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負數(shù)的本質與有理數(shù)乘法法則——從數(shù)學的角度解析“負負得正”
負數(shù)的本質與有理數(shù)乘法法則——從數(shù)學的角度解析“負負得正”曾小平 石冶郝
(首都師范大學初等教育學院，北京100048)
一、有理數(shù)乘法法則需要數(shù)學證明
有理數(shù)乘法法則是初中數(shù)學的重要內容，“負負得正”是其中的難點，研究表明，雖然學生都能準確記憶有理數(shù)乘法法則，并能依據(jù)法則進行計算，然而絕大多數(shù)學生都不能舉出實例來驗證法則，更沒有學生能夠解釋法則背后的數(shù)學道理，這也就是說，學生僅僅掌握了有理數(shù)乘法的算法，且只能遵循算法進行機械計算，并沒有真正理解其中的算理，
導致這種現(xiàn)狀的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理數(shù)乘法的算理是什么，即法則怎么來的，筆者帶著這一問題查閱了現(xiàn)行各版本的初中數(shù)學教材，發(fā)現(xiàn)各版本教材只給出了有理數(shù)的乘法法則，而沒有給出其中的理由．但教材為了讓學生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則，創(chuàng)設了一個生活化的數(shù)學情境，作為腳手架來幫助學生學習法則，
比如，人教版教材創(chuàng)設的是“蝸牛爬行”的情境，一只蝸牛沿著直線Z爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在f上的點O．讓學生根據(jù)生活經(jīng)驗推斷：如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向右／左爬行，3分鐘后／前它在什么位置，在此情境中，“被乘數(shù)”、“乘數(shù)”和“積”涉及3個物理量（速度、時間和位移），每個量有3個基準（基準點O、約定正方向和負方向），三者關系比較復雜，弄得學生昏頭轉向，蘇教版、浙教版教材也是采用類似的情境來引入有理數(shù)乘法的．由于這類情境中的關系極為復雜，學生并不感興趣，更不可能從中歸納概括出有理數(shù)乘法法則．
再如，北師大版教材采用了歸納模型，即讓學生在計算（-3）×3=-9、（-3）×2=-6、（-3）×1=-3、（-3）x0=0的基礎上，讓學生猜想（-3）×（-1）=?、（-3）×（-2）=?、（-3）×（-3）=?等算式的結果，進而歸納出有理數(shù)乘法法則．而華東師大版教材采用的是相反數(shù)模型，即從算式3x2=6和（-3）x2=-6出發(fā)，得到結論“兩個數(shù)相乘，把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積是原來積的相反數(shù)”，并用此結論計算3×（-2）=?和(-3)×（-2）=?，進而概括出有理數(shù)乘法法則．然而，學生很難接受這兩種模型，因為“兩個因數(shù)變小了，而乘積卻變大了”，這與學生已有經(jīng)驗相矛盾。
其實，有理數(shù)乘法法則并非人為規(guī)定，也不是根據(jù)生活實例和計算結果歸納出來的，而是由正負數(shù)的數(shù)學本質和運算的定義決定的．也就是說，有理數(shù)乘法法則是依賴于數(shù)學的特征和數(shù)學和諧運轉的需要，它的正確性可以用數(shù)學邏輯來證明．遺憾的是，現(xiàn)有證明都用到抽象代數(shù)中集、群、環(huán)的相關理論，非專業(yè)人士很難理解，不可能用于初中數(shù)學教學。
然而，只要我們從負數(shù)的數(shù)學本質人手，根據(jù)整數(shù)四則運算的常用結論，可以證明有理數(shù)乘法法則．該證明難度不大，比較輕松地突破了“負負得正”，初中學生容易理解．同時，從數(shù)學出發(fā)用推理的方式證明有理數(shù)乘法法則，可以彌補上述教材所采用的歸納方法的邏輯缺陷。
二、負數(shù)的數(shù)學本質與有理數(shù)乘法法則
在非負數(shù)范圍內，加法可以暢通無阻地進行，即任何兩個非負數(shù)相加，其結果是非負數(shù)，可是，在非負數(shù)范圍內，減法卻不能暢通無阻地進行，當減數(shù)大于被減數(shù)時差不是非負數(shù)．然而，減法和加法互為逆運算，應當具備同樣的性質，其地位才是對等的，因此，要適當延伸非負數(shù)，即增加一些新的數(shù)，得到一個更廣闊的范圍，在這個范圍內，減法可以暢通無阻地進行，而原來能在非負數(shù)范圍內進行的四則運算仍然保持原來的結果和運算律（加法和乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律）。
1．負數(shù)的數(shù)學本質
負數(shù)最早出現(xiàn)在中國古代數(shù)學名著《九章算術》的“方程術”中，在用加減消元法解多元一次方程組時，為了表示小數(shù)減大數(shù)的運算結果，便引入了負數(shù)．后來，魏晉時期的數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中對負數(shù)的出現(xiàn)作了解釋，“兩算得失相反．要令正負以名之”，著名數(shù)學家柯朗在《什么是數(shù)學》中進一步解釋道：“引進了符號-1，-2，-3，…以及對b<a的情況，定義b-a=-(a-b)．這保證了減法能在正整數(shù)和負整數(shù)范圍內無限制的進行�！�
由此可見，負數(shù)的產(chǎn)生，是源于減法的需要，負數(shù)的本質是小數(shù)減去大數(shù)所得的差，即負數(shù)c=-(a-b)=b-a（此時b<a）．舉個例子來說，在非負數(shù)范圍內，我們沒辦法計算5-8，但可以盡量將它化簡，即根據(jù)差不變的性質，得到5-8=0-3．把0-3看做一個新的數(shù)，簡單記作-3.而原來在非負數(shù)范圍內可以進行的減法還按原來的方法進行，比如8-5=3-0=0+3=3.更一般的，數(shù)學上規(guī)定形如3(=0+3)、5(=0+5)這樣的數(shù)叫做正數(shù)，形如-3(=0—3)、-5(=0-5)這樣的數(shù)叫做負數(shù)，把正數(shù)、零和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
2．有理數(shù)乘法法則的推導
在有理數(shù)范圍內，借助負數(shù)的本質，可將有理數(shù)乘法轉化為非負數(shù)乘法來討論，而且該過程并不復雜（但要事先規(guī)定：零乘任何數(shù)都等于零）．為了論述方便，我們用a，6表示任意兩個正有理數(shù)，而用-a，-b表示任意兩個負有理數(shù)，對任意兩個非零有理數(shù)相乘的四種情況分別介紹如下：
(1)正數(shù)×正數(shù)，仍然按照非負數(shù)的方式進行，即axb=ab：
(2)正數(shù)×負數(shù)，a×(-b=ax(O-b)=a×O-a×b=0-ab=-(ab-O)=-ab（其中第二個等號成立的依據(jù)是乘法分配律，第四個等號成立的依據(jù)是負數(shù)的定義）；
(3)負數(shù)×正數(shù)，(-a)xb=(O-a)xb=Oxb-axb=0-ab=-(ab-O)=-ab；
(4)負數(shù)×負數(shù)，（-a）×(-b)=(0-a×(-b)=0×(-b)-a×（-b）=O-a（-b）=-a（一6）=-（-ab）=-（O-ab）=ab-O=ab(其中，第五個等號成立的依據(jù)(2)中的結果，第六個和第七個等號成立的依據(jù)是負數(shù)的定義）．
可見，“負負得正”并非想象的那么復雜，也并非不可證明．還可以驗證，在有理數(shù)范圍內，乘法交換律、結合律和分配律成立．此外，我們可以用類似方法證明有理數(shù)的加減法法則和除法法則，難度也不大，感興趣的讀者可自行證明．
三、有理數(shù)乘法法則的教學
筆者設想：只要學生能夠理解負數(shù)的數(shù)學本質和運用負數(shù)的數(shù)學意義，并善于將與負數(shù)有關的問題轉化為與正數(shù)有關的問題，那么學生就可能以推理的方式推導出有理數(shù)乘法法則，從數(shù)學邏輯上理解“負負得正”的含義．為了驗證這一設想，筆者隨機選擇了初一年級一個班的學生，按照設想方式進行教學實驗，一個月后檢查發(fā)現(xiàn)這些學生大都能正確推導出有理數(shù)的乘法法則．現(xiàn)將教學過程簡要介紹如下，僅供老師們教學時作參考．
1．復習舊知．引入課題
師：請問負數(shù)的本質是什么？
生：負數(shù)是小數(shù)減大數(shù)的差，也就是說，當b<a時，定義-(a-b)=b-a，比如，-3=0-3=2—5=…
師：進入初中后，我們學習了有理數(shù)的加減運算．請你想想，有理數(shù)的加減運算和小學中非負數(shù)的加減運算有何異同？
生：相同點是，非負數(shù)里加減的結果仍然等于現(xiàn)在有理數(shù)里加減的結果，加法交換律和結合律都成立；不同點是，有理數(shù)里參與運算的數(shù)可正可負也可為零。
生：從非負數(shù)到有理數(shù)，數(shù)的范圍擴大了，參與運算的數(shù)更多了，但運算結果和運算律并沒有改變，
師：我們今天學習有理數(shù)的乘法，你覺得有理數(shù)的乘法應當滿足哪些特征呢？
生：最好也滿足交換律、結合律和分配律．
生：非負數(shù)中乘法的結果要等于有理數(shù)中乘法的結果．因為非負數(shù)是有理數(shù)的一部分，兩個乘法的結果應當一樣，否則，出現(xiàn)多個結果，就不知道誰對誰錯，數(shù)學計算的結果應當是確定的！
師：乘法從小學的非負數(shù)范圍拓展到我們現(xiàn)在的有理數(shù)范圍，(教學論文 www.gymyzhishaji.com)確實要考慮兩點，即同原來的運算結果相等和滿足原來的運算律，大家想一想，有理數(shù)的乘法到底有哪些情形呢？請舉例說明。
生：按正數(shù)、負數(shù)和零來劃分，有理數(shù)的乘法有九種情形：零乘零，O×0；零乘正數(shù)，O×3；零乘負數(shù)，Ox（-3）；正數(shù)乘零，4x0；負數(shù)乘零，（-3）×0；正數(shù)乘正數(shù)，(+4)×(+3)；負數(shù)乘正數(shù)，(-4)×(+3)；正數(shù)乘負數(shù)，(+4)×（-3）；負數(shù)乘負數(shù)，(-4)×（-3）．
2．巧妙轉化，解決問題
師：根據(jù)目前的知識，你能算出哪些結果？
生：因為零表示沒有，零與任何數(shù)相乘都應該等于零，這樣就有：O×0=0，0×3=0，0×（-3）=0，4×0=0，（-3）×0=0.
