián)系非常受學(xué)生歡迎，主要表現(xiàn)在學(xué)生的注意力相當(dāng)集中，盡管沒有讓更多的同學(xué)表達他們的思路，但是讓同學(xué)們的思維都動了起來，當(dāng)有些同學(xué)有了自己的思路之后，都能大膽地發(fā)表自己的見解，或者在老師的啟示下能夠產(chǎn)生新的解題方法，但是我也發(fā)現(xiàn)對部分領(lǐng)悟能力較弱的孩子有一定的困難，需要老師把解題過程能夠全部的展現(xiàn)出來。
乘法公式的教學(xué)反思3
我參與了學(xué)校組織的“同課異構(gòu)”活動，授課內(nèi)容是《乘法公式——平方差公式（一課時）》。
上學(xué)期末我恰好在任縣二中參加了一次關(guān)于教材研究的會議，當(dāng)時河南一位從教三十多年且參與教材編寫的專家指出：關(guān)于概念、公式、法則的教學(xué)一般有六個環(huán)節(jié)：①引入；②形成；③明確表述；④辨析；⑤鞏固應(yīng)用；⑥歸納提升。新課標(biāo)也要求我們在教學(xué)中不只是傳授學(xué)生基本的知識技能，還要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及合作探究的意識為目標(biāo)。為此，我在設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)時充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，了解運用數(shù)學(xué)思想方法，增強學(xué)生的合作探究意識為宗旨。
我的教學(xué)流程是按照“引入——猜想——證明——辨析——應(yīng)用——歸納——檢測”的順序進行的，非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。我覺得本節(jié)課比較好的方面有以下幾點：1.在利用圖形面積證明平方差公式時，我沒有采用教材上直接給出剪接方法再證明的過程，只給出了原圖讓學(xué)生們自己去探究不同的方法。事實證明，學(xué)生們不只拼出了書上的方法，還從對角線剪開拼出了梯形，平行四邊形和長方形三種方法，思維一下就開闊了。這里我并沒有為了證明而證明，也沒有怕浪費時間匆匆而過，而是給學(xué)生留下了充足的思考和討論時間，真正激發(fā)了學(xué)生的思維。2.通過設(shè)置一個“找朋友”的小游戲來辨析公式，調(diào)動了學(xué)生的積極性，活躍了課堂氣氛，因此，游戲過后學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)特征也有了更深刻的了解。3.共享收獲環(huán)節(jié)，我采用的是制作微課的方式，形式比較新穎，從認(rèn)識公式到知道公式的特征，再到感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，最后是感受到數(shù)學(xué)運算的一種簡捷美，將本節(jié)課升華到了一個新的高度。
當(dāng)然，本節(jié)課也有一些遺憾和不足之處。比如，由于緊張，在授課過程中遺漏了兩點，通過播放幻燈片才慌忙補充上；在處理學(xué)生練習(xí)時，為了抓緊時間完
成進度沒有把學(xué)生的出錯點講透講細；游戲環(huán)節(jié)參與學(xué)生有些少，應(yīng)讓更多的.同學(xué)動起來；當(dāng)堂檢測的題目應(yīng)該設(shè)置上分值和檢測時間，讓學(xué)生限時完成，然后可以根據(jù)學(xué)生得分了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，以便下節(jié)課再有針對性的進行講解和練習(xí)查漏補缺。
通過這次“同課異構(gòu)”活動，我感覺自己在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計、課件制作和使用、導(dǎo)學(xué)案的規(guī)范書寫等各方面都有了提高，通過各位領(lǐng)導(dǎo)和老師的點評，我也有了更多的收獲，相信可以為我今后的教學(xué)所用。
乘法公式的教學(xué)反思4
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于公式的教學(xué)目標(biāo)是：會推導(dǎo)公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的幾何背景，并能簡單計算。教材在安排兩數(shù)和乘以兩數(shù)差公式時，先根據(jù)多項式乘法法則對公式進行推導(dǎo)，再通過求一個幾何圖形的面積引出公式，最后安排兩道例題。
教學(xué)中，我基本按教材順序進行教學(xué)，大多數(shù)同學(xué)也都掌握了公式的特點，會有公式進行計算，但從學(xué)生作業(yè)反饋的情況來看，效果并不好。事后通過個別輔導(dǎo)等，方才使學(xué)生會用平方差公式進行計算。
反思這節(jié)課的教學(xué)，我覺得有以下三個環(huán)節(jié)未處理好：
