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蘋(píng)果還能落地嗎？——應(yīng)用“供需”關(guān)系理解圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題
蘋(píng)果還能落地嗎？——應(yīng)用“供需”關(guān)系理解圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題丁海鋒
�。ê贾莸谄咧袑W(xué)，浙江杭州310024）
舉世聞名的“牛頓與蘋(píng)果”的故事為人們所津津樂(lè)道，正是在那場(chǎng)蘋(píng)果與萬(wàn)有引力的較量中，萬(wàn)有引力把蘋(píng)果拉向地面“贏(yíng)”了，牛頓從中受啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律．在萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)350年后，有這么一棵“蘋(píng)果樹(shù)”公然再次挑戰(zhàn)萬(wàn)有引力，它能“反敗為勝”嗎？
請(qǐng)看有這么一道關(guān)于萬(wàn)有引力的開(kāi)放性題目：
已知地球的半徑為6.4xlO&m，地球自轉(zhuǎn)的角速度為7.27xlO_5rad/s，地面的重力加速度為9.8m/S2，在地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為7.9xlOm/S2，第三宇宙速度為16.7xl0m/S2，月地中心間距離為3.84xlOm.假設(shè)地球赤道上有一棵蘋(píng)果樹(shù)長(zhǎng)到了月球那么高，則當(dāng)蘋(píng)果脫離蘋(píng)果樹(shù)后，將()
A．落向地面
B．成為地球的同步“蘋(píng)果衛(wèi)星”
C．成為地球的“蘋(píng)果月亮”
D.飛向茫茫宇宙
筆者就這個(gè)題目曾在課堂上讓學(xué)生探討過(guò)，學(xué)生普遍認(rèn)為答案是A，他們認(rèn)為蘋(píng)果落地是司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象，牛頓不就是因?yàn)樘O(píng)果落地而發(fā)現(xiàn)的萬(wàn)有引力定律嗎？而高度只影響下落時(shí)間而已．但筆者提出自己的疑惑：月亮也僅受地球的引力，為什么月亮不掉到地球上來(lái)呢？偶有學(xué)生認(rèn)為月亮是繞地球旋轉(zhuǎn)的所以不落下來(lái)，筆者順勢(shì)反問(wèn)，那難道蘋(píng)果不轉(zhuǎn)嗎？學(xué)生這才醒悟他們只考慮了萬(wàn)有引力的存在而忽視了地球自轉(zhuǎn)這個(gè)因素，但同樣旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)物體為什么會(huì)產(chǎn)生不一樣的效果呢？該問(wèn)題頓時(shí)激發(fā)起學(xué)生的好奇心和求知欲．日常生活中我們之所以看到物體總是下落是因?yàn)樗鼈兌奸L(zhǎng)得太低了，假想它們長(zhǎng)到高于某一高度的話(huà)，從它們身上脫開(kāi)的物體就可能不落下反而可能往外飛，因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)里也蘊(yùn)涵著供需關(guān)系，供需關(guān)系是否平衡直接影響物體的運(yùn)動(dòng)情況，
一、知識(shí)準(zhǔn)備——什么是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的供需關(guān)系
“供”是指物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界實(shí)際能提供的向心力（指向圓心的合外力F供），F(xiàn)供由對(duì)物體受力分析可知．
“需”是指物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，改變速度方向所需的向心力（由于慣性存在，必須時(shí)刻把物體修正到圓軌道上所需的力），即F需=mv2/r2R=mRw2．可以看出同一個(gè)物體做確定的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)得越快（即v、w越大），f就越大．
不同供需關(guān)系能造成三種情形．
1．情形一：供需平衡
機(jī)理：外界實(shí)際提供的向心力恰好滿(mǎn)足物體時(shí)刻沿指定圓軌道運(yùn)動(dòng)所需的力（注意和受力平衡的區(qū)別）．現(xiàn)象：沿圓軌道做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)．
2．情形二：供過(guò)于求
機(jī)理：外界實(shí)際提供的向心力大過(guò)于只需將物體修正到指定圓弧軌道的力．
現(xiàn)象：脫離圓軌道作向心運(yùn)動(dòng)．
3．情形三：供不應(yīng)求
機(jī)理：外界實(shí)際提供的向心力不夠，要將物體修正到指定圓弧軌道所需的力．
現(xiàn)象：脫離圓軌道做離心運(yùn)動(dòng)．
二、知識(shí)應(yīng)用——應(yīng)用“供需”關(guān)系評(píng)判蘋(píng)果與萬(wàn)有引力間的較量
回到思考題，為了更好地說(shuō)明問(wèn)題，我們將這個(gè)題提煉成：一根無(wú)限長(zhǎng)的高桿（代替蘋(píng)果樹(shù)）豎直插在赤道的地面上，高桿上在不同高度分別用細(xì)繩吊著小球（代替蘋(píng)果），由于地球自轉(zhuǎn)的存在，空中每個(gè)小球都在繞地心做與地球相同的角速度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．有了這個(gè)模型之后，只要分析出細(xì)繩拉力情況（尤其是細(xì)繩拉力方向）就可知道此題的結(jié)論．
分析過(guò)程：
從需的方面看：桿子上的眾小球w相同，高為的小球所需的向心力為F需=(R+h)w020c(R+h)，故位置越高的小球所需的向心力逐漸變大，
從供的方面看：桿子的眾小球可能有兩個(gè)力來(lái)提供，一個(gè)是萬(wàn)有引力F引和另一個(gè)繩子拉力F，如果先不考慮細(xì)繩的拉力，則物體所受的萬(wàn)有引力為：
故位置越高的小球所受萬(wàn)有引力逐漸變�。ㄈ鐖D1）
從供需雙方可看出：
