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讀"小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法"有感
讀"小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法"有感
黃石小數(shù)
好書(shū)推薦
數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過(guò)短期的訓(xùn)練便能掌握，而數(shù)學(xué)思想方法需要通過(guò)在教學(xué)中長(zhǎng)期地滲透和影響才能夠形成。古語(yǔ)云"泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細(xì)流，故能就其深。"教師應(yīng)在每堂課的教學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過(guò)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。
內(nèi)容簡(jiǎn)介
本書(shū)作者王永春，作為人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室主任，長(zhǎng)期從事小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)工作，致力于課程、教材的研究，對(duì)小學(xué)業(yè)數(shù)學(xué)思想方法有深入的思考和探索�；趯�(duì)提高教育質(zhì)量、落實(shí)教育目標(biāo)的強(qiáng)烈責(zé)任感，作者撰寫(xiě)了系列文章，就有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用作了專(zhuān)門(mén)的論述。在此基礎(chǔ)上，形成了本書(shū)。
全書(shū)分上下篇，上篇是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)闡述，下篇是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想方法案例解讀。
在上篇的案例選取中，基本出發(fā)點(diǎn)是盡量少出教材及練習(xí)冊(cè)中常用的例子，就是想給讀者多提供一些案例，以拓寬知識(shí)面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小學(xué)的銜接。有的案例是在小學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的拓展和提高，有的是中學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)化，可能在理解時(shí)會(huì)有一點(diǎn)難度。下篇的教材案例解讀，沒(méi)有按照思想方法分類(lèi)，而是分冊(cè)編寫(xiě)的，主要是為了方便教師查詢(xún)。
對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技能，概念與技能通�？梢酝ㄟ^(guò)短期訓(xùn)練便能掌握，而數(shù)學(xué)思想方法則需要通過(guò)教師長(zhǎng)期的滲透和影響才能夠形成。教師應(yīng)在每堂課的教學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過(guò)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。
希望數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能夠像春雨一樣，滋潤(rùn)著學(xué)生的心田。
作者簡(jiǎn)介
王永春，內(nèi)蒙古莫旗人。1967年9月出生。華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)，北京師范大學(xué)教育學(xué)碩士。人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室主任、編審。從1991年至今，一直從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的研究和編寫(xiě)工作，參與策劃、編寫(xiě)或主編（副主編）多套小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)、教師教學(xué)用書(shū)、教學(xué)案例等圖書(shū)�，F(xiàn)任《義務(wù)教育教科書(shū)？數(shù)學(xué)》（人教版）副主編。參與多項(xiàng)課題研究，主持了國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金"十一五"規(guī)劃課題《新課改后各類(lèi)教材特點(diǎn)的比較研究》小學(xué)數(shù)學(xué)子課題。在《課程？教材？教法》、《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》等雜志上發(fā)表了20多篇論文。
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01
關(guān)于數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵
目前，數(shù)學(xué)模型還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的、準(zhǔn)確的定義，一般學(xué)者認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。
由于小學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其基本內(nèi)容是以四則運(yùn)算為基礎(chǔ)的問(wèn)題解決，從成人角度看數(shù)學(xué)模型過(guò)于簡(jiǎn)單，但學(xué)生自主思考、建構(gòu)與解決這些問(wèn)題的過(guò)程并不簡(jiǎn)單，許多問(wèn)題解決過(guò)程都可以是學(xué)生再創(chuàng)造的過(guò)程。
