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整體把握重點(diǎn)突破淺談二次函數(shù)的教學(xué)
整體把握重點(diǎn)突破淺談二次函數(shù)的教學(xué)作者/劉召生
（江蘇省新沂市第十中學(xué)，221400）
摘要：二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型，初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程，用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。其圖像因?yàn)槭乔�，關(guān)系式變化形式多，應(yīng)用比較復(fù)雜，學(xué)習(xí)難度較大。教學(xué)中，應(yīng)抓住重點(diǎn)組織教學(xué)，立足整體設(shè)計(jì)教法，幫助學(xué)生系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，明晰二次函數(shù)應(yīng)用的方法。
關(guān)鍵詞：二次函數(shù)重點(diǎn)整體難點(diǎn)
二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后，學(xué)生要學(xué)習(xí)的最后一類重要的代數(shù)函數(shù)，它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程，用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，都是高中階段要學(xué)習(xí)的一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。二次函數(shù)的圖像因?yàn)槭乔�，關(guān)系式變化形式多，應(yīng)用比較復(fù)雜。我在二次函數(shù)的教學(xué)中，整體把握，重點(diǎn)突破，收到了較好的教學(xué)效果。
一、 抓住重點(diǎn)組織教學(xué)
�。ㄒ唬� 通過對(duì)實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的關(guān)系式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義
這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。教學(xué)中，應(yīng)從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式。然后，讓學(xué)生觀察、思考：所列的函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)？它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有什么不同？從而引導(dǎo)出二次函數(shù)的概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的各部分名稱。如此，學(xué)生能夠體會(huì)到二次函數(shù)來自生活，感受到二次函數(shù)也是描述一類現(xiàn)實(shí)問題中變量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。
（二） 采用“描點(diǎn)法”畫出二次函數(shù)的圖像，從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)
這是二次函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)。一方面，學(xué)生要學(xué)會(huì)畫出二次函數(shù)的圖像；另一方面，要能從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)中，教師要扎實(shí)地讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的圖像（不能一帶而過，就讓學(xué)生去解決與圖像有關(guān)的復(fù)雜題），即運(yùn)用探索函數(shù)圖像的方法——“描點(diǎn)法”，一步一步地列表、描點(diǎn)、連線，加深對(duì)二次函數(shù)圖像形狀的認(rèn)識(shí)。然后，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)圖像的形狀、開口方向、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性等方面去理解二次函數(shù)的性質(zhì)（學(xué)生一邊看圖像，一邊說性質(zhì)，很直觀）。要提醒的是，不僅要讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的準(zhǔn)確圖像，還要會(huì)畫二次函數(shù)的示意圖像。
�。ㄈ� 利用公式確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題
這里包括兩點(diǎn)：一是從二次函數(shù)關(guān)系式上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)，這是學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)；二是列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題，這是學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的落腳點(diǎn)所在。從直觀的圖像到關(guān)系式認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)提升；從實(shí)際問題中提煉出二次函數(shù)，通過研究，再回到實(shí)際問題中去，這是一個(gè)跨越。(教學(xué)論文 www.gymyzhishaji.com)教學(xué)中，為了突破這一難點(diǎn)，可以從二次函數(shù)的圖像入手，將二次函數(shù)的關(guān)系式與其圖像比照著進(jìn)行教學(xué)，由圖像認(rèn)識(shí)關(guān)系式，由關(guān)系式認(rèn)識(shí)圖像。這種“捆綁式”教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)借助公式確定對(duì)二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向的理解和掌握。而在運(yùn)用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)將知識(shí)塊分類后進(jìn)行教學(xué)，這樣效果較好。
�。ㄋ模� 運(yùn)用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解
這是二次函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用。即從函數(shù)的角度審視一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，并根據(jù)直觀圖形，借助計(jì)算器探索函數(shù)值為0的自變量的值，進(jìn)而得出用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個(gè)過程中，應(yīng)通過直觀圖像，研究函數(shù)值與自變量的變化，滲透無限逼近和區(qū)間套的數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。
二、 立足整體設(shè)計(jì)教法
