- 相關(guān)推薦
加強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué) 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力
加強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué) 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力基金項(xiàng)目：2010年湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究資助項(xiàng)目（湘財(cái)教指［2010］74號(hào)）
作者簡(jiǎn)介：陳佘喜（1965-），男，湖南邵東人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。
陳佘喜
（湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201）
摘要：線性代數(shù)是理工科各專業(yè)一門(mén)重要的基礎(chǔ)課。本文結(jié)合線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容，從數(shù)學(xué)材料概念化的能力、用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的能力、思維的邏輯性、思維的創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)記憶能力與空間想象能力等方面闡述了數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，并從教學(xué)環(huán)節(jié)方面探討了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的若干途徑。
關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；數(shù)學(xué)能力；培養(yǎng)途徑
中圖分類號(hào)：O157，G420文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-5884（2013）04-0109-03
線性代數(shù)是理工科各專業(yè)一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程提供必要的有關(guān)矩陣、線性方程組、向量空間與線性變換等方面的基本概念與基礎(chǔ)理論，以及處理實(shí)際問(wèn)題的基本方法［1-4］。眾所周知，數(shù)學(xué)能力是學(xué)生完成數(shù)學(xué)活動(dòng)的可能性方面的個(gè)性心理特性，是順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)的必要的心理?xiàng)l件［5, 6］。數(shù)學(xué)活動(dòng)主要是通過(guò)思維與想象，形成和掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論以及常用的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)能力是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到表現(xiàn)，但同時(shí)它又是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的條件與保證，是由數(shù)學(xué)活動(dòng)所要求的多種基本能力的有機(jī)組合，也就是學(xué)生的一般能力在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的具體化。本文將結(jié)合線性代數(shù)課程教學(xué)的基本內(nèi)容，從數(shù)學(xué)材料概念化的能力、用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的能力、思維的邏輯性、思維的創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)記憶能力與空間想象能力等方面闡述數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，并從教學(xué)環(huán)節(jié)方面探討了提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的若干途徑。
一把握教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力
�。ㄒ唬⿺�(shù)學(xué)材料的概念化