一是直接引出圖形，未能注重情景的創(chuàng)設(shè)。如果先出示一組計算題：如：(a+b)(a-b)，(a+3b)(a-3b)，(0.5x-3y)(0.5x+3y)，限定時間讓學(xué)生用多項式乘法法則進行計算，然后啟發(fā)學(xué)生觀察這組計算題的'特點，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)平方差公式，再通過拼圖驗證公式的正確性。那么，學(xué)生就能明白我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)了平方差公式。從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣考慮，此舉效果可能更好。
二是在公式得出后，我急于代替學(xué)生說出公式的結(jié)構(gòu)特點，而不是讓學(xué)生自己獨立說出，此舉不利于加深學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)的掌握，在后來的學(xué)習(xí)中也就難以靈活運用。同時也不利于培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力。
三是例題的選取缺乏遇見性。雖然學(xué)生會用平方差公式求(a+b)(a-b)，(a+3b)(a-3b)，(0.5x-3y)(0.5x+3y)，但對于一些變式題，學(xué)生則感到難以下手，比如(b+a)(-b+a)，(3b+a)(a-3b)，(-0.5x-3y)(0.5x+3y)，(a+b-c)(a-b+c)，(0.5x-3y)2(0.5x+3y)2等。如果在進行例題教學(xué)時，我除了能注重發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)的長處，還能適當(dāng)進行一題多變的訓(xùn)練，那么學(xué)生遇到上述習(xí)題，或許會不覺得那么難了。
乘法公式的教學(xué)反思5
乘法公式是《整式的乘除》一章的重要內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，要學(xué)好這部分，除了要注意：
1、掌握公式的幾何意義比如完全平方公式。
2、注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點是正確使用公式的前提。如平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是：公式的左邊是這兩個二項式的積，且這兩個二項式有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，公式的右邊是這兩項的平方差，且是左邊的相同的一項的平方減去互為相反數(shù)的一項的'平方。掌握了這些特點，就能在各種情況下正確運用平方差公式進行計算了。
3、 注意公式中字母的廣泛意義，乘法公式中的字母既可以代表任意的數(shù)，又可以代表代數(shù)式，只有注意到字母所表示的意義的廣泛性，就能擴大乘法公式的應(yīng)用范圍。
對課本中的教材必須要看的更深也更廣，所以我就在學(xué)生對乘法公式的基礎(chǔ)知識掌握的還不錯的基礎(chǔ)上專門提出了今天的內(nèi)容，可以說是帶點專題性質(zhì)也可以說是課本知識的一種延續(xù)，讓學(xué)生還要注意乘法公式的逆用，不僅要掌握乘法公式的正向應(yīng)用，還要注意掌握公式的逆向應(yīng)用，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。還要注意乘法公式的變形，要善于對公式變形的應(yīng)用，在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性和廣泛性。同學(xué)們在運用公式時，不應(yīng)拘泥于公式的形式而要深刻理解、靈活運用。在課堂的反映中，我深刻的感到這個這樣的教學(xué)內(nèi)容雖然脫離了課本，但是又和課本內(nèi)容緊密聯(lián)系非常受學(xué)生歡迎，主要表現(xiàn)在學(xué)生的注意力相當(dāng)集中，盡管沒有讓更多的同學(xué)表達他們的思路，但是讓同學(xué)們的思維都動了起來，當(dāng)有些同學(xué)有了自己的思路之后，都能大膽地發(fā)表自己的見解，或者在老師的啟示下能夠產(chǎn)生新的解題方法，但是我也發(fā)現(xiàn)對部分領(lǐng)悟能力較弱的孩子有一定的困難，需要老師把解題過程能夠全部的展現(xiàn)出來。
乘法公式的教學(xué)反思6
新課標(biāo)要求我們在教學(xué)中不只是傳授學(xué)生基本的知識技能，還要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及合作探究的意識為目標(biāo)。為此，我在設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)時充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，了解運用數(shù)學(xué)思想方法，增強學(xué)生的合作探究意識為宗旨。
我的教學(xué)流程是按照“引入——猜想——證明——辨析——應(yīng)用——歸納——檢測”的順序進行的，非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。我覺得本節(jié)課比較好的方面有以下幾點：1.在利用圖形面積證明平方差公式時，我沒有采用教材上直接給出剪接方法再證明的過程，只給出了原圖讓學(xué)生們自己去探究不同的方法。事實證明，學(xué)生們不只拼出了書上的方法，還從對角線剪開拼出了梯形，平行四邊形和長方形三種方法，思維一下就開闊了。這里我并沒有為了證明而證明，也沒有怕浪費時間匆匆而過，而是給學(xué)生留下了充足的思考和討論時間，真正激發(fā)了學(xué)生的.思維。2.通過設(shè)置一個“找朋友”的小游戲來辨析公式，調(diào)動了學(xué)生的積極性，活躍了課堂氣氛，因此，游戲過后學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)特征也有了更深刻的了解。