二次函數(shù)的整體性，體現(xiàn)在其圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用上。教材從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單實(shí)際問題出發(fā)，建立二次函數(shù)的概念，立足運(yùn)動(dòng)、變換的觀點(diǎn)，由特殊到一般，分別探討各種形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，最后以3個(gè)探究性問題為例，探討二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的障礙主要體現(xiàn)在解析式、圖像、性質(zhì)的對(duì)應(yīng)上，應(yīng)用的主要障礙則是建立二次函數(shù)解析式，并利用解析式解決問題。
�。ㄒ唬� 層層遞進(jìn)，系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
二次函數(shù)的一般形式及其變換形式共有六種：（1） y=ax2 （a≠0）；（2） y=ax2+k（a≠0）；（3） y=a（x+h）2（a≠0）；（4） y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5） y=ax2+bx+c（a≠0）；（6） y＝ax2＋bx（a≠0）。要求學(xué)生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，有一定的難度。教學(xué)時(shí)，應(yīng)層層遞進(jìn)，通過畫示意圖像來說性質(zhì)。同時(shí)，在學(xué)習(xí)這六種形式的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)時(shí)，每節(jié)課都復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)，并板書。這樣，當(dāng)學(xué)到最后一種二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)時(shí)，學(xué)生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關(guān)于二次函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
�。ǘ� 策略分類，明晰掌握二次函數(shù)應(yīng)用的方法
二次函數(shù)是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。教材從數(shù)量關(guān)系入手，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而求出最優(yōu)解，研究了面積最大、利潤最大等問題。然后，從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠(yuǎn)、跨欄等與拋物線有關(guān)的問題。這樣的分類（一會(huì)兒求關(guān)系式，一會(huì)兒不求；一會(huì)兒給應(yīng)用問題，一會(huì)兒給圖像），對(duì)正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小，學(xué)生的思維容易發(fā)生混亂。教學(xué)二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識(shí)基礎(chǔ)，按解題策略進(jìn)行分類，有助于學(xué)生理清思路，正確解決問題。
第一類：給二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對(duì)概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題，只要將二次函數(shù)的關(guān)系式配方求定點(diǎn)坐標(biāo)，或令x、y等于0，即可順利解決。
第二類：給應(yīng)用問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，再用關(guān)系式解決問題。比如，教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題，只要分析數(shù)量關(guān)系，列出二次函數(shù)的關(guān)系式，再由二次函數(shù)的關(guān)系式即可解決問題。
第三類：給二次函數(shù)的圖像列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第27頁的問題2“噴泉”問題，只要從圖像上找到一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的關(guān)系式的一般形式，從而求出二次函數(shù)的關(guān)系式，再由二次函數(shù)的關(guān)系式，即可解決問題。
第四類：建立直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如，教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再由圖像求出二次函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)關(guān)系式即可解決問題。
三、 著手關(guān)鍵化解難點(diǎn)
（一） 將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式
學(xué)生對(duì)前四個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2（a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）畫圖像、說性質(zhì)相對(duì)比較容易，對(duì)后兩個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），y＝ax2＋bx（a≠0）畫圖像、說性質(zhì)，難度就大得多。因?yàn)橐獙⑺鼈冝D(zhuǎn)化為y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式——這在一元二次方程解法的教學(xué)時(shí)已有所涉獵。因此，教學(xué)一元二次方程解法時(shí)，就必須注重配方法的教學(xué)，到了這個(gè)階段再增添求二次三項(xiàng)式的最值問題，學(xué)生因?yàn)檎莆樟伺浞降姆椒�，就容易理解和接受了�?br />
�。ǘ� 列二次函數(shù)關(guān)系式和應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式
比如，最大效益問題是一元二次方程的利潤類應(yīng)用問題的遷移，關(guān)鍵是把握關(guān)系式“每畝（件、千克）效益（利潤）×畝數(shù)（件數(shù)、千克數(shù)）=總效益（總利潤）”；面積類問題，關(guān)鍵是面積公式；給二次函數(shù)圖像列二次函數(shù)關(guān)系式解決問題，關(guān)鍵是設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式；建立直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)關(guān)系式解決問題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系、設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式；應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是理解關(guān)系式中的字母的意義，看清問題中要求的是關(guān)系式中的哪一個(gè)問題，從而確定方法。
參考文獻(xiàn)：
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