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蘋果還能落地嗎？——應用“供需”關系理解圓周運動臨界問題
蘋果還能落地嗎？——應用“供需”關系理解圓周運動臨界問題丁海鋒
（杭州第七中學，浙江杭州310024）
舉世聞名的“牛頓與蘋果”的故事為人們所津津樂道，正是在那場蘋果與萬有引力的較量中，萬有引力把蘋果拉向地面“贏”了，牛頓從中受啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律．在萬有引力定律發(fā)現(xiàn)350年后，有這么一棵“蘋果樹”公然再次挑戰(zhàn)萬有引力，它能“反敗為勝”嗎？
請看有這么一道關于萬有引力的開放性題目：
已知地球的半徑為6.4xlO&m，地球自轉的角速度為7.27xlO_5rad/s，地面的重力加速度為9.8m/S2，在地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為7.9xlOm/S2，第三宇宙速度為16.7xl0m/S2，月地中心間距離為3.84xlOm.假設地球赤道上有一棵蘋果樹長到了月球那么高，則當蘋果脫離蘋果樹后，將()
A．落向地面
B．成為地球的同步“蘋果衛(wèi)星”
C．成為地球的“蘋果月亮”
D.飛向茫茫宇宙
筆者就這個題目曾在課堂上讓學生探討過，學生普遍認為答案是A，他們認為蘋果落地是司空見慣的現(xiàn)象，牛頓不就是因為蘋果落地而發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律嗎？而高度只影響下落時間而已．但筆者提出自己的疑惑：月亮也僅受地球的引力，為什么月亮不掉到地球上來呢？偶有學生認為月亮是繞地球旋轉的所以不落下來，筆者順勢反問，那難道蘋果不轉嗎？學生這才醒悟他們只考慮了萬有引力的存在而忽視了地球自轉這個因素，但同樣旋轉的兩個物體為什么會產生不一樣的效果呢？該問題頓時激發(fā)起學生的好奇心和求知欲．日常生活中我們之所以看到物體總是下落是因為它們都長得太低了，假想它們長到高于某一高度的話，從它們身上脫開的物體就可能不落下反而可能往外飛，因為圓周運動里也蘊涵著供需關系，供需關系是否平衡直接影響物體的運動情況，
一、知識準備——什么是勻速圓周運動的供需關系
“供”是指物體做圓周運動時，外界實際能提供的向心力（指向圓心的合外力F供），F(xiàn)供由對物體受力分析可知．
“需”是指物體做圓周運動時，改變速度方向所需的向心力（由于慣性存在，必須時刻把物體修正到圓軌道上所需的力），即F需=mv2/r2R=mRw2．可以看出同一個物體做確定的圓周運動，運動得越快（即v、w越大），f就越大．
不同供需關系能造成三種情形．
1．情形一：供需平衡
機理：外界實際提供的向心力恰好滿足物體時刻沿指定圓軌道運動所需的力（注意和受力平衡的區(qū)別）．現(xiàn)象：沿圓軌道做穩(wěn)定的圓周運動．
2．情形二：供過于求
機理：外界實際提供的向心力大過于只需將物體修正到指定圓弧軌道的力．
現(xiàn)象：脫離圓軌道作向心運動．
3．情形三：供不應求
機理：外界實際提供的向心力不夠，要將物體修正到指定圓弧軌道所需的力．
現(xiàn)象：脫離圓軌道做離心運動．
二、知識應用——應用“供需”關系評判蘋果與萬有引力間的較量
回到思考題，為了更好地說明問題，我們將這個題提煉成：一根無限長的高桿（代替蘋果樹）豎直插在赤道的地面上，高桿上在不同高度分別用細繩吊著小球（代替蘋果），由于地球自轉的存在，空中每個小球都在繞地心做與地球相同的角速度的勻速圓周運動．有了這個模型之后，只要分析出細繩拉力情況（尤其是細繩拉力方向）就可知道此題的結論．
分析過程：
從需的方面看：桿子上的眾小球w相同，高為的小球所需的向心力為F需=(R+h)w020c(R+h)，故位置越高的小球所需的向心力逐漸變大，