小學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)概念、運(yùn)算、方程及各類(lèi)問(wèn)題解決等內(nèi)容，都可以看作數(shù)學(xué)建模，即小學(xué)數(shù)學(xué)中的每個(gè)概念、每類(lèi)運(yùn)算都可以構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，可以從數(shù)學(xué)建模的角度學(xué)習(xí)這些內(nèi)容。例如，"小強(qiáng)的媽媽要將2.5千克香油分裝在一些玻璃瓶里，每個(gè)玻璃瓶最多可盛0.4千克香油，需要準(zhǔn)備幾個(gè)玻璃瓶？""把2升橙汁分裝在容量為1/4升的小瓶里，可以裝幾瓶？"等等，盡管數(shù)據(jù)不同，所描述的事情不同，但都是除法的"包含除"模型：總量÷每份數(shù)=份數(shù)。又如，植樹(shù)問(wèn)題（在長(zhǎng)120米的道路一側(cè)植樹(shù)，每5米植一棵，需要植多少棵樹(shù)）和鋸木頭問(wèn)題（一根長(zhǎng)6米的木頭，要鋸為5段，每鋸一段需要5分鐘，鋸?fù)赀@根木頭需要多長(zhǎng)時(shí)間），問(wèn)題情境不同，但都是"植樹(shù)模型".雞兔同籠問(wèn)題（雞和兔關(guān)在同一籠子里，從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有26只腳，問(wèn)雞和兔各有幾只）和租船問(wèn)題（全班一共有38人，共租了8條船，小船乘4人，大船乘6人，每條船都坐滿(mǎn)，大船、小船各租幾條），等等，這些問(wèn)題的情境不同，數(shù)據(jù)可能也不同，但都包含了"部分+部分=總量""每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)"這兩個(gè)結(jié)構(gòu)，即加法模型和乘法模型。
依據(jù)前面的界定，我們認(rèn)為在小學(xué)階段數(shù)學(xué)模型有三種存在形態(tài)：一是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，用語(yǔ)言描述（不能稱(chēng)之為模型，但也是一種抽象和概括）；二是直觀模型，用直觀、形象的符號(hào)表述，例如，表征數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的示意圖、線段圖等；三是抽象模型，用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)，在小學(xué)階段一個(gè)數(shù)、字母、算式、方程等都可以看作一個(gè)數(shù)學(xué)抽象模型。
構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)學(xué)建模）即指"從數(shù)學(xué)的角度，對(duì)所需研究的問(wèn)題作一個(gè)模擬，舍去無(wú)關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)".在小學(xué)階段，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)常用前面所說(shuō)的直觀模型和抽象模型表示。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)為：其一，能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問(wèn)題（情境）用直觀模型表示（有時(shí)借助直觀圖直接求解），再用抽象式子表示；其二，在直觀模型和抽象模型基礎(chǔ)上求解問(wèn)題的答案，并對(duì)答案進(jìn)行檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)；其三，對(duì)每一幅直觀圖、每一個(gè)數(shù)、每一個(gè)含字母的代數(shù)式和方程，能夠講述不同現(xiàn)實(shí)情境的故事，進(jìn)一步感悟結(jié)構(gòu)相同但具體情境或問(wèn)題不同的事件都能夠用相同的直觀圖或數(shù)、含字母的代數(shù)式、方程表示，必要時(shí)可能需要修改或調(diào)整模型，再應(yīng)用模型解決新問(wèn)題。
02
小學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過(guò)程分析
數(shù)學(xué)建模是一個(gè)復(fù)雜并具有挑戰(zhàn)性的過(guò)程，建模的過(guò)程，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有模型意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。一般而言，數(shù)學(xué)建模大致包括四個(gè)步驟：第一，理解問(wèn)題的背景與結(jié)構(gòu)；第二，對(duì)復(fù)雜的情境進(jìn)行分析和簡(jiǎn)化，收集必要的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類(lèi)整理；第三，找到規(guī)律并建立模型；第四，解答問(wèn)題。這一建模過(guò)程如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中落實(shí)呢？下面以經(jīng)典的植樹(shù)問(wèn)題為例加以分析。
植樹(shù)問(wèn)題是小學(xué)階段體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的經(jīng)典內(nèi)容之一，植樹(shù)問(wèn)題是一個(gè)簡(jiǎn)單的"植樹(shù)模型".從植樹(shù)問(wèn)題到建構(gòu)起"植樹(shù)模型"需要一個(gè)過(guò)程，在建構(gòu)"植樹(shù)模型"時(shí)，應(yīng)該有如下步驟：
1、通過(guò)"模擬"植樹(shù)，整體理解題意，如"兩端都要植"究竟是什么意思。
2、把現(xiàn)實(shí)世界中的"樹(shù)"和"間隔"抽象看成"點(diǎn)"和"段".