數(shù)學(xué)材料的概念化，就是通過(guò)分析給定的數(shù)學(xué)材料的數(shù)量關(guān)系與空間形式，抽象出本質(zhì)的東西進(jìn)行科學(xué)概括，也就是用數(shù)學(xué)概念來(lái)描述材料的本質(zhì)特征。矩陣是線性代數(shù)課程中最基本的概念，從歷史上看，我國(guó)東漢初年《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)就是解線性方程組的高斯消元法。作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，矩陣（matrix）這個(gè)詞是在1850年由英國(guó)數(shù)學(xué)家、劍橋大學(xué)教授Sylvester首先提出來(lái)的。利用矩陣的概念，人們將在生產(chǎn)實(shí)踐中需要處理的一組相互獨(dú)立的數(shù)據(jù)，以表格的形式系在一起，視為一個(gè)整體，用一個(gè)量來(lái)表示，并參與運(yùn)算，就使原來(lái)龐大而雜亂的數(shù)據(jù)，變得簡(jiǎn)單而有序。特征值與特征向量是線性代數(shù)中的重要概念，其反映了線性變換的本質(zhì)特征，因?yàn)樵趯⒁粋�(gè)線性空間變換到自身的過(guò)程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸長(zhǎng)”或“縮短”的那些向量，而“伸長(zhǎng)”或“縮短”相同“倍數(shù)”的向量就是屬于同一“特征值”的特征向量。在德語(yǔ)與荷蘭語(yǔ)中，特征值（eigenvalue）與特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本質(zhì)屬性”。
數(shù)學(xué)材料的概念化，表現(xiàn)在學(xué)生能夠按照新的觀點(diǎn)來(lái)對(duì)待和處理各個(gè)階段所積累起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并把以前好象是零散的和孤立的事實(shí)和概念組織和聯(lián)合起來(lái)，使之成為一個(gè)有機(jī)的整體。例如，矩陣的初等行變換是線性代數(shù)課程中一個(gè)重要的方法，最初的引入似乎僅僅是為了簡(jiǎn)化表示用高斯消元法求解線性方程組的過(guò)程，而隨著課程的深入，初等行變換也可以用來(lái)求矩陣的秩、判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、求矩陣的逆，甚至可以用來(lái)做矩陣的三角分解等等，這樣，通過(guò)矩陣的初等行變換，將線性代數(shù)課程中有關(guān)的重要概念、定理和方法連成了一個(gè)有機(jī)的整體。
線性代數(shù)課程中的數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)材料概念化的一種重要形式，它是在一定的假設(shè)條件下，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的一種方式，能反映或近似反映該問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。例如，在工廠考慮生產(chǎn)成本的問(wèn)題中，若用mij表示生產(chǎn)第j種單位產(chǎn)品所花的第i類成本，則矩陣M=（mij）表示生產(chǎn)各種單位產(chǎn)品所花費(fèi)的每類成本，若用P=（pij）表示第i種產(chǎn)品在第j個(gè)季度的產(chǎn)量，那么，乘積MP中第i行第j列的元素就表示在第j個(gè)季度所花的第i類成本的量，而且MP的列和為每個(gè)季度的總成本，行和為全年的各類成本。
�。ǘ┯脭�(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算
數(shù)學(xué)概念揭示了事物在變化的數(shù)量關(guān)系與空間形式上的本質(zhì)特性，它們是通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的量化模式來(lái)明確定義的，并表達(dá)為一定的術(shù)語(yǔ)與特定的符號(hào)。n階行列式的概念，反映了n2個(gè)數(shù)之間的一種運(yùn)算關(guān)系，這種關(guān)系就是先在行列式中每行每列各取一個(gè)數(shù)做乘積，再求所有這種可能的乘積項(xiàng)（共有n!項(xiàng)）的代數(shù)和，從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，行列式就是一個(gè)n2元的函數(shù)。數(shù)學(xué)中的基本定理，揭示了數(shù)學(xué)概念之間的必然聯(lián)系，反映了數(shù)學(xué)符號(hào)之間的內(nèi)在關(guān)系。行列式按行（列）的展開(kāi)定理，反映了行列式與其一行（列）元素及相應(yīng)的代數(shù)余子式的關(guān)系，而更為一般地，拉普拉斯定理表明了如何將高階行列式轉(zhuǎn)化為若干低階行列式的計(jì)算；方陣的伴隨矩陣的性質(zhì)：AA*=A*A=AE，反映了方陣A、伴隨矩陣A*與行列式A之間的聯(lián)系，同時(shí)也展示了行列式的展開(kāi)定理的本質(zhì)，更進(jìn)一步地，如果A≠0，上述性質(zhì)還可以給出逆矩陣A－1的一個(gè)表達(dá)式。
能否正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力高低的直觀表現(xiàn)。在矩陣階梯化過(guò)程中，如果不同矩陣之間用“=”連接，就說(shuō)明了學(xué)生對(duì)于矩陣相等的概念是模糊的。對(duì)于多項(xiàng)式f（x）=a0+a1x+…+amxm與方陣A，若將f（A）表示為a0+a1A+…+amAm，則說(shuō)明學(xué)生對(duì)形式多項(xiàng)式的概念還停留在數(shù)多項(xiàng)式的階段，并未理解矩陣多項(xiàng)式的概念，而能力較強(qiáng)的學(xué)生，則能立即發(fā)現(xiàn)上述表達(dá)式的錯(cuò)誤，因?yàn)楹笳咴谝话闱闆r下是沒(méi)法進(jìn)行矩陣加法運(yùn)算的。實(shí)際上，由矩陣冪的定義，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
