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幾種數(shù)學(xué)觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)
幾種數(shù)學(xué)觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)
王學(xué)沛，鄧鵬，魏勇
選擇什么教學(xué)方式是由師生(主要是教師)所信奉的數(shù)學(xué)觀支配的。所以對“數(shù)學(xué)是什么”、“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是什么”、“數(shù)學(xué)是如何習(xí)得的”、“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)什么”、“數(shù)學(xué)教學(xué)教什么”的不同認識，支配教師采用不同的教學(xué)方式，學(xué)生采用不同的學(xué)習(xí)方法。
一、猛增亂補的教學(xué)法
如果認為“數(shù)學(xué)是一堆絕對真理的總集”，“學(xué)生的頭腦是貯存知識的倉庫”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是往學(xué)生的頭腦里不斷地增加定理的數(shù)日，是反復(fù)刺激的鏡面反映，是學(xué)生對老師授予的知識的被動接受”，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要在于背誦”，教師只注重學(xué)生得到數(shù)學(xué)知識的數(shù)量，只想把大量的數(shù)學(xué)結(jié)論盡快高密度地傳授給學(xué)生，就會實施猛增亂補的教學(xué)法。
(一)猛增亂補的教學(xué)法的表現(xiàn)
教師在課堂教學(xué)中，為解決量大時間緊的矛盾，常采取下面一些辦法。一是盡量縮短學(xué)生思考理解數(shù)學(xué)知識的時間，不考慮學(xué)生能否接受，不研究學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的合理性與組織性，不調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，只是自己單邊的教學(xué)活動，使學(xué)生處于被動地接受狀態(tài)。二是講課中有意忽略知識產(chǎn)生的過程，講概念不去建立概念與概念之間的聯(lián)系，只講概念的表達式，對概念的形成過程，定理的發(fā)現(xiàn)過程，證明與解題的探索過程一帶而過(甚至省略)，不講解(或不注重)知識與知識之間的邏輯關(guān)系，不引導(dǎo)學(xué)生進行類比和歸納，只把結(jié)論直接給學(xué)生。三是把教學(xué)的重點放在解題上，但也是只講算法不講算理，不引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、分析、綜合去理解解題思路，抓住解題實質(zhì)，一味生搬算法，硬套公式。四是給學(xué)生灌輸“數(shù)學(xué)解題的方法就是死記硬背公式、定理和法則，然后直接導(dǎo)用”、“學(xué)習(xí)的目的就是記憶‘標準答案’”。五是通過重復(fù)刺激和反復(fù)訓(xùn)練的方法以達到熟練掌握的程度，毫不顧忌腦力承受能力的極限，加班加點把學(xué)生困在過度訓(xùn)練的題海戰(zhàn)中。
(二)猛增亂補的教學(xué)法的結(jié)果
這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1．缺乏理解、僵化、無序的一大堆零散的數(shù)學(xué)結(jié)論。2．死記硬背的學(xué)習(xí)方法，思路單一狹窄的思維方法，缺乏可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。這種認知結(jié)構(gòu)不具有抽象、概括、聯(lián)想、遷移、邏輯推理和證明的功能，一些須逆向思維與發(fā)散思維的問題則無能力解決。3．缺乏數(shù)學(xué)語言的表達能力，缺乏學(xué)習(xí)的主動性、獨立性和批判性。4．熟記了公式定理卻不會推導(dǎo)證明，學(xué)了的結(jié)論到用時卻調(diào)不出來。5．超過腦力承受極限的題海戰(zhàn)，使學(xué)生過度疲勞，缺乏充足的睡眠和休息，造成思維混亂，反應(yīng)遲鈍，導(dǎo)致本已掌握的知識與方法也錯誤應(yīng)用。
二、認套題型的教學(xué)法
如果認為“數(shù)學(xué)是一種處理數(shù)量問題的工具，是有益于生計的問題解決的一招一式的技術(shù)”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是各種算法和技術(shù)的機械記憶和應(yīng)用”，則教師就會采用認套題型的教學(xué)。
(一)認套題型教學(xué)觀的表現(xiàn)
