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數學對法律文化的影響
一、引 言全日制義務教育新《數學課程標準》明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗�！边@實際上從一個角度要求數學教師，要重視學生的認知學習。但在實際教學中，還未重視認知結構的研究運用。尤其到了復習階段，連續(xù)不斷的向學生發(fā)放復習試卷和機械地向學生布置復習題給予強化，以達到反應結果�；蛘咴谄綍r教學中，讓學生死記一些結論，不注重“有意義的學習”。學生的學習似乎還停留在“S—R”階段。這種簡單的操作方法在短時間內能使考試成績上去，但代價是學生沉重的學習負擔，并造成學生思維僵化，不利于培養(yǎng)“發(fā)展型”人才，與素質教育背道而馳。如學生對于絕對值概念，只知道│a│是a絕對值，而不明白它的真正內涵。沒有通過學生生活中已建立起來的認知概念與數學內容的新認知結構進行聯(lián)結。結果是造成對絕對值概念理解的是似而非。本文就數學學習的聯(lián)結問題及導向策略上作一些探索。
二、關于聯(lián)結理論
數學學習是什么過程？“人類的學習總是以一定的經驗和知識為前提，是在聯(lián)想的基礎上，更好地理解和掌握新知的�！雹� 數學學習也不例外，這里的聯(lián)想即為知識的聯(lián)結過程。
關于聯(lián)結，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學家桑代克為代表的聯(lián)結主義的行為學習理論。二是以美國心理學家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認知學派學習理論。桑代克的主要觀點是，學習就是作嘗試錯誤。如果把當今的學習刺激設為S，學習反應設為R，學習就是S—R的聯(lián)結過程。它是在動物實驗的基礎上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現錯誤，不斷矯正，從中學會知識和技能。
而認知學派認為，學習就是知覺的重新組合，這種知覺經驗變化過程不是簡單的“S—R”過程，而是突然的“頓悟”，強調“情景的整體關系”。而以美國心理學家托而曼為代表的觀點進一步認為，在 S與R之間應該有一個“中間變量”，即認知和目的，學習是期待，就是對環(huán)境的認知。因而，學習過程是一個S—O—R的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進行了發(fā)展為現代認知理論，認為“學習就是類目即及其編碼系統(tǒng)的形成�！雹谒粌H批評S—R直接、機械的聯(lián)結，而且提出學習存在一個認識過程，是認知結構的重新組合。強調原有的認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在聯(lián)系。把內在聯(lián)系的材料和學生原有的認知結構聯(lián)結起來，新舊知識發(fā)生作用，新材料在學生的頭腦中達成“內化”，學會了對“S—O—R”中的“O”的捕捉，成為真正的意義的聯(lián)結，或者說學生對新材料有了深刻地理解和超越。
顯然，在不同的時代，上述理論對數學教育都有積極的貢獻。但時至今日，在數學教育中，我們不能不重視，數學學習重要的應該是認知學習，它是一個建立學生心理內部學習機制的過程。這里要明白三點：學生學習數學，一要利用學生原有的認知結構，二要重視學生一定年齡階段的心理發(fā)展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。
三、數學學習的兩種聯(lián)結思想剖析
下面結合教學實踐，說明“S—R”與認知結構連結之間的各自意義。
例：如圖，已知在⊙O內接△ABC中，D是AB上一點，AD=AC，E是AC的延長線上一點，AE=AB，連結DE交⊙O于P，延長ED交⊙O于Q.求證：AP=AQ.