3、通過(guò)畫(huà)圖的方式建構(gòu)"點(diǎn)段關(guān)系":以"20米小路，每隔5米種一棵樹(shù)（兩端都要種）"為例，基本建構(gòu)過(guò)程如下：
"點(diǎn)段"一一對(duì)應(yīng)：畫(huà)一個(gè)"點(diǎn)",再畫(huà)一個(gè)"段",依此重復(fù)下去，直至達(dá)到要求的長(zhǎng)度（線段長(zhǎng)度的累加）。
4、應(yīng)用"點(diǎn)段關(guān)系"解決實(shí)際問(wèn)題：先把"求一共種多少棵樹(shù)"轉(zhuǎn)化為"求一共有多少條線段",即總長(zhǎng)度÷間距=段數(shù)。例如，對(duì)于本題，可以先根據(jù)間距求出"段數(shù)",20÷5=4,此時(shí)的"4"表示4段，"棵數(shù)"等于"點(diǎn)數(shù)".再根據(jù)實(shí)際情況解決問(wèn)題：若兩端都種，則"點(diǎn)數(shù)=段數(shù)+1";若一端種另一端不種，則"點(diǎn)數(shù)=段數(shù)";若兩端都不種，則"點(diǎn)數(shù)=段數(shù)-1".
5、運(yùn)用模型解決其他問(wèn)題，感悟模型思想。這個(gè)模型也適用于設(shè)置車(chē)站、路燈、臺(tái)階等問(wèn)題，樹(shù)、路燈、車(chē)站、臺(tái)階等可抽象看成"點(diǎn)",各種間隔可抽象看成"段","點(diǎn)數(shù)"與"段數(shù)"之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)都一樣。
可以看到，"植樹(shù)模型"本質(zhì)上是乘法模型和一一對(duì)應(yīng)的"點(diǎn)段模型"相互結(jié)合后產(chǎn)生的新模型。在教學(xué)中我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生遇到這類(lèi)題目會(huì)直接列式，即用"總長(zhǎng)度÷間距=段數(shù)"解決。找到這個(gè)基本模型對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難，但由于沒(méi)有直觀圖的支撐，很難通過(guò)想象發(fā)現(xiàn)"段數(shù)"與"點(diǎn)數(shù)"之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能意識(shí)到求出的實(shí)際上不是"點(diǎn)數(shù)"而是"段數(shù)".即便有部分學(xué)生知道公式能夠計(jì)算出結(jié)果，也不明了什么時(shí)候該"+1",什么時(shí)候該"-1",因而無(wú)法回到實(shí)際情境中真正解決問(wèn)題，遇到其他現(xiàn)實(shí)問(wèn)題更加無(wú)法找到對(duì)應(yīng)關(guān)系。
出現(xiàn)上述情況，一方面是由于部分學(xué)生在課外已經(jīng)知道或背誦了抽象數(shù)量關(guān)系（即公式），另一方面是由于小學(xué)生畫(huà)圖意識(shí)和能力不足，不愿意或不會(huì)通過(guò)畫(huà)圖表征問(wèn)題情境。教師在課堂上需要正確面對(duì)學(xué)生已有的基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的不同情況，對(duì)于不知道公式的學(xué)生，可以從現(xiàn)實(shí)情境到直觀模型再到抽象模型，對(duì)于已經(jīng)知道公式和答案的學(xué)生，可以從現(xiàn)實(shí)情境到抽象模型再回歸直觀模型進(jìn)行解釋?zhuān)匾氖墙⑦@三者之間的關(guān)系，借助直觀模型真正理解抽象模型，綜合利用乘法模型和"點(diǎn)段模型"解決實(shí)際問(wèn)題。
對(duì)于路燈問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題、樓層問(wèn)題等相關(guān)問(wèn)題，一旦學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖找到了"點(diǎn)"和"段"之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：拋開(kāi)具體情境，這些問(wèn)題的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)是相同的，這樣才真正有了模型的影子。
03
小學(xué)生數(shù)學(xué)建模的層次水平與教學(xué)滲透
在小學(xué)實(shí)踐中，我們提出，小學(xué)階段數(shù)學(xué)建模有以下幾個(gè)層次、水平（如表1）
表1 小學(xué)生數(shù)學(xué)建模的層次、水平
水平
學(xué)生表現(xiàn)
層次
0
不理解題意，不能用任何方式表征題意或表征錯(cuò)誤
1
理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫(huà)圖、列表等）正確表征題意，但不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律
層次一：從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到直觀模型、抽象算式
2