1．只注重實際應(yīng)用操作程序的教學(xué)，注重技法訓(xùn)練和方法培訓(xùn)，削弱基本概念的教學(xué)，不進行抽象概括能力的培養(yǎng)，不注重推理論證訓(xùn)練。2．只注重可以直接應(yīng)用于日常生活的數(shù)學(xué)，削弱抽象數(shù)學(xué)的教學(xué)。3．不把精力放在完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)上，不講解題的思路和方法是怎樣得來的，而是把更多的注意力放在題型上，有的重點高中重點班級甚至不講教材，完全搞題型教學(xué)，搞全面網(wǎng)盡的題型訓(xùn)練，講課就是講題型和難題，一節(jié)課講十幾個題型，筆記十幾頁，要求學(xué)生記下來。4．新課剛授完(或根本不講基礎(chǔ)知識)就要求學(xué)生解難題，由于學(xué)生缺基礎(chǔ)而無法理解，難題解不了，只有用強行記憶來彌補，學(xué)生被迫進行機械學(xué)習(xí)。5．大量搜集題型和難題，要求學(xué)生加班加點地做類型題和難題，用題海戰(zhàn)達到學(xué)生對各種題型的熟悉套用。
(二)認套題型的教學(xué)觀的結(jié)果
這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1．具有表面性、形式化特點的零散的數(shù)學(xué)方法。2．“識別類型，死套方法，強化練習(xí)”的學(xué)習(xí)方式，對解題步驟的機械記憶和程式化步驟的模仿的解題方法。3．僵化機械的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。這種認知結(jié)構(gòu)，缺乏理性思維、抽象概括、推理論證、信息解讀等功能。思維方式機械、解題能力差。只能解做過的類型題和難題，對沒做過、沒見過，或稍作一點改變的題就無法解或錯解。4．由于教師包辦代替了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維過程，使學(xué)生長期滯留在經(jīng)驗型的直觀感悟上，抽象邏輯思維能力差，超越不了直觀經(jīng)驗和具體計算，不能上升到理性認識。5．對教師極大的依賴性，無創(chuàng)新意識與思維探究能力。
三、結(jié)構(gòu)教學(xué)法
如果認為“數(shù)學(xué)是通過對概念的分析、生成和組織，對命題的嚴密邏輯推理而形成的互相聯(lián)系的系統(tǒng)化的有機整體。反映的是概念命題的客觀邏輯結(jié)構(gòu)”，“數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)經(jīng)驗規(guī)則組成的體系，其組織的活力依賴于各部分之間的聯(lián)系，結(jié)構(gòu)決定體系的功能”，“數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的形成過程是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)進行加工的心理活動過程”，“構(gòu)建概念體系和命題體系是促進學(xué)生建立完善認知結(jié)構(gòu)的有效途徑”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實質(zhì)上是學(xué)習(xí)者的生理——心理系統(tǒng)對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的(部分)納入”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是注重知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，在知識的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)中加深理解，把握知識的來龍去脈，只有這樣才能形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)”，“知識結(jié)構(gòu)不僅是知識的固著點，也是從不同側(cè)面認識事物的一條途徑，學(xué)生頭腦積累的知識只有做到條件化、成熟化、結(jié)構(gòu)化，才會有效地同化，鞏固和遷移，才能成功地解決問題”，“學(xué)生從已知的整體知識中掌握分化的部分，比從已知的分化的部分中掌握整體的難度要低一些”，則教師就會施行結(jié)構(gòu)教學(xué)法。
(一)結(jié)構(gòu)教學(xué)法的表現(xiàn)
1．注重對概念進行分析、抽象、概括的生成組成過程的教學(xué)，注重命題的邏輯推理證明，對學(xué)生進行抽象、概括能力和邏輯思維能力的訓(xùn)練。2．注重知識點之間的實質(zhì)性聯(lián)系，講清來龍去脈，知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)方式，過程和結(jié)構(gòu)圖式；從知識結(jié)構(gòu)的總體上把握概念、定理、公式、方法和技巧。3．注重核心概念的概念體系與命題體系的構(gòu)建過程，并揭示蘊涵于核心概念的概念體系、命題體系深層的數(shù)學(xué)思想方法。4．教授如何進行數(shù)學(xué)知識的理解，如何進行意義學(xué)習(xí)，如何構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)方法。5．解題教學(xué)的重點放在如何分析題意尋找解題的思想、思路和方法上，放在數(shù)學(xué)問題的類比、概括與歸納上，放在具體問題具體分析的解題方法的引導(dǎo)上。6．注重演繹推理能力的訓(xùn)練。