從供的方面看：桿子的眾小球可能有兩個力來提供，一個是萬有引力F引和另一個繩子拉力F，如果先不考慮細繩的拉力，則物體所受的萬有引力為：
故位置越高的小球所受萬有引力逐漸變�。ㄈ鐖D1）
從供需雙方可看出：
(1)隨高度增加供需雙方按相反方向變化，故要使小球所受萬有引力恰好滿足小球所需向心力的位置只可能一個，那就是同步衛(wèi)星軌道高度日．這個高度供需平衡，即F供需´即GR+H2lTl,(R+H)t.002.繩子沒有任何作用力，故小球脫開后，仍不受其影響做原來一樣的圓周運動，因此可得長在同步衛(wèi)星高度的蘋果是不會掉到地面上來的，且始終在那個高度成為一顆地球的“蘋果衛(wèi)星”．
(2)同步衛(wèi)星軌道高度以內供過于求就會出現(xiàn)向心運動趨勢，小球向內靠，所以繩子馬上產生向上的拉力，使供需達到平衡（受力如圖1），在繩子向上作用力的協(xié)助下小球做穩(wěn)定的圓周運動，故繩子斷后，小球立即做向心運動，小球就會落回地面，因此可得長在同步衛(wèi)星高度以內的蘋果是會掉到地面上來的，這跟現(xiàn)實生活中蘋果落地是吻合的．
(3)同步衛(wèi)星軌道高度以外(ha>H)：F引
從以上的分析我們可以知道，蘋果樹長到了月球那么高，已經遠在同步衛(wèi)星軌道高度以外了，當蘋果脫離蘋果樹后，將離開地球飛向茫茫宇宙，所以答案為D.
可見，蘋果在這次與萬有引力的較量中“贏”了，這顆蘋果樹將公然“違背”定律，脫離地球引力在太空翱翔．為慶祝牛頓萬有引力定律發(fā)現(xiàn)350周年，英國皇家學會決定再將當年的蘋果樹的一部分軀干送往阿特蘭蒂斯號宇宙飛船，英國籍宇航員皮爾斯·塞勒斯將負責此次蘋果樹的太空飛行，在接受媒體采訪時，難怪塞勒斯開玩笑地表示：“我將會帶著蘋果樹翱翔在太空，這會讓牛頓感到困惑．”
圓周運動中力和運動的關系由于其速度方向變化而造成矢量性緣故，與直線運動相比較，學生對此更難理解，在圓周運動中力決定著運動，運動也反過來反饋外界施力，因為做圓周運動的物體時刻都需要向心力，所需的向心力的大小由物體的運動情況決定，而向力心是由物體所受的外力來提供，因而供給和需求之間也存在供需平衡、供大于求、供不應求這三種情況、當供需不平衡時，有時可以自動調整到趨于平衡，當然有時也可能始終都調整不到平衡的狀態(tài)上來，而出現(xiàn)離心或向心運動，通過引進蘋果是否落地的猜想的思考題，題目本身就非常奪人眼球，給人以無限的想象空間，很好地激發(fā)了學生的求知欲，教師的釋疑過程就是一個很好的使學生在解疑中理解圓周運動中的供需關系的過程，
三、知識遷移——應用“供需”關系理解豎直圓周運動臨界問題
上述思考題的分析思路是：由F需出發(fā)分析外界施力（F需F供）．因為對細繩受力方向不清楚，我們采取的辦法是從先分析圓周運動物體所需向心力，因為眾小球w。相等的限制，使得從內到外需求單調地增大，由供需關系可知小球做圓周運動要求外界提供等量的向心力，從而輕松知道物體受力細節(jié)情況．
反過來，也可以由F供出發(fā)分析物體的運動量（F供F需）．如果情境是外界對物體實際提供的向心力有限定時，由供需關系可知物體做圓周運動亦要由相應的運動量來配合，從而輕松知道物體運動細節(jié)情況，這個模式經常應用在豎直圓周運動的臨界問題分析，
應用F供與F需分析豎直圓周運動幾種模型最高點臨界條件：
第一種類型：無支撐型（細繩與球、外軌與球）（如圖2）
總之，通過從供需關系角度理解圓周動力學問題，學生不但容易掌握，而且理解透徹，真正從本質上掌握了圓周運動，并且不但理解了圓周運動，而且對于物體為什么會做向心運動和離心運動有了更加深刻的理解，應用起來將會得心應手。
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