(1)隨高度增加供需雙方按相反方向變化，故要使小球所受萬(wàn)有引力恰好滿(mǎn)足小球所需向心力的位置只可能一個(gè)，那就是同步衛(wèi)星軌道高度日．這個(gè)高度供需平衡，即F供需´即GR+H2lTl,(R+H)t.002.繩子沒(méi)有任何作用力，故小球脫開(kāi)后，仍不受其影響做原來(lái)一樣的圓周運(yùn)動(dòng)，因此可得長(zhǎng)在同步衛(wèi)星高度的蘋(píng)果是不會(huì)掉到地面上來(lái)的，且始終在那個(gè)高度成為一顆地球的“蘋(píng)果衛(wèi)星”．
(2)同步衛(wèi)星軌道高度以?xún)?nèi)供過(guò)于求就會(huì)出現(xiàn)向心運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，小球向內(nèi)靠，所以繩子馬上產(chǎn)生向上的拉力，使供需達(dá)到平衡（受力如圖1），在繩子向上作用力的協(xié)助下小球做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)，故繩子斷后，小球立即做向心運(yùn)動(dòng)，小球就會(huì)落回地面，因此可得長(zhǎng)在同步衛(wèi)星高度以?xún)?nèi)的蘋(píng)果是會(huì)掉到地面上來(lái)的，這跟現(xiàn)實(shí)生活中蘋(píng)果落地是吻合的．
(3)同步衛(wèi)星軌道高度以外(ha>H)：F引
從以上的分析我們可以知道，蘋(píng)果樹(shù)長(zhǎng)到了月球那么高，已經(jīng)遠(yuǎn)在同步衛(wèi)星軌道高度以外了，當(dāng)蘋(píng)果脫離蘋(píng)果樹(shù)后，將離開(kāi)地球飛向茫茫宇宙，所以答案為D.
可見(jiàn)，蘋(píng)果在這次與萬(wàn)有引力的較量中“贏(yíng)”了，這顆蘋(píng)果樹(shù)將公然“違背”定律，脫離地球引力在太空翱翔．為慶祝牛頓萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)350周年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)決定再將當(dāng)年的蘋(píng)果樹(shù)的一部分軀干送往阿特蘭蒂斯號(hào)宇宙飛船，英國(guó)籍宇航員皮爾斯·塞勒斯將負(fù)責(zé)此次蘋(píng)果樹(shù)的太空飛行，在接受媒體采訪(fǎng)時(shí)，難怪塞勒斯開(kāi)玩笑地表示：“我將會(huì)帶著蘋(píng)果樹(shù)翱翔在太空，這會(huì)讓牛頓感到困惑．”
圓周運(yùn)動(dòng)中力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系由于其速度方向變化而造成矢量性緣故，與直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)相比較，學(xué)生對(duì)此更難理解，在圓周運(yùn)動(dòng)中力決定著運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)也反過(guò)來(lái)反饋外界施力，因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)刻都需要向心力，所需的向心力的大小由物體的運(yùn)動(dòng)情況決定，而向力心是由物體所受的外力來(lái)提供，因而供給和需求之間也存在供需平衡、供大于求、供不應(yīng)求這三種情況、當(dāng)供需不平衡時(shí)，有時(shí)可以自動(dòng)調(diào)整到趨于平衡，當(dāng)然有時(shí)也可能始終都調(diào)整不到平衡的狀態(tài)上來(lái)，而出現(xiàn)離心或向心運(yùn)動(dòng)，通過(guò)引進(jìn)蘋(píng)果是否落地的猜想的思考題，題目本身就非常奪人眼球，給人以無(wú)限的想象空間，很好地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，教師的釋疑過(guò)程就是一個(gè)很好的使學(xué)生在解疑中理解圓周運(yùn)動(dòng)中的供需關(guān)系的過(guò)程，
三、知識(shí)遷移——應(yīng)用“供需”關(guān)系理解豎直圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題
上述思考題的分析思路是：由F需出發(fā)分析外界施力（F需F供）．因?yàn)閷?duì)細(xì)繩受力方向不清楚，我們采取的辦法是從先分析圓周運(yùn)動(dòng)物體所需向心力，因?yàn)楸娦∏騱。相等的限制，使得從內(nèi)到外需求單調(diào)地增大，由供需關(guān)系可知小球做圓周運(yùn)動(dòng)要求外界提供等量的向心力，從而輕松知道物體受力細(xì)節(jié)情況．
反過(guò)來(lái)，也可以由F供出發(fā)分析物體的運(yùn)動(dòng)量（F供F需）．如果情境是外界對(duì)物體實(shí)際提供的向心力有限定時(shí)，由供需關(guān)系可知物體做圓周運(yùn)動(dòng)亦要由相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)量來(lái)配合，從而輕松知道物體運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)情況，這個(gè)模式經(jīng)常應(yīng)用在豎直圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析，
應(yīng)用F供與F需分析豎直圓周運(yùn)動(dòng)幾種模型最高點(diǎn)臨界條件：
第一種類(lèi)型：無(wú)支撐型（細(xì)繩與球、外軌與球）（如圖2）
總之，通過(guò)從供需關(guān)系角度理解圓周動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，學(xué)生不但容易掌握，而且理解透徹，真正從本質(zhì)上掌握了圓周運(yùn)動(dòng)，并且不但理解了圓周運(yùn)動(dòng)，而且對(duì)于物體為什么會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)和離心運(yùn)動(dòng)有了更加深刻的理解，應(yīng)用起來(lái)將會(huì)得心應(yīng)手。
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