（三）思維的邏輯性
邏輯思維就是按照邏輯規(guī)則而進(jìn)行概念的運(yùn)演來(lái)取代作用于現(xiàn)實(shí)事物的行動(dòng)的思維。線性代數(shù)中內(nèi)在的邏輯建構(gòu)，決定了邏輯思維能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力不可或缺的成份，同時(shí)也為學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練提供了極為有利的條件。
邏輯思維的一個(gè)方面是分析思維，表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義、運(yùn)用和對(duì)概念的分類，以及推理的形式和方法。例如，在證明矩陣乘積的秩不超過(guò)每個(gè)因子的秩時(shí)，由表達(dá)式AB=C可知，乘積矩陣C的每個(gè)行向量都可以經(jīng)矩陣B的行向量組線性表出，因此，矩陣C的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組也可以由B的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組表出，于是rank（C）≤rank（B）；同時(shí)，因?yàn)锽TAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
邏輯思維另一重要的方面是辯證思維。它在數(shù)學(xué)概念中的體現(xiàn)，一是將形成的數(shù)學(xué)概念具體化，把反映事物單一屬性的數(shù)學(xué)概念與事物的多樣性統(tǒng)一起來(lái)，更全面地認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)實(shí)；二是將數(shù)學(xué)概念分化與推廣，正確區(qū)分概念間的聯(lián)系與區(qū)別，把握數(shù)學(xué)的邏輯建構(gòu)。例如，給定了n維線性空間的一組基，則其上所有的線性變換與所有的n階方陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由此，當(dāng)線性空間的基發(fā)生變化時(shí)，線性變換的矩陣也會(huì)發(fā)生變化，這種變化規(guī)律就是方陣間的相似關(guān)系，并且由矩陣乘法的運(yùn)算律可以斷言，線性變換的乘法滿足結(jié)合律，但一般不滿足交換律。
�。ㄋ模┧季S的創(chuàng)造性
思維的創(chuàng)造性指思維活動(dòng)的方式不僅善于求同，更善于求異。創(chuàng)造性思維是有目的、受支配的創(chuàng)造性想象，也是為解決問(wèn)題的反復(fù)、有步驟和連貫的思考。創(chuàng)造性思維的結(jié)果，不單純是應(yīng)用已知的概念和方法，還要?jiǎng)?chuàng)造新的形象、意義與方法，并利用它們來(lái)揭示問(wèn)題新的特性和解決問(wèn)題。創(chuàng)造性思維主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
一是對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念和方法進(jìn)行最嚴(yán)格的評(píng)價(jià)，進(jìn)而突破其局限性。例如，克拉姆法則是一個(gè)經(jīng)典的關(guān)于線性方程組的求解公式，它明確給出了線性方程組的解與系數(shù)之間的關(guān)系，在線性方程組理論中有著非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只適合于方程組含n個(gè)未知量和n個(gè)方程，且系數(shù)行列式不為零的情形，二是當(dāng)n≥4時(shí)，計(jì)算量比較大。因此，突破這種局限，尋求一種更為有效的線性方程組的解法，是勢(shì)在必行的，也就是熟知的高斯——若當(dāng)消元法。
二是能順利地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)移到另一種心理運(yùn)算，尋求解決問(wèn)題的簡(jiǎn)捷方法，象簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的推理、一題多解等。例如，一個(gè)n元線性方程組可以寫(xiě)成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，則該n元線性方程組的解的問(wèn)題等價(jià)于向量β由向量組α1，α2，…，αn的線性表出的問(wèn)題；特別地，齊次線性方程組是否有非零解等價(jià)于向量組α1，α2，…，αn是否線性相關(guān)。進(jìn)一步地，矩陣關(guān)系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量組就是線性相關(guān)的，B的列向量也是齊次線性方程組AX=0的解向量，因此，B的列空間是AX=0的解空間的一個(gè)子空間。