按“S—R”的行為主義聯(lián)結理論，可以讓學生直接操作。這時，學生可能不去仔細審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然后再回頭去審題。在點、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產生錯誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之后，再不去認識、總結。下次在碰上此題，又重新錯誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費，所學知識也難以鞏固。平時，我們老師經常說：“此題我讓學生解過，還做不出！”原因在于“S—R”聯(lián)結不是“有意義的學習”，沒有找出新舊知識之間的內在聯(lián)結，沒有建立學生的新的認知結構。
而利用認知結構理論思考，首先是認真審題，進入“上位學習”③，對自己提問：
1、見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎知識？（圖類似？還是條件類似？還是結論類似？）
2、見過與之有關的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結論嗎？引進什么輔助條件，以便利用？）
以此，把原建立的認知結構中的全等三角形、圓周角性質、等腰三角形的判定等舊知加以調運。在此基礎上，使學生進入“下位學習”④
然后，盯住目標——始終盯住要證的結論AP=AQ。就是要明確方向，哪怕中間狀態(tài)不斷變化，但始終與目標比較，及時調整自己的思路，建立“認知地圖”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什么方法能夠達到目標？（1、達到的目標的前提是什么？2、能實現其中的某個前提嗎？3、實現這個前提還應該怎么辦？）
如上題，我們不妨采用逆向分析進行探索。這是認知策略的其中一條有效途徑：
AP=AQ（目標）
↑
∠AQP=∠APQ（前提）
以下為實現前提需找中間量，
即∠AQP=中間量=∠APQ.這時, 逆向分析無法進行,此時一般就是添輔助線的時候,轉化圓周角∠AQP,連結BP,即有
∠AQP=∠ABP.
因此,只要證明∠ABP=∠APQ.
由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,
而∠PBC=∠PAC,所以,只要證∠ABC=∠E,即證△ABC≌△AED.
(以下略)
這樣，學生在原有的認知結構思維水平基礎上發(fā)展他的聯(lián)想思維，使新舊知識加以聯(lián)結，找到證題方法，達到解決問題，建立起新的認知結構。
因此，我們在教學中，一定要把精力化在建立學生認知結構的工夫上，善始善終加以引導。少用或不用“S—R”這種“嘗試錯誤”的機械方法，多用科學成功的嘗試，引導學生認真尋求“中間變量”，努力使學生的新舊知識加以聯(lián)結，促進學生的數學素養(yǎng)不斷提高。
四、數學學習聯(lián)結的教學策略
事實上就學習者對數學問題的解決，無論是數學概念的形成、數學技能的掌握，還是數學能力的培養(yǎng)，都是學習者由未知到已知的聯(lián)結過程，即“S—R”的聯(lián)結過程，重要的是尋求“中間變量O”，從而構建數學認知結構。所謂數學認知結構，就是學生通過自己主動的認識而在頭腦里建立起來的數學知識結構�？梢赃@樣說，數學學習的聯(lián)結過程，就是數學認知建構的過程，學會自覺主動的尋求“中間變量”。最終達到解決問題的目的的過程。那么，在這一過程中數學學習究竟有那些規(guī)律可循？說具體一點有那些主要途徑，這里談一些粗淺的認識。
策略之一：以數學知識結構為基礎，構建學生的數學認知結構
學習過程就其本質而言是一種認識活動。因此，數學教學的根本任務是發(fā)展學生的數學認知結構，首先應明確：數學認知結構是由數學知識結構轉化而來的；要建立學生的數學認知結構，首先必須以數學知識結構為基礎，進行開發(fā)、利用，從而轉化為學生的數學的認知結構。著重把握以下三個方面：
�。�1）加強數學知識的整體聯(lián)系。數學是一個有機整體，各知識相互聯(lián)系，教學中教師對數學知識的組織應能促進學生從前后聯(lián)系上下照應的角度對數學知識進行整體性構建從而在頭腦中形成經緯交織的知識網絡，這是一種“情景的整體關系”。對于一個具體的數學問題，應該感知有效的信息。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個問題，就是尋求有效信息，找其聯(lián)結點；對于“準類”的一塊知識，要注意縱向聯(lián)結。如函數，初一年級學習一次式、一元一次方程、二元一次方程組時，就要向學生滲透函數思想，初二學習正比例函數、反比例函數、一次函數，要回首前面知識與函數的聯(lián)系，并在學習一元二次方程時，自然與二次函數聯(lián)結作準備。到了初三，初中數學的“四個二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函數）有機地綜合聯(lián)結；對于一章知識，要讓學生逐步自己小結，構成知識網絡，輸入大腦，形成數學認知結構。
