《圓錐曲線》定義的“條件”教學

　　《圓錐曲線》定義的“條件”教學
　　
　　新疆石河子高級中學 尤乃奎
　　
　　【摘 要】數(shù)學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數(shù)學理論、全面地解決數(shù)學問題大有幫助。
　　
　　【關(guān)鍵詞】數(shù)學；定義；定理；公式 問題；條件；教學
　　
　　2013年4月，在高中數(shù)學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學中，當我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，我都會遇到同樣的一個問題，而且是學生每每質(zhì)詢的一個問題，那就是：“老師，定義中括號里的條件該怎么解釋？”
　　
　　數(shù)學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數(shù)學理論、全面地解決數(shù)學問題都非常有幫助，現(xiàn)在已經(jīng)完成了高中數(shù)學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學中，關(guān)于定義中條件的教學片段梳理一下。
　　
　　《圓錐曲線》“條件”教學片段一：橢圓定義中的條件限制
　　
　　講到2.2.1節(jié)《橢圓及其標準方程》時，橢圓的定義（課本第38頁）是：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。
　　
　　學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“大于|F1F2|”）呢？
　　
　　教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。
　　
　　學生問：為什么？
　　
　　教師答：這個問題可以從三個角度理解：
　　
　�、偃绻麠l件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。
　　
　�、谌绻麠l件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示線段F1F2。（我在黑板上劃線段F1F2，并取其上一點P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,學生點頭表示理解）。
　　
　　③如果條件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|+|PF2|﹤|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
　　
　　進一步，我用三個小問題進行鞏固：
　　
　　問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
　　
　�。�1）到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和大于14的點的軌跡是什么？
　　
　�。�2）到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和等于14的點的軌跡是什么？
　　
　�。�3）到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和小于14的點的軌跡是什么？
　　
　　學生很快就可以得出結(jié)論。
　　
　　《圓錐曲線》“條件”教學片段二：雙曲線定義中的條件限制
　　
　　很有戲劇性，講到2.3.1節(jié)《雙曲線及其標準方程》時，其境遇竟然和講橢圓的定義時，驚人的相似。
　　
　　雙曲線的定義（課本第52頁）是：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。
　　
　　學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“小于|F1F2|”呢？
　　
　　教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。
　　
　　學生問：為什么？
　　
　　教師答：這個問題可以從三個角度理解：
　　
　�、偃绻麠l件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。
　　
　　②如果條件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示以F1、F2為端點的兩條射線（包含端點）。（我在黑板上劃出直線F1F2，并在點F1、F2兩側(cè)各取兩點P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出動點的軌跡是射線F1P、F2Q，學生點頭表示贊同）。
　　
　�、廴绻麠l件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|-|PF2|﹥|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
　　
　　同樣，我給出三個小問題加以辨別：
　　
　　問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
　　
　�。�1）動點P到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值小于14的點的軌跡是什么？
　　
　�。�2）動點P到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值等于14的點的軌跡是什么？
　　
　�。�3）動點P到兩定點F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值大于14的點的軌跡是什么？
　　
　　學生也可以很快得出結(jié)論。
　　
　　然后，我又給出兩個問題：
　　
　　條件改為“|PF1|-|PF2|﹤14”，動點的軌跡又會怎樣呢？
　　
　　若條件改為“|PF2|-|PF1||﹤14”，動點的軌跡又會怎樣呢？
　　
　　學生結(jié)合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。
　　
　　《圓錐曲線》“條件”教學片段三：拋物線定義中的條件限制
　　
　　講到2.4.1節(jié)《拋物線及其標準方程》一課時，同樣遇到了“條件”問題。
　　
　　拋物線的定義（課本第65頁）是：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線（不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫拋物線。
　　
　　在用直尺、三角板、細繩等演示了拋物線形成過程之后，學生又不禁要對“條件”發(fā)問了。
　　
　　學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“（不經(jīng)過點F）”呢？
　　
　　教師答：如果去掉“（不經(jīng)過點F）”這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。
　　
　　學生問：為什么？
　　
　　教師答：這個問題可以從兩個角度理解：
　　
　�、偃绻麠l件是“（不經(jīng)過點F）”，則定義敘述的內(nèi)容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細繩等所演示的一樣。
　　
　�、谌绻麤]有“（不經(jīng)過點F）”條件限制，則當經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內(nèi)容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學生恍然大悟，看來學習知識必須要細致�。�
　　
　　然后，我又出了兩道題加以鞏固。
　　
　�。�1）平面內(nèi)到定點F的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是（ ）
　　
　　A.拋物線 B.直線
　　
　　C.拋物線或直線 D.不存在
　　
　　（2）求過點F（1,0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡。
　　
　　很顯然（1）選C,（2）答案是：x-y-1=0（即：過定點F，且垂直于直線的一條直線）。
　　
　　通過對《圓錐曲線》中橢圓、雙曲線、拋物線的定義教學，使我體會到“條件”教學的重要性，對于每一個數(shù)學知識點，必須清楚、完整地點撥，不留知識盲區(qū)，不留認識死角，真理越辨越明，只有讓學生全面、透徹的掌握知識，才能做到一通百通、游刃有余。

【《圓錐曲線》定義的“條件”教學】相關(guān)文章：

圓錐曲線教學反思04-04

數(shù)學直線與圓錐曲線教學反思08-22

充分條件與必要條件教學反思04-07

幸福的定義作文04-22

英雄的定義作文05-05

幸福的定義作文06-27

[精選]幸福的定義作文09-16

幸福的定義優(yōu)秀作文09-03

幸福的定義作文（推薦）09-16

幸福的定義作文[精品]09-19