例析一次不等式（組）的解題陷阱

　　例析一次不等式（組）的解題陷阱
　　
　　云南省紅河縣第一中學(xué) 楊萬(wàn)春
　　
　　在實(shí)際生活中，不僅存在量的相等關(guān)系，量的不等關(guān)系更普遍，因而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不但要研究等式也要研究不等式。不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)、微積分等課程時(shí)經(jīng)常要用到不等式，因而學(xué)習(xí)一次不等式（組）我們必須給與足夠的重視。我在教學(xué)中精選中考題為作業(yè)，發(fā)現(xiàn)了不少錯(cuò)誤，現(xiàn)分析如下：
　　
　　一、不等式方向理解不到位致錯(cuò)
　　
　　例1（2012廣安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整數(shù)解是（
　　
　�。�。
　　
　　不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，但不少學(xué)生沒(méi)改變方向出現(xiàn)錯(cuò)解。
　　
　　二、去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)致錯(cuò)
　　
　　例2（2010保山，文山，昭通）不等式1/2 x-3≤0的解為（ ）。
　　
　　簡(jiǎn)析：本題錯(cuò)得最多的是去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)。
　　
　　三、多項(xiàng)式漏寫(xiě)括號(hào)致錯(cuò)
　　
　　例3（2010昆明）解不等式組
　　
　　x-3≤0 ①
　　
　　x-1/2-2x-1/3＞1 ②
　　
　　簡(jiǎn)析：解第②個(gè)不等式時(shí)，由于分子為多項(xiàng)式，應(yīng)對(duì)其加上括號(hào)，是保證正確答案的手段。
　　
　　四、考慮不周全致錯(cuò)
　　
　　例4（2012襄陽(yáng)）若不等式組 1+x＞a ①
　　
　　2x-4≤0 ②
　　
　　有解，則的取值范圍是（ ）
　　
　　A a≤3 B a<3 C a<2 D a≤2
　　
　　錯(cuò)解：由①得x>a-1，由②得x≤2，　∴a-1<x≤2，∴a≤3，故選A。
　　
　　剖析：當(dāng)a=3時(shí)，3-1<x≤2，即2<x≤2，這時(shí)出現(xiàn)了矛盾不等式。
　　
　　正解：以上同，原不等式組的解為a-1<x≤2，∴a<3，故選B。
　　
　　例5（2011威海）如果不等式組
　　
　　2x-1>3（x-1） ①
　　
　　x< m ②
　　
　　的解集為x<2，那么的取值范圍是（ ）
　　
　　A m=2 B >m2 C -m<2 D m≥2
　　
　　錯(cuò)解：由①得x<2，因?yàn)椴坏仁浇M的解為x<2，則m>2，故選B。
　　
　　剖析：當(dāng)m=2時(shí)，也符合題意；
　　
　　正解：同上，則m≥2，故選D。
　　
　　例6（2010荊門(mén)市）試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式組 x/2+ x+1/3＞0 ①
　　
　　x+ 5a+4/3＞4/3（x+1）+a ② 恰有兩個(gè)整數(shù)解。
　　
　　錯(cuò)解：由①得x>-2/5，由②得x<2a
　　
　　原不等式的解為-2/5<x<2a，由題意得1/2≤a≤1或1/2≤a<1。
　　
　　剖析：利用數(shù)形結(jié)合法，畫(huà)數(shù)軸是正確解答的有效途徑。
　　
　　正解：以上同，又由于原不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0，1，由此可知1<2a≤2，1/2<a≤1。
　　
　　五、不理解特殊符號(hào)或關(guān)鍵詞語(yǔ)的含義致錯(cuò)
　　
　　例7（2012福州）某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題，每答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答都扣3分，小亮獲得二等獎(jiǎng)（70——90分），請(qǐng)你計(jì)算小亮答對(duì)了幾道題？
　　
　　簡(jiǎn)析：符號(hào)“——”表示70至90分，即用不等號(hào)表示應(yīng)為≥70，≤90，但不少同學(xué)理解為>70，<90而錯(cuò)解。
　　
　　例8（2012南充）學(xué)校6教師和234學(xué)生集體外出活動(dòng)，準(zhǔn)備租用45座大車(chē)或30座小車(chē)，若租用1輛大車(chē)2輛小車(chē)共需租車(chē)費(fèi)1000元，若租用2輛大車(chē)1輛小車(chē)共需租車(chē)費(fèi)1100元。
　　
　　（1） 求大小車(chē)每輛的租車(chē)費(fèi)用各是多少？
　　
　　（2）若每輛車(chē)上至少要有一名教師，且總租車(chē)費(fèi)用不超過(guò)2300元，求最省錢(qián)的租車(chē)方案？
　　
　　簡(jiǎn)析：因?yàn)椴焕斫怅P(guān)鍵詞的含義而錯(cuò)用符號(hào)，“不超過(guò)”是不大于的意思，要注意關(guān)鍵詞的應(yīng)用，“不超過(guò)”、“最多”、“不大于”等用“≤”連接；“不少于”、“至少”、“不低于”等用“≥”連接；“高于”、“大于”、“超過(guò)”用“>”連接；“小于”、“低于”用“<”連接。
　　
　　六、不理解不等式組的解集含義致錯(cuò)
　　
　　例9（2012山西）不等數(shù)組
　　
　　3-2x<5 ①
　　
　　x-2≤0 ②
　　
　　的解集是（ ） 。
　　
　　錯(cuò)解：①+②得-x+1<6，解得x>-5。
　　
　　剖析：解不等式組與解方程組混淆。
　　
　　正解：由①得-2x<2，x<-1，　由②得x≤3
　　
　　不等式組的解集是-1<x≤3。
　　
　　七、忽視零的特殊作用致錯(cuò)
　　
　　例10 解不等式x-3/2 - x+2/3<x+5/6
　　
　　錯(cuò)解 去分母得3（x-3）-2（x+2）<x+5
　　
　　即3x-9-2x-4<x+5
　　
　　0x<18
　　
　　因0不能作除數(shù)故不等式兩邊不能同除以0，所以不等式無(wú)解。
　　
　　剖析：得到0x<18后，可以判斷0x=0肯定小于18，即對(duì)一切實(shí)數(shù)都可使不等式成立。
　　
　　正解：以上同0x<18
　　
　　因?yàn)?x=0<18，故對(duì)一切實(shí)數(shù)x都可使原不等式成立。所以不等式的解是一切實(shí)數(shù)。
　　
　　例11 ①若a>b，那么ac>bc；②若a>b，那么ac2>bc2；③若ac2>bc2，那么a>b。這三個(gè)命題中正確的是（ ）。
　　
　　A ①②③ B ① C ② D ③
　　
　　簡(jiǎn)析　①當(dāng)以c=0或c<0時(shí)都是錯(cuò)誤的。
　　
　　雖然c2≥0，但當(dāng)c=0時(shí)，有ac2=bc2，于是②也是錯(cuò)誤的。
　　
　　③是正確的，于是選D，但不少學(xué)生錯(cuò)選A。
　　
　　學(xué)生在解題過(guò)程中，出現(xiàn)了這樣那樣的問(wèn)題，因而指導(dǎo)學(xué)生整理錯(cuò)題集，分析錯(cuò)因，對(duì)改掉各種癥結(jié)是很有益的。