(二)結(jié)構(gòu)教學(xué)法的后果
這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1．有活力的條件化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識、概念體系和命題體系。2．蘊涵于表層知識之中的數(shù)學(xué)思想方法。3．具有起固定作用的核心數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。這種認知結(jié)構(gòu)具有較高的信息解讀能力，抽象、概括、類比、歸納、邏輯推理、論證等理性思維能力和思維探究能力。4．意義學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法，從總體上記憶、理解和把握數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)的方法、具體問題具體分析的解題方法。5．主干知識突出，既包括理論知識，又包括經(jīng)驗知識和數(shù)學(xué)前提性知識，脈絡(luò)簡明的“認知地圖”。6．較強的數(shù)學(xué)語言表達與轉(zhuǎn)換的能力，不孤立地看待問題，努力尋求綜合地看待事物的習(xí)慣。7．學(xué)習(xí)的有用功率高，不打疲勞戰(zhàn)，減輕了腦力的過重負擔。
四、建構(gòu)主義的教學(xué)法
如果認為“數(shù)學(xué)知識是無法傳遞的，傳遞的只是信息”，“信息必須被置于洞察、解釋并與頭腦認知結(jié)構(gòu)中現(xiàn)有知識發(fā)生聯(lián)系的位置(即生長點)，通過新舊知識經(jīng)驗的互動，才能被理解而成為自己的知識”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自覺主動在心理上建造一個認知對象的‘建筑物’，其建筑材料，除了有關(guān)新知識的少量信息來源于外部，多數(shù)信息來源于心理內(nèi)部——已有的知識、經(jīng)驗、方法和觀念。建造的過程除最初少量外部活動外，主要的是內(nèi)部的心理活動，是一系列思維活動的內(nèi)部操作，是內(nèi)部心理上的思維創(chuàng)造過程”[1]，則教師就會采用建構(gòu)主義的教學(xué)法。
(一)建構(gòu)主義教學(xué)法的表現(xiàn)
1．把重心放在如何調(diào)動學(xué)生主動性、如何教學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法上。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，自學(xué)能力，反思能力，思維自我調(diào)節(jié)與監(jiān)控能力。2．注重對學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)現(xiàn)有狀況和進行當前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認知心理活動進行分析，對新舊知識的結(jié)合點進行研究。3．不僅要以學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點，而且以擴展和完善認知結(jié)構(gòu)為歸宿。[2]4．既教學(xué)生如何進行數(shù)學(xué)認知，如何建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，又教學(xué)生如何對自己的認知進行認知(即元認知)，還教不同學(xué)段的不同學(xué)習(xí)方法如何進行轉(zhuǎn)化。5．教給學(xué)生“積極前進、循環(huán)上升”的學(xué)習(xí)觀，在前進中鞏固知識，用循環(huán)來鞏固知識，加深認識，用循環(huán)來系統(tǒng)化知識，提高質(zhì)量，解決問題。剖析、批判、摒棄“前不清，后不接”，在每個知識小點上反復(fù)講、重復(fù)練，層層夯實。6．引導(dǎo)學(xué)生進行反思性學(xué)習(xí)，優(yōu)化認識結(jié)構(gòu)。
(二)建構(gòu)主義教學(xué)法的結(jié)果
這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1．符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特殊的認識規(guī)律的學(xué)習(xí)方法。2．良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，深刻的理解能力，較強的數(shù)學(xué)自學(xué)能力，反思能力，解題能力，思維探究能力。3．融會貫通數(shù)學(xué)知識體系與扎實的數(shù)學(xué)雙基。4．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、獨立性、數(shù)學(xué)思維的深刻性，批判性，靈活性。5．高效率的學(xué)習(xí)效果，超前學(xué)習(xí)的歡樂。概言之，學(xué)生得到的是一個睿智的頭腦和一把開啟數(shù)學(xué)寶藏的金鑰匙。