當(dāng)然，本節(jié)課也有一些遺憾和不足之處。比如，由于緊張，在授課過程中遺漏了兩點，通過播放幻燈片才慌忙補充上；在處理學(xué)生練習(xí)時，為了抓緊時間完成進度沒有把學(xué)生的出錯點講透講細；游戲環(huán)節(jié)參與學(xué)生有些少，應(yīng)讓更多的同學(xué)動起來；當(dāng)堂檢測的題目應(yīng)該設(shè)置上分值和檢測時間，讓學(xué)生限時完成，然后可以根據(jù)學(xué)生得分了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，以便下節(jié)課再有針對性的進行講解和練習(xí)查漏補缺。
乘法公式的教學(xué)反思7
通過“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”的練習(xí)，讓學(xué)生在計算中驗證“完全平方公式”。學(xué)生在這堂上快速地做完這些問題，并在老師的引導(dǎo)下，歸納出完全平方公式，并完成了相關(guān)的基礎(chǔ)練習(xí)。本節(jié)課的任務(wù)順利完成。
兩節(jié)課后，心里很虛。第一個教學(xué)班，側(cè)重于面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系驗證，但學(xué)生的基礎(chǔ)練習(xí)不夠，尤其是學(xué)困生較多的班級，他們對公式的熟練還是要靠大量的習(xí)題才能鞏固，所以下一課時，還花了不少功夫重新詳解計算。第二個教學(xué)班，強調(diào)了數(shù)值的計算，掌握了公式的計算技巧，但學(xué)生少了邏輯思維的推敲，此課他們成了“數(shù)值計算器”了，他們與第一個教學(xué)班的公式認(rèn)識深度肯定不同，當(dāng)回頭給他們補充面積的表示，他們直嚷聽不懂，但他們解題的能力又比第一教學(xué)班稍勝一點。矛盾啊！到底是要“素質(zhì)”還是要“分?jǐn)?shù)”啊！尤其是我們學(xué)校的學(xué)生們。
不過第一種的`方法在后面的教學(xué)嘗到了一些甜頭。在勾股定理的公式推導(dǎo)中，第一個教學(xué)班的學(xué)生很容易就接受了，并且對不同的圖形推導(dǎo)方式，他們都以極大的興趣投入了計算、推導(dǎo)。這是讓我最想不到的。
通過這次的課堂試驗比較，給我最大的感受是，我們要相信學(xué)生的能力，即便他們不強，但是通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，多樣化的手段，他們還是能達到我們的目標(biāo)。對于學(xué)困生的教學(xué)，我們不光著眼于基礎(chǔ)與技能的訓(xùn)練，還可以給他們一點拓展的機會，有時會給我們帶來驚喜。
乘法公式的教學(xué)反思8
本節(jié)內(nèi)容是在前一節(jié)二次根式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，同時為商的算術(shù)平方根的性質(zhì)作準(zhǔn)備。所以在教學(xué)中更注重讓學(xué)生通過具體實例對比、歸納得到積的二次根式的性質(zhì)。在此，過程中給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向。這一部分教學(xué)我主要是從以下幾點進行的'：
1.注意了對二次根式概念、性質(zhì)的復(fù)習(xí)，從而引入了二次根式的乘法法則，得到了二次根式乘法的計算方法和計算公式。公式就是工具，工具順手了工作就快就有效率。因此，在這里讓學(xué)生進行了大量的練習(xí)，熟練公式，打好基礎(chǔ)。
2.注意了二次根式乘法的計算公式的逆用。總結(jié)了乘法公式的逆用就是用來使“被開方數(shù)中不含能開的盡方的因數(shù)或因式”，從而保證了結(jié)果是最簡二次根式。注重方法的傳授。
3.教學(xué)中強調(diào)了前面學(xué)過的運算法則和運算律對二次根式同樣適用，反映了數(shù)學(xué)理論的一貫性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到所學(xué)并不難。在教學(xué)中，充分利用教材內(nèi)容，結(jié)合實際問題提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
4.教學(xué)中不僅要抓整體，更要注意一些重要細節(jié)。在學(xué)生做題過程中讓學(xué)生用心總結(jié)一些簡單值和特殊值的乘法和化簡的方法。教材中淡化計算過程，這里也透露出教材的一個特點：很重視學(xué)生思維上的培養(yǎng)，卻忽視了基本計算能力的訓(xùn)練,似乎認(rèn)為每個學(xué)生都能達到一學(xué)就會的理想境界�；A(chǔ)好和反應(yīng)快的學(xué)生沒有問題，但并不是都是這樣，教師就要讓學(xué)生了解計算過程每一步的由來。
乘法公式的教學(xué)反思9