理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫(huà)圖、列表等）正確表征題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系或符號(hào)表達(dá)式
層次一：從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到直觀模型、抽象算式
3
在水平2基礎(chǔ)上，利用直觀模型、數(shù)量關(guān)系式或符號(hào)表達(dá)式求得正確答案，檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)答案
層次二：針對(duì)直觀模型、抽象算式求得結(jié)果并檢驗(yàn)
4
列舉其他不同情境的問(wèn)題（故事）并能運(yùn)用相同數(shù)量關(guān)系解決更多的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題
層次三：運(yùn)用該模型講述不同故事并解決其他問(wèn)題
除植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等經(jīng)典內(nèi)容以外，小學(xué)數(shù)學(xué)中的每個(gè)概念、每類(lèi)運(yùn)算都可以構(gòu)成數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段，植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題并不要求學(xué)生的建模水平達(dá)到最高級(jí)的層次三，但對(duì)于數(shù)學(xué)基本概念、運(yùn)算意義等則要求達(dá)到層次三。在概念或運(yùn)算教學(xué)和問(wèn)題解決教學(xué)中，如何使學(xué)生向更高層次提升？怎樣在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透建模思想？下面以雞兔同籠問(wèn)題為例簡(jiǎn)要分析。
雞兔同籠問(wèn)題的基礎(chǔ)模型是乘法模型和加法模型，是2個(gè)乘法模型和2個(gè)加法模型的綜合應(yīng)用，具體表述如下：
每只雞的腳數(shù)×雞的只數(shù)=雞腳數(shù)
每只兔的腳數(shù)×兔的只數(shù)=兔腳數(shù)
兔頭+雞頭=動(dòng)物數(shù)之和
兔腳+雞腳=動(dòng)物腳數(shù)之和
但其根本是乘法模型，即將每份數(shù)不相同的量都轉(zhuǎn)化為每份數(shù)相同的量，也就是問(wèn)題解決中常用的假設(shè)法（都假設(shè)為雞或都假設(shè)為兔，這樣每份腳數(shù)都相同）：總只數(shù)×假設(shè)的腳數(shù)=假設(shè)的腳總數(shù)，再尋找假設(shè)的腳總數(shù)與實(shí)際腳總數(shù)差的來(lái)源，從而求解出答案。
雞兔同籠問(wèn)題出現(xiàn)在小學(xué)幾個(gè)版本的教材中，不同教材安排的年級(jí)不同。安排在年級(jí)較低的教材更側(cè)重畫(huà)圖法和嘗試法，讓學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)圖、列表、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，從中體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略；安排在較高年級(jí)的教材則更側(cè)重假設(shè)方法和方程法。雞兔同籠問(wèn)題的算術(shù)解法多種多樣，例如，金雞獨(dú)立法、假設(shè)雞的兩只翅膀也變成兩只腳、假設(shè)雞全都飛起來(lái)（或坐地上）、兔全用雙腳站立等。盡管奇思妙想的解法很多，但其本質(zhì)歸根結(jié)底都是假設(shè)法，而且都是先轉(zhuǎn)化為乘法模型，再利用加法模型解決問(wèn)題。一旦掌握了模型的本質(zhì)，就可以相應(yīng)地解決類(lèi)似的許多問(wèn)題，如儲(chǔ)蓄罐里有1角和5角兩種不同的硬幣（共有多少枚硬幣，價(jià)值多少元）、買(mǎi)成人票和兒童票兩種票價(jià)的電影票（共買(mǎi)了幾張票，花了多少元）、購(gòu)買(mǎi)兩種價(jià)錢(qián)不同的玩具（共買(mǎi)幾個(gè)玩具，花了多少錢(qián)）等。
教學(xué)雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，部分學(xué)生已經(jīng)從課外渠道對(duì)于雞兔同籠的情境問(wèn)題形成了思維定式，而且通過(guò)記憶或背誦抽象的數(shù)量關(guān)系，一看到"雞和兔子關(guān)在同一個(gè)籠子里"的情境就自動(dòng)化地列式計(jì)算，貌似已經(jīng)能夠用抽象的算式模型解決問(wèn)題，實(shí)際上并不能深刻理解其意義，從而掩蓋了學(xué)生的真實(shí)水平。怎樣才能暴露學(xué)生的真實(shí)水平而不讓教師被學(xué)生"盲目、套用公式"的假象蒙弊呢？下面是北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)索桂超教師設(shè)計(jì)的教學(xué)片段：
師：同學(xué)們，喜歡玩魔術(shù)嗎？
生：（齊）喜歡！