三是不使數(shù)學(xué)材料遷就于現(xiàn)成的概念，而是善于用材料來(lái)檢驗(yàn)這些概念。在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，這方面的能力就得到了比較充分表現(xiàn)。同樣的數(shù)學(xué)材料，運(yùn)用不同的假設(shè)條件和相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，可以建立不同的模型，應(yīng)用不同的解題方法或技巧，又可以得到不同的結(jié)果，而對(duì)于這些結(jié)果的分析，與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合程度，就可以在一定程度上檢驗(yàn)所運(yùn)用的知識(shí)的合理性。
�。ㄎ澹⿺�(shù)學(xué)記憶能力
數(shù)學(xué)記憶能力是對(duì)于數(shù)學(xué)的量化模式及邏輯建構(gòu)的記憶力，記憶的主要形式是邏輯記憶與概念記憶。例如，關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的一些判定定理和性質(zhì)定理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)定理的條件與結(jié)論不熟悉、運(yùn)用出錯(cuò)，實(shí)際上，這些定理大部分是以“等價(jià)命題”的形式給出的，因此，從一個(gè)基本的結(jié)論出發(fā)，就可以推及其他；此外，基本定理的證明方法都是基于線性相關(guān)性的定義結(jié)合線性方程組的同解變形。
應(yīng)當(dāng)注意的是，記憶能力與學(xué)生的注意力和定勢(shì)有關(guān)，注意力集中，才能排除來(lái)自外界的大量無(wú)關(guān)的“干擾”，包括其他學(xué)生的行為、教師的外貌、教室內(nèi)外不斷發(fā)生的微小事件等等，才可能對(duì)教師的演示和語(yǔ)言等信息有較好的理解和加工，達(dá)到對(duì)知識(shí)的記憶。記憶能力也與知識(shí)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式、難度和可理解性等有關(guān)，因此，往往看到同一個(gè)學(xué)生對(duì)不同內(nèi)容的記憶程度表現(xiàn)有較大的反差。
（六）空間想象能力
空間想象能力與數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象所處的空間形式有關(guān)，要求能對(duì)空間的幾何體進(jìn)行剖分，能借助空間圖形來(lái)反映量化的數(shù)學(xué)表達(dá)式的意義。例如，對(duì)于特征值與特征向量的定義式Aξ=λξ，在二階的實(shí)矩陣的情形時(shí)，A定義了一個(gè)從R2到自身的映射，在此映射下，二維向量ξ的像只是原像的λ倍，從幾何上看，像與原像平行。又如，在二維平面上的2個(gè)不共線的向量可以張成一個(gè)平行四邊形，而該平行四邊形的有向面積就是以這2個(gè)向量的坐標(biāo)作為列向量的二階行列式的值；在三維空間中的3個(gè)不共面的向量可以張成一個(gè)平行六面體，而其有向體積就是以這3個(gè)向量的坐標(biāo)為列向量的三階行列式的值。以此類推，在n維空間里給出了n個(gè)向量后，它們也能夠張成一個(gè)n維的平行多面體，它的有向體積就是由這n個(gè)向量的坐標(biāo)為列向量所構(gòu)成的n階行列式的值。
二優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，提高數(shù)學(xué)能力
數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能密切相關(guān)又相互區(qū)別。扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與熟練的數(shù)學(xué)技能有助于數(shù)學(xué)能力的提高，反之亦然。因此，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)是相輔相成，密不可分的。從教學(xué)環(huán)節(jié)來(lái)看，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)途徑大致如下：
�。�1）組織教學(xué)內(nèi)容。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的組織有2種方式，一是綜合法，即教學(xué)材料的選擇應(yīng)該有助于使學(xué)生了解教學(xué)目的和喚起掌握知識(shí)的欲望，在學(xué)習(xí)中不斷尋找和試探正確的解決問(wèn)題的方法，分析所犯錯(cuò)誤并改正錯(cuò)誤；二是分析法，即從標(biāo)準(zhǔn)形式相似的基本內(nèi)容開(kāi)始練習(xí)，練習(xí)的內(nèi)容應(yīng)該有助于對(duì)結(jié)果的了解，在練習(xí)中通過(guò)不斷牢記正確的東西，將它們逐漸聯(lián)合成一個(gè)有機(jī)的整體。
