微分中值定理的推廣形式

　　微分中值定理的推廣形式

　　劉期懷

　�。ü鹆蛛娮涌萍即髮W(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西桂林541001）

　　摘要：函數(shù)的可微性與定義域的凸性是中值定理成立的兩個本質(zhì)條件，本文我們將微分中值定理推廣到多元可微函數(shù)的情形。最后，我們將介紹微分中值定理的一個統(tǒng)一公式，該公式適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

　　關(guān)鍵詞：微分中值定理；Lipschitz連續(xù)；Clarke梯度

　　基金項目：本文獲得桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教學(xué)改革重點(diǎn)項目資助

　　1 引言

　　微分中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)中最重要的定理之一，也是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容。關(guān)于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推廣形式及其應(yīng)用。在文獻(xiàn)[1]中，作者利用平面幾何中曲線之間的相切關(guān)系不依賴于坐標(biāo)軸的選取這一基本事實對微分中值定理進(jìn)行了幾何上的解釋；文獻(xiàn)[2]把微分中值定理推廣到連續(xù)的一元凸（或者凹）函數(shù)上去，給出了微分中值定理更加一般的形式。眾所周知，歐式空間上的凸（或者凹）函數(shù)具有局部Lipschitz連續(xù)性。下文中我們首先將微分中值定理推廣到多元可微函數(shù)上去，并且通過結(jié)果指出，函數(shù)的可微性與定義區(qū)域的凸性是中值定理成立的兩個本質(zhì)條件。最后，我們將介紹微分中值定理的一個統(tǒng)一公式，該公式可適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

　　在本文中，我們始終假設(shè)A為歐式空間Rn上的開集，函數(shù)u（x）為A上的實值連續(xù)函數(shù)。對于任意給定的x，y∈A，記［x，y］A為連接x，y線段上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合。

　　2 多元函數(shù)微分中值定理

　　從定理1的證明來看，ξ的值可不在線段［x，y］的兩個端點(diǎn)上取到。

　　3 Lipschitz連續(xù)函數(shù)中值定理的統(tǒng)一形式

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]曾可依。從幾何的角度看微分中值定理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，（02）：108-111.

　　[2]王良成，白海，楊明碩。關(guān)于Lagrange微分中值定理的逆問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（05）：140-143.

　　[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，2004.

　　[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M].Wiley，New York，1983.

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