師：索老師也特別喜歡玩魔術(shù)，今天我給大家變個(gè)魔術(shù)。有兩種牌，一種牌的點(diǎn)數(shù)是4,另一種牌的點(diǎn)數(shù)是9,告訴魔術(shù)師一共翻了多少?gòu)埮疲泼纥c(diǎn)數(shù)總和是多少，魔術(shù)師就能知道翻出來(lái)幾張4點(diǎn)和幾張9點(diǎn)的牌。
……
在魔術(shù)結(jié)束后，教師呈現(xiàn)問(wèn)題："有5點(diǎn)和2點(diǎn)的牌，一共抽了12張牌，牌面點(diǎn)數(shù)總和為45.5點(diǎn)和2點(diǎn)的牌各有幾張？"可通過(guò)畫(huà)圖、列表、假設(shè)等各種方法解決問(wèn)題。學(xué)生的各種方法如下（具體方法的描述略）：
方法一：憑借數(shù)感嘗試，然后調(diào)整；
方法二：列表嘗試，假設(shè)全是5點(diǎn)或2點(diǎn)的牌；
方法三：先計(jì)算平均數(shù)，再做調(diào)整；
方法四：分組計(jì)算，再作調(diào)整。
在這一引入環(huán)節(jié)中，教師將"雞兔同籠"的情境改編為有趣的撲克牌魔術(shù)，借用"雞兔同籠"問(wèn)題的模型結(jié)構(gòu)，隱藏"雞兔同籠"的問(wèn)題類(lèi)型，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)和研究的興趣。
完成這一任務(wù)后，教師拋出"雞兔同籠"問(wèn)題，學(xué)生自覺(jué)進(jìn)行了遷移：
生：35個(gè)頭就相當(dāng)于牌的數(shù)量35張，94只腳相當(dāng)于94點(diǎn)。
生：兔子其實(shí)就是4點(diǎn)的牌，雞是2點(diǎn)的牌，因?yàn)橥米佑?只腳，雞有2只腳。
找到了共同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，學(xué)生就能很容易地解決問(wèn)題。
完成"雞兔同籠"問(wèn)題后，為了讓學(xué)生向更高水平邁進(jìn)，教師又拋出了新的問(wèn)題：
師：如果不使用雞和兔這兩種動(dòng)物，換為其他動(dòng)物或物體，你還可以創(chuàng)編一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題嗎？
生：狗和貓。
生：不可以，因?yàn)槎际?只腳。
師：改一改。
生：鵝和狗。
生：摩托車(chē)和三輪車(chē)。
師：總而言之，我們只要保證什么不一樣就可以了？
生：只要保證"腳"數(shù)不同就可以了。
師：不瞞大家說(shuō)，今天索老師和大家玩的數(shù)學(xué)魔術(shù)就是根據(jù)"雞兔同籠"問(wèn)題改編而來(lái)的。其實(shí)你也可以像索老師一樣創(chuàng)編出一個(gè)數(shù)學(xué)小游戲，如果你感興趣的話(huà)，還可以搜索相關(guān)的資料，制作一個(gè)小板報(bào)，也可以寫(xiě)一篇小論文或小發(fā)現(xiàn)。
從上述案例中我們可以看到，盡管建模對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難，但如果教師深刻理解模型的內(nèi)涵、建模的過(guò)程及學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑，就能夠很好地讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，從而在小學(xué)階段有效地滲透模型思想。
04
小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想的價(jià)值及建議
如前所述，如果我們將數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵適當(dāng)放寬，降低數(shù)學(xué)建模的要求，則在小學(xué)數(shù)學(xué)中能夠滲透數(shù)學(xué)建模思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模所承載的教育價(jià)值呢？在滲透數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)過(guò)程中，需要關(guān)注哪些問(wèn)題？這些都是教師設(shè)計(jì)有價(jià)值學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要前提和依據(jù)。
�。ㄒ唬┬W(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想的價(jià)值。
1、在建模中提升數(shù)學(xué)表達(dá)。
數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。"通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)，可以幫助學(xué)生不斷建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證等思維過(guò)程及數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思路和方案，是聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的有效實(shí)踐范式。"在建模的過(guò)程中，學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括圖示、圖表、符號(hào)等多種方式）簡(jiǎn)潔表達(dá)出數(shù)量關(guān)系或規(guī)律，這種意識(shí)和能力為學(xué)生后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累了重要經(jīng)驗(yàn)。