上節(jié)課學(xué)習(xí)過乘法公式中的“完全平方公式”之后，本節(jié)課繼續(xù)研究另一個公式“平方差公式”。在備課之初，就和初一的同事商定了教學(xué)計劃，一直認(rèn)為“平方差公式”掌握的如何，關(guān)鍵在于學(xué)生對于算式中“相等項和符號相反項”的理解，這也是本節(jié)課的難點。
課堂教學(xué)“情境創(chuàng)設(shè)”“活動探索”環(huán)節(jié)分析反思：
一、情境創(chuàng)設(shè)
我注重了公式的引入教學(xué)過程，首先借用生活實例“周寧（班上生活委員）到商店買了 10.2 元 / 千克的糖果 9.8 千克，并一口報出了總價錢 99.96 元，問同學(xué)們，周寧用了什么公式”引入新課的問題，并讓學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)與生活”的密切聯(lián)系，也有助于“情感態(tài)度與價值觀”這一教學(xué)目標(biāo)的落實。
二、活動探索
活動的.參與不僅能加深對新知的理解，更重要的是在這一過程中，學(xué)生獲得了更多的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，思維得到了訓(xùn)練，這是三維目標(biāo)當(dāng)中的“過程與方法”，很有價值，是檢驗數(shù)學(xué)教學(xué)成效大小的重要指標(biāo)。
活動內(nèi)容是將邊長為 b 的小正方形覆蓋到邊長為 a 的大正方形上，計算未覆蓋面積的大小。在研讀教材及教參是，推薦的方法是轉(zhuǎn)變成兩個面積相等的梯形。這種方法容易計算，但是學(xué)生不易想到。所以考慮到另一種方法，即“割補法”。設(shè)計時，就是準(zhǔn)備根據(jù)學(xué)生的任意選擇進行接下來的探索。在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察小正方形無論放在大正方形的什么位置，未覆蓋面積大小不變，師問：“你覺得，把小正方形放在什么位置，容易進行計算”，學(xué)生受到啟發(fā)很快想到了，將小正方形發(fā)在一個角落。接下來另一個學(xué)生想到了分成兩個長方形，在此基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生共同用“割補法”完成了活動的探索，得到了平方差公式“ （a+b）*（a-b）=a2-b2 ” .
反思這一教學(xué)環(huán)節(jié)，有兩點做的不足，一是學(xué)生參與不足，二是教師急于求成。學(xué)生參與不足是因為整個活動的操作環(huán)節(jié)都是教師完成的，學(xué)生沒有切身的體會，進而導(dǎo)致學(xué)生探索的效果不理想，當(dāng)我看到學(xué)生說不出來時，急于求成，就替學(xué)生完成了有難度的活動。而難度都讓教師解決了，學(xué)生的鍛煉機會就沒有了。設(shè)計探索活動的意義就沒有了。
解決這兩點不足，我覺得首先在備課之初，就要考慮選擇的探索活動對于學(xué)生而言，難度是否適中，如果太難了，必然影響教學(xué)效果。另一個就是課前準(zhǔn)備充分，如果教師能夠組織學(xué)生準(zhǔn)備一些教具，這樣學(xué)生就能參與進來，有了更加直接的感性認(rèn)識，探索活動的效果必然會好些，教學(xué)目標(biāo)“過程與方法”才能有效的落實。
乘法公式的教學(xué)反思10
本課的學(xué)習(xí)目的主要是熟練掌握整式的運算，并且這些知識是以后學(xué)習(xí)分式、根式運算以及函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，同時也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可或缺的數(shù)學(xué)工具。而本節(jié)是整式乘法中乘法公式的首要內(nèi)容，學(xué)生只有熟練掌握了包括平方差公式在內(nèi)的乘法公式及它的推導(dǎo)過程，才能實現(xiàn)本節(jié)乃至本章作為數(shù)學(xué)工具的重要作用。因此，在教學(xué)安排上，我選擇從學(xué)生熟悉的求多邊形面積入手，遵循從感性認(rèn)識上升為理性思維的認(rèn)知規(guī)律，得出抽象的概念，并在多項式乘法的基礎(chǔ)上，再次推導(dǎo)公式，使原本枯燥的數(shù)學(xué)概念具有一定的實際意義和說理性；之后安排了一系列的例題和練習(xí)題，把新知運用到實戰(zhàn)中去，解決簡單的.實際問題，這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，又鍛煉了思維，整個過程由淺入深，在對所得結(jié)論不斷觀察、討論、分析中，加深對概念的理解，增強學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力，從而達到較好的授課效果。
數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，但數(shù)學(xué)是來源于實際生活的。因此，數(shù)學(xué)教育的目的是將數(shù)學(xué)運用到實際生活中去，讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)是有價值的科學(xué)，來源于生活，是其他科學(xué)的基礎(chǔ)。本節(jié)公式中字母的含義對學(xué)生來講很抽象，是本節(jié)的難點，也是學(xué)生運用公式解決實際問題的最大障礙，通過鞏固練習(xí)，讓學(xué)生逐步體會，為今后學(xué)習(xí)其他乘法公式做好準(zhǔn)備。乘法公式的逆用就是因式分解的重要方法，因此，在本節(jié)補充練習(xí)中，已經(jīng)開始滲透這部分知識，為后面學(xué)習(xí)因式分解做好鋪墊。