�。�2）選擇教學(xué)方法。基本的教學(xué)方法不外乎3種，一是對(duì)原則的教學(xué)，就是預(yù)先將一般的原理、公式、定理或算法的內(nèi)涵傳授給學(xué)生；二是范例教學(xué)，就是使學(xué)生在理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)材料的進(jìn)程中親自發(fā)現(xiàn)這些材料的本質(zhì)關(guān)系；三是思維結(jié)構(gòu)定向的教學(xué)，就是教學(xué)生學(xué)會(huì)一些解決問(wèn)題的方法，再啟發(fā)他們尋找對(duì)象的一些特征，并借助于這些方法和特征來(lái)發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的必然關(guān)系，從而揭示出數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)關(guān)系。但無(wú)論選擇哪種教學(xué)方法，都要注意到先使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)容，再獨(dú)立運(yùn)用知識(shí)，然后將所學(xué)的內(nèi)容遷移到新的情境，即啟發(fā)學(xué)生積極思維。
（3）加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)。比如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模、課外科技活動(dòng)和傳統(tǒng)的課外作業(yè)等，都是重要的實(shí)踐教學(xué)。在數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)中，要注意使學(xué)生能利用所學(xué)的理論知識(shí)來(lái)闡明一些客觀事物的本質(zhì)和成功地解決某些理論或?qū)嵺`課題。一般的做法是先闡明解答問(wèn)題的原則，再指出對(duì)課題來(lái)說(shuō)有關(guān)重要的資料和關(guān)系，即所謂的提示，使學(xué)生更加清楚地感知課題有關(guān)的未知關(guān)系，然后對(duì)課題的解答進(jìn)行分析，使學(xué)生區(qū)分出解答課題時(shí)所需要的本質(zhì)關(guān)系和材料。
總之，在數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)過(guò)程中，既要將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能緊密結(jié)合起來(lái)，也要注意到學(xué)生的個(gè)性心理特征，才能收到比較好的效果。尤為重要的是，我們不僅要使學(xué)生精通數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法，更要使學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)這些概念和方法的局限性，看到客觀事物和關(guān)于客觀事物的觀念之間的區(qū)別，從而能夠走上用直接同事物和現(xiàn)象的相互作用所產(chǎn)生的視覺(jué)來(lái)洞察事物的道路，即具備創(chuàng)造性思維，這才是能力培養(yǎng)的根本目的所在。
參考文獻(xiàn)：
［1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系。線性代數(shù)（第四版）［M］。北京：高等教育出版社，2005.
�。�2］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等代數(shù)（第三版）［M］。北京：高等教育出版社，2003.
［3］ 陳懷琛，高淑萍，楊威。工程線性代數(shù)［M］。北京：電子工業(yè)出版社，2007.
�。�4］ Leno S J. Linear Algebra with Applications［M］。北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.
�。�5］ 曹才翰，章建躍。數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］。北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.
�。�6］ M. 克萊因（北京大學(xué)數(shù)學(xué)史翻譯組譯）。 古今數(shù)學(xué)思想［M］。上海：上�？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.
【加強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué) 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力】相關(guān)文章：
加強(qiáng)訓(xùn)練提高數(shù)學(xué)能力08-07
加強(qiáng)學(xué)生課外閱讀 提高學(xué)生作文能力08-17
加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)教學(xué) 提高學(xué)生綜合素質(zhì)08-17
加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)教學(xué) 提高學(xué)生綜合素質(zhì)08-08
加強(qiáng)小練筆訓(xùn)練，提高學(xué)生寫(xiě)作能力08-05
[小學(xué)數(shù)學(xué)]加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)教學(xué) 提高學(xué)生綜合素質(zhì)08-17
[作文教學(xué)論文]加強(qiáng)學(xué)生課外閱讀 提高學(xué)生作文能力08-17