分片實(shí)驗(yàn)與有限元法

　　摘要：本文提出分片試驗(yàn)在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元發(fā)展的一個(gè)主要特色。得出分片試驗(yàn)對(duì)位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)的要求，這些要求便是一個(gè)好的有限元法所應(yīng)保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗(yàn)的關(guān)系，借此分析了雜交元、擬協(xié)調(diào)元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時(shí)產(chǎn)生的對(duì)其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法如何保證分片試驗(yàn)的滿足；最后作為位移條件的應(yīng)用例子，改進(jìn)了BCIZ元。
　　關(guān)鍵詞：分片試驗(yàn)，弱形式，網(wǎng)線函數(shù)，有限元法
　　
　　1引言
　　
　　連續(xù)問題極大地推動(dòng)了有限元的發(fā)展，目前，成熟的構(gòu)造單元的方法有傳統(tǒng)的位移法有限元[1]、應(yīng)力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協(xié)調(diào)元[2][3]、廣義協(xié)調(diào)元[6]、雙參數(shù)法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在數(shù)學(xué)上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個(gè)課題，而且其數(shù)學(xué)證明還很難被研究力學(xué)的人們所理解。人們?nèi)员容^普遍以事后的分片試驗(yàn)來驗(yàn)證單元的收斂性。盡管當(dāng)前仍有對(duì)分片試驗(yàn)的討論，但以往的大量實(shí)踐說明：通過分片試驗(yàn)的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗(yàn)是絕大多數(shù)有限元分析方法的共同點(diǎn)，近期有限元的發(fā)展可以說是以分片試驗(yàn)為一個(gè)主要內(nèi)涵的發(fā)展。
　　
　　眾所周知，分片試驗(yàn)是與單元間的位移協(xié)調(diào)性密切相關(guān)的。人們?cè)谶M(jìn)行有限元分析時(shí)，不可避免的涉及了單元間的協(xié)調(diào)關(guān)系，這種協(xié)調(diào)關(guān)系與兩個(gè)單元有關(guān)，文[4][5]采用了單元邊界上的公共的位移插值函數(shù)，文[9]把這種位移插值函數(shù)成為“網(wǎng)線函數(shù)”。正式這種所謂的“網(wǎng)線函數(shù)”的采用，單元間的協(xié)調(diào)問題可以在單元內(nèi)獨(dú)立考慮。目前成功解決連續(xù)問題的有限元法均有意或無(wú)意地使用了這種網(wǎng)線函數(shù)。本文通過網(wǎng)線函數(shù)給出了分片試驗(yàn)對(duì)應(yīng)變和位移的要求。
　　
　　目前對(duì)各種有限元法分析的方法均是在單元一級(jí)上采用變分原理，從而得到單元的應(yīng)變（或應(yīng)力）的，由結(jié)點(diǎn)位移為參數(shù)表達(dá)的表達(dá)式，再把它們代入最小勢(shì)能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應(yīng)變（或應(yīng)力）的做法上不同，好的有限元法得到的應(yīng)變表達(dá)式已滿足了通過分片實(shí)驗(yàn)所應(yīng)滿足的條件。
　　
　　2分片檢驗(yàn)的要求
　　
　　因有限元法最終列出的是勢(shì)能的方程，因此分片試驗(yàn)可以看作：在常應(yīng)變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對(duì)勢(shì)能無(wú)貢獻(xiàn)，在薄板彎曲問題中，可如下表達(dá)：
　　
　　(1)
　　
　　其中,A：?jiǎn)卧�域，為位移的不協(xié)調(diào)部分,有：
　　
　　
　　
　　
　　
　　(2)
　　
　　為位移，為位移的協(xié)調(diào)部分。
　　
　　方程(1)可以理解為：在常內(nèi)力情況下，不協(xié)調(diào)位移對(duì)應(yīng)變能無(wú)貢獻(xiàn)。把(2)式代入方程(1)
　　
　　(3)
　　
　　對(duì)(3)式中的項(xiàng)應(yīng)用格林公式，并應(yīng)用坐標(biāo)變換公式：
　　
　　(4)
　　
　　其中、分別為位移協(xié)調(diào)部分在單元邊界的法向和切向的導(dǎo)數(shù)，即為文中的網(wǎng)線函數(shù)，、
　　
　　
　　
　　為單元邊界外法線的方向余弦。對(duì)含的項(xiàng)再分步積分得：
　　
　　（>r時(shí)）(5)
　　
　　r表示單元的邊數(shù)，表示結(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)。對(duì)(3)中的含項(xiàng)也進(jìn)行分步積分并整理有：
　　
　　(6)
　　
　　同樣，對(duì)項(xiàng)再分步積分得：
　　
　　(7)
　　
　　ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)，表示位移函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的值。
　　
　　(4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗(yàn)所需滿足的方程。
　　
　　
　　
　　
　　(4)、(5)是從應(yīng)變的角度反映了分片試驗(yàn)對(duì)單元的要求，這里稱之為應(yīng)變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗(yàn)對(duì)單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應(yīng)用了這些條件。
　　
　　傳統(tǒng)的位移法構(gòu)造的協(xié)調(diào)元自動(dòng)滿足了上述各式，下面對(duì)其它有限元分析方法進(jìn)行分類分析。
　　

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