但是，我在教本章內(nèi)容時卻始終感到困惑。本以為這一章很簡單，由于教材安排存在一定問題，如將同底數(shù)冪乘法、冪的乘方、積的乘方、單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式這么多的內(nèi)容安排在一起，造成學(xué)生沒掌握好、消化好，知識間相互混淆，設(shè)置了障礙。所以很多學(xué)生出現(xiàn)下列錯誤(3x?2)(3x?2)?3x象我們想象中掌握的那么好。
本章教材編者在此安排不太合理，沒有考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不利于學(xué)生很好掌握，所以，我感覺以后上這章的時候不能按照教材課時安排走。否則還會出現(xiàn)今天的問題。
乘法公式的教學(xué)反思11
根據(jù)課程改革的要求，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過課題學(xué)習(xí)，學(xué)生將經(jīng)歷探索、討論、交流、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解釋有關(guān)問題的過程，從中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展自己數(shù)學(xué)思維能力，獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體驗學(xué)習(xí)的成功。
在北師大版八年級的數(shù)學(xué)（上）《整式》中，我們遇到了《平方差與完全平方公式》的教學(xué)任務(wù)。根據(jù)過往學(xué)生的認(rèn)識過程來看，學(xué)生的定向思維就認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，而且還是根深蒂固的，那么如何在教學(xué)中轉(zhuǎn)變或是加深學(xué)生對此公式的正確認(rèn)識呢？ 在課前，我想了很多方法，也參考一些兄弟學(xué)校的做法，我嘗試用兩種教學(xué)方法做個試驗，看學(xué)生的接受情況如何。
方法一：數(shù)形結(jié)合——面積與代數(shù)恒等式的學(xué)習(xí)
從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的圖形觀，利用拼圖的方法，使學(xué)生在動手的試驗中發(fā)現(xiàn)、歸納公式。本課中，本想讓學(xué)生課前先做好紙片，然后再堂上小組合作，探究公式。()但是按學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣來看，這課前的要求怕難落實，因而我改用了課件，用學(xué)生看屏幕觀察和小組合作完成學(xué)卷的方式完成教學(xué)。
教學(xué)環(huán)節(jié)：（學(xué)生觀察、小組合作歸納） 問題1：首先請你仔細觀察下圖，你能用下面的圖解釋兩數(shù) 和乘以它們的差公式嗎？
問題2：請你組員一起合作，仿照問題1的方法，
表示（a+b）2與（a-b）2的幾何圖形。
就這兩個問題，學(xué)生用了一節(jié)課完成。中間的.學(xué)生活動，老師還是講的比較多，因此答案也比較一律了，當(dāng)然這與學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有關(guān)。不過，學(xué)生總算明白兩公式的幾何意義了，這也算是本節(jié)課最大的收獲了。但學(xué)生對公式的理解還是“半熟”。
方法二：數(shù)值驗算——利用數(shù)值計算歸納公式
此方法可以說比較老套，但是對學(xué)生來說，可能容易接受。我的設(shè)計是這樣的：
請把五組數(shù) 的值分別輸入下圖的兩個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，比較兩個輸出結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么？這說明了什么？7的乘法口訣教學(xué)反思小數(shù)乘法教學(xué)反思9的乘法口訣教學(xué)設(shè)計
乘法公式的教學(xué)反思12
乘法公式是整式乘法的重要內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，要學(xué)好這部分，除了要注意1、掌握公式的幾何意義比如完全平方公式。2、注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點是正確使用公式的前提。如平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是：公式的左邊是這兩個二項式的積，且這兩個二項式有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，公式的右邊是這兩項的平方差，且是左邊的相同的一項的平方減去互為相反數(shù)的一項的平方。掌握了這些特點，就能在各種情況下正確運用平方差公式進行計算了。3、注意公式中字母的廣泛意義，乘法公式中的字母既可以代表任意的數(shù)，又可以代表代數(shù)式，只有注意到字母所表示的意義的廣泛性，就能擴大乘法公式的應(yīng)用范圍。