2、在建模中提高抽象思維水平。
模型是從現(xiàn)實(shí)情境中高度抽象和概括得到的，小學(xué)生在建模中之所以比較困難，很大程度上是因?yàn)樾W(xué)生還處于具體、形象的直觀操作階段，其抽象思維的發(fā)展還不夠完善，所以應(yīng)從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，再用來(lái)解決更多現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題，例如，"植樹(shù)模型"不僅僅解決種樹(shù)問(wèn)題，"雞兔同籠模型"不僅僅解決雞和兔子的問(wèn)題，建模的過(guò)程能夠幫助學(xué)生超越具體情境，向抽象思維水平邁進(jìn)。
3、在建模中培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。
《義務(wù)教育課標(biāo)2011》指出："應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面的含義：一方面，有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題；另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方式予以解決。"通過(guò)數(shù)學(xué)建模，能夠促進(jìn)學(xué)生了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及日常生活的相互聯(lián)系，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本能力。
�。ǘ┬W(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想的幾點(diǎn)建議。
學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維水平的提升需要依賴(lài)教師設(shè)計(jì)的好活動(dòng)，尤其是在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模思想的滲透既要經(jīng)歷過(guò)程，又不能過(guò)高要求，同時(shí)要兼顧不同層次和水平的學(xué)生需求，這就更加需要教師的精心設(shè)計(jì)。
1、關(guān)注學(xué)生建模中的難點(diǎn)，使其充分暴露，并作為重要教學(xué)資源。
學(xué)生在建模過(guò)程中的每一步都有可能遇到困難，如不會(huì)畫(huà)圖或畫(huà)出的圖不能準(zhǔn)確表征題意、觀察不到規(guī)律或不會(huì)用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、只能解決例題但不能類(lèi)推到變式題目等。學(xué)生遇到的這些困難都是重要的教學(xué)資源，敏銳地發(fā)現(xiàn)并充分暴露學(xué)生的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、爭(zhēng)論、舉例、辯論、追問(wèn)中逐步澄清，是突破學(xué)生學(xué)習(xí)困難的重要途徑和手段。
2、重視直觀模型（畫(huà)圖），不要急于套用公式解決問(wèn)題。
建模過(guò)程中，建立直觀模型（畫(huà)圖）是重要且關(guān)鍵的一步，教學(xué)中要防止急于套公式的做法。波利亞指出："即使你的題目不是一道幾何題，你也可以嘗試畫(huà)一張圖。給你的非幾何題找到一個(gè)清晰的幾何表示，也許是邁向解答的重要一步。"小學(xué)生處于具體、形象的思維階段，畫(huà)的圖既可以是具體的實(shí)物圖，也可以是抽象的線段圖。隨著年齡的增長(zhǎng)，建模過(guò)程中借助的直觀模型也可以慢慢由具體走向抽象。
3、不同學(xué)生建模的過(guò)程與能力水平不同，要正視差異。
學(xué)生在建模過(guò)程中表現(xiàn)出的不同能力水平是客觀存在的，教學(xué)過(guò)程中要正視這種差異，等待學(xué)生逐步提升，不能急于求成。作為《高中課2017》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生中學(xué)階段繼續(xù)學(xué)習(xí)的價(jià)值是不言而喻的，在小學(xué)做些滲透、讓學(xué)生有些感悟和體驗(yàn)、嘗試經(jīng)歷這樣的過(guò)程、積累有價(jià)值的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、使學(xué)生能夠在中學(xué)甚至大學(xué)的學(xué)習(xí)中達(dá)到更高的建模水平，這是我們的期望。
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