生：正數(shù)乘正數(shù)，這和小學一樣，所以(+4)x(+3)=12。
師：一般的，兩個正數(shù)相乘(+a)×(+b)=ab．其余三個怎么辦呢？怎么轉化成已經(jīng)學習過的問題來解決呢？
生：我解決負數(shù)乘正數(shù)的問題，根據(jù)負數(shù)的定義(-4)=0-4，那么（-4）x(+3)=(0-4)x3=Ox3-4x3=0-12=-12．
師：對于任意負數(shù)乘正數(shù)問題，比如（-a）×(+b)，你能解決嗎？
生：能，（具體過程略）
生：我解決正數(shù)乘負數(shù)的問題。（過程略）
師：對于任意負數(shù)乘正數(shù)問題，比如（+a）×(-b)，你能解決嗎？
生：能。（過程略）
生：我解決負數(shù)乘負數(shù)問題，(-4)×（一3）=(0-4)×（-3）=0×(-3)一4×（-3）=-（-12）=-(0-12)，根據(jù)負數(shù)的定義，等于12-0=12。
師：對于任意負數(shù)乘負數(shù)問題，比如（-a）×（-b），你能解決嗎？
生：能。（過程略）
師：可見，兩個負數(shù)相乘，結果是正數(shù)，這就是所謂的“負負得正”。
3．總結歸納，形成法則
師：下面，我們把兩個非零有理數(shù)相乘的結論總結一下。
生：同號的兩個數(shù)相乘，結果等于它們的絕對值相乘；異號的兩個數(shù)相乘，結果等于它們絕對值乘積的相反數(shù)。
生：兩個數(shù)相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘。
評析：通過負數(shù)的數(shù)學本質，巧妙的將有理數(shù)的乘法問題轉化成非負數(shù)的問題來解決．溝通了前后知識的聯(lián)系；同時，從特定算式到一般情況的推理，讓學生明白了，判斷數(shù)學結論正確性的依據(jù)是推理論證，而不僅僅是觀察歸納。
四、關注數(shù)學知識的本質理解
重視數(shù)學的生活化，將數(shù)學同實際生活聯(lián)系起來進行教學，讓學生體會到數(shù)學的有趣有用，是值得提倡的．然而，過度追求數(shù)學的生活化，可能會造成數(shù)學與生活生搬硬套的聯(lián)系，導致牽強附會的理解．況且數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用僅僅是數(shù)學極小的一個部分，數(shù)學更多的思想精華體現(xiàn)在數(shù)學進行抽象、概括、推理的過程中．如果僅僅以直觀的實例和虛構的模型來代替數(shù)學推理與論證，其結果只能是犧牲數(shù)學的科學性，讓學生不能真正理解數(shù)學核心內容和主要意義。
因此，學習數(shù)學，更重要的是學習數(shù)學的內在實質，即學習數(shù)學化的思考與推理，學習數(shù)學提出問題、分析問題、解決問題的方法，為此，教師要精通數(shù)學學科的知識內容、把握數(shù)學的本質與特征、領悟數(shù)學思想方法的精髓、理解數(shù)學教學的價值，將它們滲透到數(shù)學教學當中，也就是說，數(shù)學教學，要展示數(shù)學核心概念的發(fā)生發(fā)展過程和基本結論的發(fā)現(xiàn)、證明和運用過程，展示數(shù)學提出和解決問題的思維過程，這樣，學生才能以“再創(chuàng)造”的方式獲得數(shù)學的基礎知識，領悟數(shù)學的思想方法和分析與解決問題的策略，進而發(fā)展思維、提高能力。
參考文獻：
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