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淺析反常積分與定積分的定義與性質(zhì)
淺析反常積分與定積分的定義與性質(zhì)
劉漢兵1，劉樹(shù)兵2
�。�1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢） 數(shù)理學(xué)院，湖北武漢430074；2.湖北省鄂州市第二中學(xué)，湖北鄂州436001）
摘要：積分學(xué)是微積分理論中的一個(gè)重要部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類(lèi)。這兩類(lèi)積分各自具備一些性質(zhì)，而這些性質(zhì)常常被拿來(lái)相互比較。本文將從定義出發(fā)，結(jié)合一些反例，深入剖析定積分和反常積分的性質(zhì)差異及其原因。
關(guān)鍵詞：反常積分與定積分；性質(zhì)差異；定義
作者簡(jiǎn)介：劉漢兵（1985-），男（漢族），湖北鄂州人，博士，講師，研究方向：微分方程的最優(yōu)控制理論；劉樹(shù)兵（1982-），男（漢族），湖北鄂州人，本科，高中教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)教育。
積分學(xué)是微積分理論中的一個(gè)重要組成部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類(lèi)，反常積分又包含了無(wú)窮積分與瑕積分，它們可以看作是定積分的推廣，是定積分的某種意義下的極限形式。粗略來(lái)看，反常積分是更為一般的積分，定積分作為更為特殊的積分，應(yīng)該具備反常積分所具備的性質(zhì)。但是在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以看到反常積分與定積分的一些性質(zhì)有所區(qū)別，甚至從表面上看，反常積分的一些性質(zhì)，定積分并不具備。本文將從定義出發(fā)，剖析這些性質(zhì)的差異及其原因，以更加準(zhǔn)確深刻的理解定積分和反常積分的異同。
一、無(wú)窮積分與定積分的定義與性質(zhì)
我們知道對(duì)于無(wú)窮積分，有如下的一個(gè)重要性質(zhì)。
這顯然是不合情理的，因?yàn)闊o(wú)窮積分是定積分的推廣，定積分是更為特殊的積分。仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)命題中第二個(gè)命題即為定理2的結(jié)論，是真命題，而命題一看似定理1的結(jié)論，但是它與定理1的描述相比，去掉了一個(gè)非常重要的條件：“f在任何有限區(qū)間[a，u]上可積”，所以命題一是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，我們上述定義的函數(shù)E（x）可以更直接的說(shuō)明命題一是不對(duì)
從定理的證明我們也可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到A、B兩部分內(nèi)容的差異對(duì)定理結(jié)論的影響。定理1的兩個(gè)證明都是圍繞積分上限趨于正無(wú)窮時(shí)，變上限積分極限的存在性展開(kāi)的，而定理2的證明則是依賴(lài)于有限區(qū)間上的可積性定理，即證明當(dāng)劃分足夠細(xì)時(shí)，Daboux大和與Daboux小和收斂到同一個(gè)極限，這是完全不同的兩個(gè)對(duì)象。另一方面，我們從證明里面看到，定理1確實(shí)是依賴(lài)于條件A的。在定理1的證明里，我們用到了f（x）在任一有限區(qū)間上的定積分，如果沒(méi)有條件A，這些定積分是不存在的，這也說(shuō)明了為什么不能運(yùn)用定理1的證明方法得到定積分的類(lèi)似性質(zhì)。
從以上的分析我們可以看到反常積分的一些性質(zhì)，(www.gymyzhishaji.com)特別是基于條件A的一些變限積分極限的收斂性質(zhì)不能簡(jiǎn)單的從表面形式上與定積分的可積性質(zhì)進(jìn)行比較，更不能因此錯(cuò)誤的認(rèn)為反常積分具有定積分所不具備的性質(zhì)。定理1和定理2所表述的是兩個(gè)毫不相關(guān)的對(duì)象的性質(zhì)，把它們進(jìn)行比較沒(méi)有實(shí)質(zhì)的意義，反而容易產(chǎn)生認(rèn)知上的混淆。
二、瑕積分與定積分的定義與性質(zhì)
瑕積分的定義與無(wú)窮積分有類(lèi)似的特點(diǎn)。
從以上的論述我們可以認(rèn)識(shí)到，不論是無(wú)窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。這兩類(lèi)積分的收斂性首先都要以某類(lèi)有限區(qū)間上的可積性為前提，其次是要求積分上（下）限在某一趨勢(shì)下的變限積分的極限存在。反常積分的一些性質(zhì)，形式上看起來(lái)可以與定積分的某些性質(zhì)進(jìn)行比較，但是實(shí)際上這種比較是非常牽強(qiáng)的，甚至?xí)煜拍�、模糊認(rèn)知，因此，應(yīng)該從定義出發(fā)，區(qū)分這些性質(zhì)的異同，理解背后本質(zhì)的原因，更加準(zhǔn)確深刻地理解反常積分和定積分。
參考文獻(xiàn)：
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室。高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.
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