�。�2）注意揭示數學思維過程。數學被稱為“思維的體操”，但是數學的思維價值和智力價值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達指令能創(chuàng)造出來的，課堂教學中，教師應精心創(chuàng)設問題情景，引導啟發(fā)學生積極思維，其間應注意兩個環(huán)節(jié)：①制造認知沖突——充分揭示學生的思維過程，即使新的需要與學生原有的數學水平之間產生認知沖突。傳統(tǒng)的教學在教師分析討論解題時，往往思路理想化、技巧化、脫離學生的認知規(guī)律，忽視了學生的思維活動，導致學生一聽就懂，一做即錯。學生無法達到真正的連結。為此，在引導學生學習中，為了使學生聯(lián)結中，必須充分估計知識方面的缺陷和學的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側面引起學生的注意和思考，使他們在跌到處爬起來，在認知沖突中加強聯(lián)結。②稚化自身思維——充分揭示教師的思維過程。即教師啟發(fā)引導要與學生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學中，對于各類問題，均能“一想即出，一做就對”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學生，使學生產生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發(fā)，稚化自身，象學生學習新知識的過程一樣展開教學，把自己認識問題的思維過程充分展示，接近學生的認知勢態(tài)，學生才能真正體會、感受到數學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧。③開發(fā)解題內涵——充分揭示數學發(fā)展的思維過程。在引導學生學習中，除了學生、教師的思維活動外，還存在著數學家的思維活動，即數學的發(fā)展思維過程。這種過程與經過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內容照搬到課堂上學生就無法領略到數學家精湛的思維過程。學生要吸取更多的營養(yǎng)，必須經自身的探索去重新發(fā)現。這就需要教師幫助學生開發(fā)數學問題的內涵，努力使學生的整理性思維方式變?yōu)樘剿餍运季S方式，有效地使學生從數學知識結構出發(fā)，構建新的認知結構。
�。�3）有機滲透數學思想方法。所謂數學思想方法就是數學活動的基本觀點，它包括數學思想和數學方法。數學思想是教學思維的“軟件”，是數學知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對數學規(guī)律更一般的認識，它蘊藏在數學知識之中，需要教師引導學生去挖掘。而挖掘的過程就是數學認知結構形成的過程，也就是數學學習的最佳連結過程。數學方法是數學思維的“硬件”，它們是數學知識不可分割的兩部分。如字母代數思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、參數思想、變換思想、分類思想等。數學方法包括一般的科學方法——觀察與實驗、類比與聯(lián)想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數學學科特點的具體方法——配方法、換元法、屬性結合法、待定系數法等等Æ。這就要求在數學知識教學的同時，必須注重數學思想，數學方法的有機滲透，讓學生學會對問題或現象進行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助于學生一個活的數學知識結構的形成�，F舉一例：
例：如圖，在線段AB上有三個點C1，C2，C3，問圖中有多少條線段？若線段AB上有99個點，則有多少條線段？ A C1 C2 C3 B
探索分析：①如果一條一條數，這是一種思想方法；②如果AB上有99個點就得另辟溪徑；③假如一開始要你對后一種比較復雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到復雜的數學方法，也就是“以退求進”的變換思想；
當有1個點C1時，有線段AC1，AB， C1A，共有2+1=3條；
當有2個點C1C2時，有線段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6條；
當有3個點C1C2C3時，有線段AC1，AC2，AC3，AB，C1C2，C1C3，C1B，C2C3，C2B，C3B共有4+3+2+1=10條；
當有99個點時，共有線段100+99+98+……+3+2+1=5050條.