五、數(shù)學(xué)思維教學(xué)法
如果認為：“數(shù)學(xué)是一種探索精神，是一個動態(tài)的過程，是一個思維的試驗過程，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程”[3]，“數(shù)學(xué)是通過對簡單事實的把握，建立思維體系，通過推理得出結(jié)果”[4]，“數(shù)學(xué)是創(chuàng)建并運用公理化方法，通過嚴密的邏輯推理論證，把零散的數(shù)學(xué)經(jīng)驗規(guī)則匯集、發(fā)展，構(gòu)建成系統(tǒng)化的邏輯體系”，“數(shù)學(xué)是通過建構(gòu)模式來刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的，是一種模式的建構(gòu)活動，而且模式本身就是研究的對象，是理想化的量化模式的建構(gòu)與研究”，“數(shù)學(xué)對人類的貢獻不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的美妙的定理，更重要的是它孕育了這種數(shù)學(xué)的理性精神”，“數(shù)學(xué)教育是孕育成熟理性的最佳載體，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)理性精神的再根植”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理性的認識過程，起決定性作用的是理性因素”，“數(shù)學(xué)公理化和形式化有助于理性思維的培養(yǎng)”，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)公理化、形式化、數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識”，則教師就會實施跨學(xué)科的數(shù)學(xué)思維教學(xué)法。
(一)數(shù)學(xué)思維教學(xué)法的表現(xiàn)
1．注重對學(xué)生進行創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，遵循教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究(發(fā)現(xiàn))同步協(xié)調(diào)原則，研究數(shù)學(xué)思維的規(guī)律。2．課堂教學(xué)中，既關(guān)注數(shù)學(xué)本身的邏輯體系，又適當?shù)貜膶嵺`中抽象出數(shù)學(xué)問題，把實際問題數(shù)學(xué)化，進行邏輯建構(gòu)，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式去思考去探索，使學(xué)生經(jīng)歷‘再建�！倪^程，培養(yǎng)學(xué)生的概括、歸納能力。3．講授數(shù)學(xué)思維方法。4．在數(shù)學(xué)知識教學(xué)中結(jié)合教師本人的體驗用自己的思維方式合乎邏輯地層示從已有知識至待學(xué)知識的發(fā)展過程。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既掌握數(shù)學(xué)知識，形成數(shù)學(xué)技能，又學(xué)習(xí)和體驗數(shù)學(xué)研究方法。5．課堂教學(xué)中，充分暴露數(shù)學(xué)思維過程，努力挖掘蘊涵于表層知識之中的理性精神，促進學(xué)生對深層知識的領(lǐng)悟，分清主干知識與枝節(jié)知識的源與流的關(guān)系、縱向與橫向的關(guān)系，主動構(gòu)建連通性高的認知結(jié)構(gòu)。6．介紹創(chuàng)建思維體系進行創(chuàng)造的方法和思維體系產(chǎn)生的創(chuàng)新成果，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，啟迪學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生形成發(fā)展數(shù)學(xué)研究探索能力、發(fā)現(xiàn)和批判能力、評價能力，使學(xué)生學(xué)會靈活運用多種思維方法去創(chuàng)新。7．解題教學(xué)中，引進開放題教學(xué)，注重變式教學(xué)和解題多樣化的教學(xué)。8．營造民主、寬松、和諧、平等、自由的課堂氣氛，設(shè)計具有難度、具有挑戰(zhàn)性、質(zhì)疑精神的活動，運用民主討論法，給學(xué)生提供提問、表達、思考、傾聽、合作、交流和運用創(chuàng)造性問題解決智慧技能、解決非常規(guī)性問題的機會。9．指導(dǎo)學(xué)生重視休息和保證睡眠充足，消除腦力疲勞，為潛意識活動的開展創(chuàng)造條件，并注意覺察并抓住自己的靈感。