以上3點是掌握任何公式必備的條件，但是在掌握以上三點，我們要高瞻遠矚，對課本中的教材必須要看的更深也更廣，所以我就在學(xué)生對乘法公式的基礎(chǔ)知識掌握的還不錯的基礎(chǔ)上，專門提出了今天的內(nèi)容，可以說是帶點專題性質(zhì)也可以說是課本知識的一種延續(xù)，讓學(xué)生還要注意乘法公式的逆用，不僅要掌握乘法公式的正向應(yīng)用，還要注意掌握公式的逆向應(yīng)用，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。還要注意乘法公式的變形，要善于對公式變形的應(yīng)用，在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性和廣泛性。同學(xué)們在運用公式時，不應(yīng)拘泥于公式的形式而要深刻理解、靈活運用。
在課堂的反映中，我深刻的感到這個這樣的教學(xué)內(nèi)容雖然脫離了課本，但是又和課本內(nèi)容緊密聯(lián)系非常受學(xué)生歡迎，主要表現(xiàn)在學(xué)生的注意力相當(dāng)集中，盡管沒有讓更多的同學(xué)表達他們的思路，但是讓同學(xué)們的思維都動了起來，當(dāng)有些同學(xué)有了自己的思路之后，都能大膽地發(fā)表自己的見解，或者在老師的啟示下能夠產(chǎn)生新的解題方法，但是我也發(fā)現(xiàn)對部分領(lǐng)悟能力較弱的孩子有一定的困難，需要老師把解題過程能夠全部的展現(xiàn)出來。
反思四：乘法公式教學(xué)反思
“蘇科版”數(shù)學(xué)教材在七年級下冊的的第九章《整式的乘法與因式分解》中安排了“乘法公式”這部分內(nèi)容。根據(jù)過往學(xué)生的認(rèn)識過程來看，學(xué)生的定向思維就認(rèn)為兩數(shù)的和的平方等于兩數(shù)的平方和，而且還是根深蒂固的'，那么如何在教學(xué)中轉(zhuǎn)變或是加深學(xué)生對此公式的正確認(rèn)識呢?教材做了合理的安排，較好的方法是用“數(shù)形結(jié)合”，借助面積相等幫助代數(shù)恒等式的學(xué)習(xí)。
從人類思維活動規(guī)律的角度來考察，主體思維活動可以分成邏輯思維、形象思維和靈感思維，它們都是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的思維方式。其中形象思維是人腦憑借事物的形象進行思維。所謂形象是指反映于人腦中的客體的映象。這種映象可以以物化的形式再現(xiàn)出來，并被人感知。
腦科學(xué)研究表明，邏輯思維主要發(fā)揮左腦半球的功能，形象思維則是發(fā)揮右腦半球的功能，如果適時進行形象思維，充分發(fā)揮感觀的作用，就能使左右腦并用，提高大腦的整體功能，使抽象的研究對象具體化，具有空間觀，從而便于認(rèn)識隱蔽在事物深層的本質(zhì)和規(guī)律。這正是學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)能力的有效途徑和方法。
另外，從初中學(xué)生的思維特點來看，他們的思維是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。因此，適時利用形象思維，既符合初中生的思維特點，也是進一步培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)能力的有效途徑。
在“蘇科版”《數(shù)學(xué)》教材中，每個章節(jié)的內(nèi)容較多的采用“學(xué)生做-在做中感受和體驗-主動獲取數(shù)學(xué)知識”的方式呈現(xiàn)，在學(xué)生通過“做”獲得感受的基礎(chǔ)上，揭示具體實例的本質(zhì)，然后再明晰有關(guān)知識。我認(rèn)為這里的在“做中感受和體驗”就是引導(dǎo)學(xué)生進行形象思維的過程。
在推導(dǎo)整式的乘法公式時，我課堂教學(xué)中改變了過去應(yīng)用多項式乘以多項式的法則直接得到結(jié)論的做法，是通過計算圖形的面積的方法得到。從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的圖形觀，利用拼圖的方法，使學(xué)生在動手的試驗中發(fā)現(xiàn)、歸納公式，教學(xué)的效果較好。
乘法公式的教學(xué)反思13
有人曾說“課堂教學(xué)總是一門帶著遺憾的藝術(shù)”,作為一名教師,我對此也頗有感慨。面對新的理念，新的結(jié)構(gòu)，新的形式，新的體系，在課堂教學(xué)中，教師是否能最大限度地發(fā)揮主導(dǎo)作用，直接影響和制約著學(xué)生主體作用的發(fā)揮。以下我就談?wù)勗诒竟?jié)課中的幾點反思
一、設(shè)疑導(dǎo)思 探索公式
教師的主導(dǎo)作用首先體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣方面。因為教師是課堂心理環(huán)境的直接創(chuàng)造者，教師“導(dǎo)入”的情境、語言、方法直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及其探索知識的欲望。由于我校學(xué)生的基礎(chǔ)都不是很好，所以本課采用學(xué)生剛學(xué)過的“多項式乘法法則”來吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而使其端正學(xué)習(xí)態(tài)度全神貫注地投入到學(xué)習(xí)的整個過程中。