這里用到了重要的歸納思想。
策略之二：以學生的層次性出發(fā)，引導學生構建新的數學認知結構
一方面，認知結構總是在學生頭腦中進行建構的。學生學習活動的主動性，自覺性是建構認知結構的精神力量；另一方面，認知結構總是不斷發(fā)生變化的，原有認知結構是構建新認知結構的基礎，新認知結構是原認知結構的發(fā)展與完善。因此教師應積極探索在課堂教學中根據學生實際按層次引導他們去構建數學認知結構。
�。�1）對整體水平較高的班級集體，由于學生有較豐富的知識積累，具有較強的形成“思維鏈”的能力，因而可采用快（教學節(jié)奏）、多（問題系列）、變（習題豐富多變）等思路進行教學，啟發(fā)學生的思維向縱深發(fā)展，培養(yǎng)學生思維的敏捷性和獨創(chuàng)性。促進以高效快速建構。
�。�2）對學生基礎和發(fā)展水平中等的班級集體，教師應以課本為本，按教材本身的內在邏輯有序地組織教學，理清知識體系，形成知識網絡，注意方法指導，培養(yǎng)學生自學能力和應用知識解決實際問題的能力。
�。�3）對整體水平較低的班級集體，重在考慮以下策略：①采用“小步子”方式循序漸進，經�！盎仡^觀望”，調整教學進度和內容的難易度以符合學生認知結構；②盡可能多地利用多種手段（例如：形象生動的語言或多種教學媒體的輔助）激發(fā)學生學習興趣，啟發(fā)學生思維；③對學生因新舊知識銜接不良難以遷移時，及時制定有針對性的復習對策，通過提問、書面作業(yè)、補充輔導等幫助學生過渡，以取得整體水平的提高�，F舉一例課堂實錄片段，特別適用數學整體水平較低的的學生：
例：課題——無理數。學生學了有理數后，不能有效地容納無理數概念，即學生用“同化”的過程形成新概念，只能通過“順應”的過程達到無理數概念的形成。對于基礎較差的班級學生，若直接用“無盡不循環(huán)小數叫無理數”死灌，感到抽象，學生難以理解。我們不妨用形象生動的教學情景，從感知著手：教師上課進教室，手拿一個骰子。上課開始，教師問學生：“這是一件什么東西？” 學生感到詫異：“老師怎么把賭具拿到教師里來，這不是搓麻將用的嗎！”引起學生一片好奇心。接著教師把一位同學請到講臺前進行拋骰子，教師作好記錄，黑板上跳出一串數： 2.25361554261……，這時，教師問學生：“無盡的投下去，結果出現的數能循環(huán)出現嗎？” 由于這是學生直接感知到的，又貼近實際，學生很自然地得出了無理數的概念。這是一種巧妙的聯(lián)結，是行之有效的策略。
總之，從數學知識結構本身不同層次學生來說，創(chuàng)設聯(lián)結的“最近發(fā)展區(qū)”，引導他們樂于構建新的認知結構這一導向策略，體現了因材施教，因人施教的原則。
策略之三：以學生發(fā)展為目標，使學生自主地構建新的數學認知結構
根據數學認知結構來構思教學策略較好地解決了知識與能力的關系，但是，教學的根本問題乃是人的問題。面向二十一世紀的中學數學教師應該看到：學生的學習主要不只是為適應當前的環(huán)境，而是為適應今后發(fā)展的需要。從當前看，學生的學習容易成為一個被動的接受過程；從未來看，他們的學習又有待于發(fā)展到完全獨立而主動的自學階段，因些，數學課堂教學的重點是要培養(yǎng)起獨立積極學習的態(tài)度和自我教育，自我發(fā)展的自主的、能動的、創(chuàng)造性的能力。數學認知結構的建立，最后歸根到底，不是依賴教師去建構，更不是簡單的聯(lián)結，而是要求學生離開教師后，能自己主動地建構。因此以“人的發(fā)展”為主題，進行中學數學課堂教學策略的探討和構思是一種趨勢。