(二)數(shù)學(xué)思維教學(xué)法的結(jié)果
這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1．條件化、結(jié)構(gòu)化的有活力的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，有層次、有條理、不割裂的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。2．認知策略與解題策略，數(shù)學(xué)研究方法，意義學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方法。3．元認知的體驗、意識與能力。4．優(yōu)化的認知結(jié)構(gòu)與優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)的能力。5．善于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自學(xué)能力，敏銳的觀察力，深刻的理解力，透徹的分析能力，高度的概括能力，嚴密的邏輯推理能力。6．對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，探索創(chuàng)新的意識，具體問題具體分析的解題方法，豐富的有創(chuàng)造性的解題經(jīng)驗，獨立解決非常規(guī)性問題的智慧與技能。7．理性精神，創(chuàng)造性思維策略，問題轉(zhuǎn)化策略與建模能力。8．善于用腦的能力。9．高效率的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，登上天梯再攀高峰的雄心壯志，抓住靈感時的驚喜。概言之，學(xué)生從這種教學(xué)中得到的是點石成金的手指頭。
六、優(yōu)化數(shù)學(xué)教育的方略
(一)轉(zhuǎn)變世俗的數(shù)學(xué)觀
第一、二種數(shù)學(xué)觀的形成，一方面是沒有對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特殊的認知規(guī)律進行研究，從一般教育學(xué)的結(jié)論直接演繹得來，另一方面是從行為主義、實用主義和中國傳統(tǒng)文化中獲得更多的理論支撐并得到強化和社會的廣泛認同形成的。在這種世俗的數(shù)學(xué)觀支配下的數(shù)學(xué)教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識認知規(guī)律極不適應(yīng)，教學(xué)效率極低。師生負擔過重。這兩種數(shù)學(xué)教學(xué)是極需改善的，這就必須轉(zhuǎn)變世俗的數(shù)學(xué)觀，盡管世俗觀念的轉(zhuǎn)變異常困難。
第三、四、五種數(shù)學(xué)教學(xué)，是與數(shù)學(xué)特殊的認知規(guī)律相適應(yīng)的，因而是高效率的、理想的、好的數(shù)學(xué)教育�？倲埖谌⑺�、五種數(shù)學(xué)觀之大成，針對所教學(xué)生具體數(shù)學(xué)認知狀況，靈活選用適當?shù)慕虒W(xué)方式，就是最好的數(shù)學(xué)教學(xué)。無所不適、無所不能的高效率數(shù)學(xué)教學(xué)方式是不存在的。教學(xué)方式要受制于教與學(xué)的觀念，只要以正確的數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)與調(diào)控教學(xué)，無論采取什么方式，都可以做到教學(xué)效率的提升。許多教學(xué)往往避開數(shù)學(xué)觀去把教學(xué)方式當作純技術(shù)研究，這是摸石頭過河的低效實踐研究，抓不到問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，不能使教師的教學(xué)方式產(chǎn)生實質(zhì)性的改變，不可能產(chǎn)生教學(xué)水平的飛躍。
(二)張揚理性精神
主宰三、四、五數(shù)學(xué)觀的靈魂是“理性精神”，而中國文化傳統(tǒng)中就缺乏理性精神，第一、第二種教學(xué)觀正是受中國文化中傳統(tǒng)反理性思維精神影響的突出體現(xiàn)。因此，要把學(xué)生從“死記硬背”“題海戰(zhàn)”“疲勞戰(zhàn)”中解脫出來，不張揚理性精神，不批判世俗數(shù)學(xué)觀是不可能的。
(三)改革師范院校教育類課程
師范院校提供一線的師資力量，所以我們要從培養(yǎng)教師的源頭上解決教師的觀念更新、知識更新與能力結(jié)構(gòu)的發(fā)展，使我們的數(shù)學(xué)教師具備能為學(xué)生提供高效率的、好的數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)觀與能力結(jié)構(gòu)。
摘自《課程教材教法》2008。2（53~57）
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