二、激活主題 理解公式
教師的主導(dǎo)作用還應(yīng)體現(xiàn)在積極進行學(xué)法研究，加強學(xué)法指導(dǎo)。本節(jié)課中，先用圖形的面積來對公式作出直觀的理解，再用口訣來概括公式，使學(xué)生對公式的理解更加形象生動；最后通過例題讓學(xué)生按公式對號入座，進一步理解公式中的a和b既可以表示數(shù)也可以表示字母，既可以表示單項式也可以表示多項式。采用由直觀到抽象，由抽象到形象，由形象到具體，層層遞進，由淺入深，深入淺出的辦法，使學(xué)生對完全平方公式有一個充分理解的過程。
三、組織交流 應(yīng)用公式
由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、知識基礎(chǔ)和自身的思維方式不同，將導(dǎo)致不同的學(xué)習(xí)結(jié)果，即使是思維反映很靈敏的學(xué)生，在有些時刻也會遇到一些思維障礙。本節(jié)課在學(xué)生練習(xí)過程中，要仔細觀察學(xué)生探索活動的情緒表現(xiàn)，從學(xué)生的言語、表情、眼神、手勢和體態(tài)等方面觀察他們的內(nèi)心活動，分析他們的思維狀態(tài)和概念水平，捕捉各種思維現(xiàn)象，隨時調(diào)整教學(xué)過程，讓學(xué)生自己去反思、糾錯，而教師則在關(guān)鍵時刻引導(dǎo)或者作出恰當(dāng)?shù)狞c撥。教師的主導(dǎo)作用還應(yīng)體現(xiàn)在及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展中出現(xiàn)的錯誤后有針對地指導(dǎo)、引導(dǎo)學(xué)生進行討論和探究。尤其是對（—2a—5）2的.應(yīng)用可以看成〔（—2a）+（—5）〕2對應(yīng)（a+b）2，也可以看成〔（—2a）—5〕2對應(yīng)（a—b）2；更可以看成〔—（2a +5）〕2=（2a+5）2；而對于（a+b+c）2的應(yīng)用，可以用多項式乘法法則（a+b+c）（a+b+c），也可以用完全平方公式，看成〔（a+b）+c〕2，也可以看成〔a+（b+c）〕2，不管是什么形式，最后結(jié)果是一樣的。這樣通過變式練習(xí)，從而使學(xué)生多角度、全方面地對完全平方公式進行充分認(rèn)識，完全平方公式中的a和b可以表示單項式也可以表示多項式，完全平方公式可以看成一個公式也可以看成兩個公式，增加學(xué)生對完全平方公式應(yīng)用的靈活性，要讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。
以上三點是掌握任何公式必備的條件，但是在掌握以上三點，我們要高瞻遠矚，對課本中的教材必須要看的更深也更廣，所以我就在學(xué)生對乘法公式的基礎(chǔ)知識掌握的還不錯的基礎(chǔ)上，專門提出了今天的內(nèi)容，可以說是帶點專題性質(zhì)也可以說是課本知識的一種延續(xù)，讓學(xué)生還要注意乘法公式的逆用，不僅要掌握乘法公式的正向應(yīng)用，還要注意掌握公式的逆向應(yīng)用，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。還要注意乘法公式的變形，要善于對公式變形的應(yīng)用，在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性和廣泛性。同學(xué)們在運用公式時，不應(yīng)拘泥于公式的形式而要深刻理解、靈活運用。
乘法公式的教學(xué)反思14
“新課程標(biāo)準(zhǔn)”強調(diào)學(xué)生的“經(jīng)歷，體驗和自主探索”，突出過程性目標(biāo)，實現(xiàn)教的轉(zhuǎn)變、學(xué)的轉(zhuǎn)變、課堂氣氛的轉(zhuǎn)變。下面以《中心對稱》一課為例，進行反思。
一、關(guān)于概念的教學(xué)
中心對稱概念的引出。學(xué)生在初二上學(xué)期學(xué)習(xí)了軸對稱的有關(guān)知識，我設(shè)計先復(fù)習(xí)軸對稱概念和性質(zhì)。本課在揭示中心對稱的概念和性質(zhì)時，加強了和軸對稱的辨析，讓學(xué)生在類比和辨析中更好地掌握中心對稱這一概念，從而達到理想的效果。
二、教的轉(zhuǎn)變:
本節(jié)課我把自己的角色從知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者與共同研究者。在引導(dǎo)學(xué)生畫中心對稱圖時，我只給出一個三角形，讓學(xué)生把對稱中心定在不同的位置。突出以學(xué)生為主體的要求。讓學(xué)生通過畫圖歸納出中心對稱的性質(zhì)，達到激發(fā)學(xué)生自覺地探究數(shù)學(xué)問題，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣的目的。
三、學(xué)的轉(zhuǎn)變:
學(xué)生的角色從學(xué)會轉(zhuǎn)變?yōu)闀䦟W(xué)。本節(jié)課學(xué)生不是停留在學(xué)會課本知識的層面上，而是站在研究者的角度深入其境。讓學(xué)生設(shè)計上面的各種類型圖，學(xué)生自己去解答，學(xué)生通過自主活動發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，增強了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，增加了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
四、課堂氛圍的轉(zhuǎn)變:
整節(jié)課以流暢、開放、合作、隱導(dǎo)為基本特征，教師對學(xué)生的思維活動減少干預(yù)，教學(xué)過程呈現(xiàn)一種比較流暢的特征，整節(jié)課學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間以對話、討論為出發(fā)點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學(xué)生在一個較為寬松的環(huán)境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發(fā)現(xiàn)的價值。
五、重視知識與生活的聯(lián)系
數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的.特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步。本節(jié)我設(shè)計如下聯(lián)系生活的題:利用中心對稱測量河寬
六、不足之處
1、軸對稱的概念強調(diào)不到位、不夠細致，尤其是對稱點的概念。給學(xué)生消化理解的時間太短。
2、沒講中心對稱與旋轉(zhuǎn)對稱的關(guān)系。
3、聯(lián)系生活的例子離學(xué)生經(jīng)歷太遠，如舉測小口瓶子的內(nèi)徑，能使學(xué)生親自動手就更好了。
乘法公式的教學(xué)反思15
根據(jù)課程改革的要求，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過課題學(xué)習(xí)，學(xué)生將經(jīng)歷探索、討論、交流、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解釋有關(guān)問題的過程，從中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展自己數(shù)學(xué)思維能力，獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體驗學(xué)習(xí)的成功。
在八年級的數(shù)學(xué)（上）中的《整式的乘除》中，我們遇到了《平方差與完全平方公式》的教學(xué)任務(wù)。根據(jù)過往學(xué)生的認(rèn)識過程來看，學(xué)生的定向思維就認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，而且還是根深蒂固的，那么如何在教學(xué)中轉(zhuǎn)變或是加深學(xué)生對此公式的正確認(rèn)識呢？在課前，我想了很多方法，也參考一些兄弟學(xué)校的做法，我嘗試用兩種教學(xué)方法做個試驗，看學(xué)生的接受情況如何。
方法一：數(shù)形結(jié)合――面積與代數(shù)恒等式的學(xué)習(xí)
從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的圖形觀，利用拼圖的方法，使學(xué)生在動手的試驗中發(fā)現(xiàn)、歸納公式。本課中，本想讓學(xué)生課前先做好紙片，然后再堂上小組合作，探究公式。但是按學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣來看，這課前的要求怕難落實，因而我改用了課件，用學(xué)生看屏幕觀察和小組合作完成學(xué)卷的方式完成教學(xué)。
教學(xué)環(huán)節(jié)：（學(xué)生觀察、小組合作歸納）
問題1：首先請你仔細觀察下圖，你能用下面的圖解釋兩數(shù)和乘以它們的差公式嗎？
問題2：請你組員一起合作，仿照問題1的方法，表示（a+b）2與（a—b）2的幾何圖形。
就這兩個問題，學(xué)生用了一節(jié)課完成。中間的`學(xué)生活動，老師還是講的比較多，因此答案也比較一律了，當(dāng)然這與學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有關(guān)。不過，學(xué)生總算明白兩公式的幾何意義了，這也算是本節(jié)課最大的收獲了。但學(xué)生對公式的理解還是“半熟”。
方法二：數(shù)值驗算――利用數(shù)值計算歸納公式
此方法可以說比較老套，但是對學(xué)生來說，可能容易接受。我的設(shè)計是這樣的：
請把五組數(shù)的值分別輸入下圖的兩個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，比較兩個輸出結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么？這說明了什么？
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