“人的發(fā)展”是課堂教學的出發(fā)點和歸宿，而課堂教學如何促進人的發(fā)展呢？必須以培養(yǎng)學生獨立學習的能力為突破口，獨立學習的實質是強調學生的獨立思考。傳統(tǒng)的教學模式是先教后學，即課堂教學在先，學生復習作業(yè)在后。然而獨立學習將這種天經地義的教學關系（或順序）顛倒過來，先學后教，即學生首先必須獨立學習，然后再進行課堂教學。在課堂教學中應著重解決學生在獨立學習中遇到的問題。中央教科所盧仲衡先生倡導的數學自學法、北京師范大學裴娣娜教授的自主發(fā)展性教學、上海華東師范大學葉瀾教授的“自主教學”、江蘇特級教師邱學華先生的嘗試教學法、江蘇洋思中學的“先練后學”教學模式等等，不失為使學生自覺構建新的認知結構的有效連結途徑。因此，此時的課堂教學是在獨立學習的基礎上進行，其教學策略則應側重在以下幾個方面：①通過檢查閱讀筆記和作業(yè)本以及課堂小測驗或提問來了解學生獨立學習的情況；②反映和解決學生獨立學習中存在的主要問題。關鍵在于教師在引導學生對存在的問題進行分析歸類，將大部分問題在分析過程中得以解決，小部分問題則通過質疑，討論來解決；③教師應充分尋找學生思維的閃光點，讓學生充分表現，鼓勵學生大膽發(fā)表自己的獨立見解。同時教師留心尋找學生的創(chuàng)見，作為深化課堂教學的契機，使全班同學共同受益。④小結引導學生對本節(jié)內容進行小結，要求學生按照自己的思路的方法把小結內容記入閱讀筆記。
初看起來，強調學生的獨立學習，似乎教師的教學任務輕了。其實不然，在獨立學習基礎上所進行的課堂教學是一種高水平的教學。就學生而言，課堂上充滿求知欲（問題意識）和表現欲（參與意識），課堂教學因此具有了永恒的內在動力。就教師而言，教學再也不能只停留在傳授知識的層面上，而須在發(fā)現問題、啟發(fā)思維、培養(yǎng)悟性上下功夫。它客觀地要求教師不斷地超越學生、超越一般的教學、超越自我，從而真正達到了教學相長的目的。根據教學目標包括知識、情感及技能目標來構思教學策略是提高課堂教學效益的有效方法，但從更深層次來說構思教學策略還應更注重培養(yǎng)學生的能力，這就要求從認知結構的角度，從數學思維規(guī)律的培養(yǎng)及數學思想方法的滲透來構思教學策略，使學生在有限的中學學習中從“學會”變會“會學”。同時還應掌握“獨立學習”能力，使學校成為從“終結教育”轉向“終身教育”的場所，因此從教育發(fā)展人的功能的角度來分析，設計數學認知結構的形成的聯(lián)結策略是一種趨勢。
教學活動是一項創(chuàng)造性的活動，合理的課堂教學策略是一種科學的導向，對于提高數學課堂教學效益，培養(yǎng)學生能力，全面地促進學生和諧的、創(chuàng)造性的發(fā)展有著極其重要的作用。合理的教學策略的選擇是一項藝術，這一藝術將使學生的數學學習成為有意義的聯(lián)結，煥發(fā)出學習生命的活力。
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注釋：
�、僦苊餍牵骸督處煿ぷ鲃�(chuàng)新》，中國人事出版社，1999（8），第46頁。
�、� Æ鄭君文、張恩華：《數學學習論》，廣西教育出版社，1998（12）第16、54頁。
�、� ④皮連生 邵瑞珍：《教育心理學》，上海教育出版社，1998（1），第74-75頁。
�、萜みB生 邵瑞珍：《教育心理學》，上海教育出版社，1998（1），第45頁。
Å盛志軍：“淺談數學解題教學中揭示思維過程中的途徑”，《中學數學月刊》，江蘇，1997.12，第8-10頁
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