加法結合律在有理數運算中的應用

　　加法結合律在有理數運算中的應用
　　
　　江蘇　　新沂　　劉凱
　　
　　摘要：教師結合一些相關案例，主要闡述了應用加法結合律使有理數運算簡便的幾種常用方法：湊整結合法、同號結合法、同分母結合法、同形結合法、同和結合法、拆項分解相消法。
　　
　　關鍵詞：湊整；同形；同和
　　
　　學生在初一學了加法結合律：（a+b）+c=a+ （b+c），可使復雜的計算題變得簡單易做。比如計算320+427+73，有三種方法：（1）（320+427）+73；（2）（320+73）+427；（3）320+（427+73）。我認為第三種方法最好，因為427 與73 相加可以湊成較整的數500，再計算500+320 就簡單了。
　　
　　經過多年教學經驗的積累與不斷的自我反思，我總結出以下幾種結合的方法。
　　
　　一、湊整結合法
　　
　　有理數加減法中有能湊成較“整”的數，如-12+32=1，2+98=100，需要學生仔細審題，獨具慧眼，看破玄機，把有特殊關系的數有機結合起來，使計算簡便。
　　
　　例1 計算：
　　
　　-23-51/2+（-77）=[（-23）+（-77）]-51/2=-100-512=-1051/2。
　　
　　另外，“互為相反數的兩數的和是零”是最常用的結合法，如-6+6=0 等。
　　
　　二、同號結合法
　　
　　在有理數的加、減混合運算中經常用到的是同號結合法，即把正數與正數相加，負數與負數相加，然后再把所得的結果相加，學生很容易就能想到。
　　
　　例2 計算：
　　
　　（-40）-（+27）+19-24-（-32）=（[ -40）+（-27）+（-24）] +（19+32）=（-91）+51=-40。
　　
　　不過，這道題還有更簡便的結合方法：
　　
　　解：原式=（-40）+（-27）+19+（-24）+32=（-40）+（[ -27）+（-24）] +（19+32）=（-40）+（-51）+51=（-40）+（[ -51）+51]=-40+0=-40。
　　
　　但是，這樣的結合方法很少有學生能想到，這就需要教師要培養(yǎng)學生的觀察與判斷能力。
　　
　　三、同分母結合法
　　
　　分數的加減是一個難點問題，包括同分母和異分母相加減。同分母分數相加減相對來說比較簡單。因此，如果在計算時遇到有同分母分數相加減就可以把它們結合在一起，使運算簡便。
　　
　　例3 計算：
　　
　�。�1）2 7／18+31／4+1 1／18-23／4+5／6=（2 7／18+1 1／18）+（31／4-23／4）+5／6=3 8／18+1／2+5／6=3 8／18+ 91／8+ 5／18=4／79。
　　
　�。�2）1／4-（-2／3）+2／7+ 5／12+（- 3／14）=1／4+2／3+2／7+ 51／2（- 31／4）=（1／4+2／3+ 5／12）+（2／7- 3／14）。
　　
　　（注：1／4、2／3、5／12結合在一起通分比較容易，2／7、3／14結合在一起通分比較容易）
　　
　　此例分數之間的結合不明顯，值得我們推敲一下。
　　
　　四、同形結合法
　　
　　在求幾個分數和其他類數字和差時，把分數與其他同類型的數分別結合，使計算簡便。
　　
　　例4 計算：
　　
　　-2.1+4／3+（-2）+2／3+0.5+（-5）=[（-2.1） +（-2）+0.5+（-5）] + （4／3+2／3）=-8.6+2=-6.6。
　　
　�。ㄗⅲ悍謹到Y合在一起，整數與小數結合）
　　
　　五、同和結合法
　　
　　此法適用于拓展和找規(guī)律類問題。這類問題一般項數比較多，如果從左向右依次運算是非常麻煩的，這就需要我們把思維打開，充分發(fā)揮觀察能力，并且能夠進行嘗試解析，總結出一些恰當的規(guī)律來，使運算簡便。
　　
　　例5 快速計算：
　　
　　-1+3-5+7-…-17+19。
　　
　　通過觀察可以發(fā)現，此例中奇數項都是負數，偶數項則都是正數，并且發(fā)現：-1+3=2，-5+7=2，…，-17+19=2，也就是從第一項開始，每兩項的和都等于2，一共有10 個2 相加。這樣，我們就發(fā)現了此題的規(guī)律，可以快速并且準確地解決問題了。具體的過程如下所示：
　　
　　解：原式=（-1+3）+（-5+7）+…+（-17+19）=2+2+…+2=2×5=10。
　　
　　六、拆項分解相消法
　　
　　這個方法適用與一些探究性比較強的問題，而且難度比較大，能掌握這種方法的學生不是很多。解決這類問題，需要我們具有“一分為二”的數學思想，比如12可以寫成11×2，接著可以拆分成11-12，即1-12的形式；16可以寫成12×3，可以拆分成12-13的形式……例6 計算：1/1×3+ 1/3×5+ 1/5×7+…+ 1/99×101。
　　
　　本題與第一題形似，但又有細微的區(qū)別——本題中的分母是相鄰兩個奇數的乘積。這兩題的解法相同，但存在細節(jié)上的差異：
　　
　　解：原式=1/2×（1-1/3）+1/2×（1/3-1/5）+…+1/2×（ 1/99- 1/101）=1/2×[（1-1/3）+（1/3-1/5）+…+（ 1/99-1/101）]。
　　
　　（注：以下解題過程同（1））
　　
　　經過拆項分解，把互為相反數的兩項結合起來達到消項的目的，使計算變得非常簡單易做。
　　
　　以上是我根據自己的教學實際情況總結出來的一些規(guī)律，我們在運用時，要根據具體問題，靈活地選擇恰當的方法，才能達到事半功倍的效果。
　　
　　參考文獻：
　　
　　[1]翟運勝�！都臃ń粨Q律和加法結合律》教學設計及意圖[J].教學與管理，2009（12）。
　　
　　[2]趙長巧“。 運算律（加法交換律和加法結合律）”教學設計[J]. 中學教學參考，2011（2）。
　　
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