“線性回歸直線”的教學思考

　　“線性回歸直線”的教學思考
　　
　　重慶市復旦中學 袁 亮
　　
　　一、問題的提出
　　
　　在新課標教材《數學3（必修）》第二章統(tǒng)計第三小節(jié)變量間的相關關系課本中介紹了用每個樣本點與線性回歸直線對應點的縱坐標差的平方和最小來刻畫“從整體上看，各點與直線的距離最小”，并用最小二乘法推導出線性回歸方程的斜率與縱截距。
　　
　　在刻畫“從整體上看，各點與直線的距離最小”中新課標教材《數學3（必修）》給出了另外三種方式。但是在選擇上沒有給出任何關于哪樣的程度是可靠性強及合理的解釋，就直接選取了每個樣本點與線性回歸直線對應點的縱坐標差的平方和最小來刻畫。
　　
　　那么上述三種方式模擬出的直線是怎樣的形式，以及怎樣的程度才是比較合理的和可靠性強的？
　　
　　二、討論與分析
　　
　　以新課標教材探究中人體脂肪含量和年齡關系為例
　　
　　如果我們只用除去最后一個數據即點（61，34，6）來用最小二乘法擬合回歸直線，則可計算得到回歸方程為y=0.5775x-0.4854，如果代入61年齡檢驗可得到y(tǒng)=34.74，與樣本中所采集的數據34.6之間的偏差為0.14。
　　
　　2.1教材所提供的其他三種方式擬合回歸直線。
　　
　　2.1.1各點到直線距離和最小來擬合回歸直線。
　　
　　我們把“各點到直線距離和最小來擬合回歸直線”記作方法一。
　　
　　把我們所獲得的組數據（最后一組數據用來檢驗回歸直線的擬合情況用），記為：
　　
　　通過利用LINGO軟件編程可以實現計算出Q（a,b）最小時的a，b，進而得到此法下擬合的回歸直線方程為y=0.6x-2.2，如果代入最后一點的數據61檢驗可得到y(tǒng)=34.4，與樣本中所采集的數據34.6之間的偏差為-0.2。
　　
　　2.1.2直線兩側點個數基本相同來擬合回歸直線。
　　
　　我們把“直線兩側點個數基本相同來擬合回歸直線”記作方法二。
　　
　　可以想到如果把13這組數據描繪成散點圖，然后用一條斜向下的直線去分割數量得到的直線肯定不合適；所以我們還是用和數據走勢一致的直線去擬合回歸直線，同時也很容易想到這樣的直線不定。
　　
　　通過散點圖的觀察和計算13組數據所構成點的坐標與原點的斜率可以看出斜率變化不大，因而我們用過原點的直線去擬合回歸直線并讓直線兩側的點數基本相同，根據斜率大小找到回歸直線方程為y=0.5639x，如果代入最后一個點的數據61檢驗可得到y(tǒng)=34.3979，與樣本中所采集的數據34.6之間的偏差為-0.2021。
　　
　　2.1.3用多條直線的斜率、縱截距平均數來表示回歸直線。
　　
　　我們把“用多條直線的斜率、縱截距平均數來表示回歸直線”記作方法三。
　　
　　不難想到這多條直線的選取應該根據樣本點的走勢來看，同時可以想到這種方法去擬合的直線不定。
　　
　　根據樣本描繪的散點圖選擇了多組與整體走勢相近的7組點得到直線的斜率和縱截距，然后用斜率、縱截距的平均值作為回歸直線的斜率和縱截距，從而得到的擬合回歸直線方程為y=0.639x-2.5534，如果代入最后一個點的數據61檢驗可得到y(tǒng)=36.43，與樣本中所采集的數據34.6之間的偏差為1.827。
　　
　　2.2比較上述的四種方法擬合的回歸直線的特點。
　　
　　首先說到方法一，這是最容易想到的，同時也是最讓人接受的方法，在實際教學過程中很多學生都會問到這個方法為什么教材直接就否定了而采用“最小二乘法”，即利用各個樣本點與回歸直線偏差的平方和來擬合，且從圖形中也可以看到，點到直線的距離與點到直線的偏差“等價”，兩者之間差一個系數而已。
　　
　　其實兩個方法之間的確有差異，雖然看起兩者只差一個系數，但是這個數卻與回歸直線的斜率有關，即在確定直線之前是一個變量。再有比較兩種方法可以看到利用“最小二乘法”得到的估計值比較接近實際測量值。
　　
　　其次說到方法二和方法三，在實際教學中學生很容易想到這兩個方法使用起來一不方便，二這兩個方法所確定的直線不唯一也就不好判定誰具有最佳的擬合程度。而且從剛才利用兩個方法擬合到的直線也可以看出與實際測量值的差距比較大。
　　
　　2.3最小二乘法的特點。
　　
　　追溯最小二乘法的歷史可以知道早在1806年法國科學家勒讓德獨立發(fā)現，并成功的讓高斯通過統(tǒng)計40天的谷神星的觀測數據計算得到了谷神星的軌跡。從這點來說最小二乘法不僅可以很好的擬合兩個變量的直線形式，而且還可以擬合兩個變量的曲線形式。
　　
　　不過任何方法都有其缺點，利用最小二乘法擬合直線時對兩個變量的數據要求比較高，要使得數據的隨機誤差滿足正態(tài)分布，同時也可以驗證當樣本點中出現了異常點時，用最小二乘法擬合得到的直線則誤差較大。
　　
　　三、結束語
　　
　　在比較了最小二乘法與其他的方法擬合回歸直線的優(yōu)缺點后，可以讓學生更好的體會到最小二乘法的優(yōu)越性和必要性，使得數學學習更加自然；而且回顧最小二乘法的歷史也讓學生體會數學的魅力。
　　
　　再者在新課程的教學背景下，從教材的編排中可以看出，現在教學更需要注重知識的實用性和過程性，不僅要求學生要知道怎樣去用，更要明白為什么可以這么用。
　　
　　【參考文獻】
　　
　　[1]人民教育出版社中學數學室。普通高中新課程實驗教課書。數學3必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2005
　　
　　[2]馮守平。全最小一乘法[J].安徽。安徽大學學報。2009
　　
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