方程組在解計算題中的應(yīng)用

為什么要討論方程組在解物理計算題中應(yīng)用這一問題呢？主要是考慮到與高中解題思路的銜接問題，在高中物理中強調(diào)的是對物理過程的分析和描述，而描述物理過程的數(shù)學(xué)工具就是用物理公式建立相關(guān)的方程，一個比較復(fù)雜的物理過程，往往需要建立好幾個方程才能奏效.另外因不少學(xué)生在拿到一道計算題時他的著眼點往往不是根據(jù)題給條件，去考慮如何用所學(xué)的物理原理去分析"條件"、用物理公式去描述這個"條件"，而把注意力放在了所要求的結(jié)果上去了，其實當(dāng)你把物理條件用物理公式正確地表述出來之后，其結(jié)果自然會水到渠成得出的.再者在使用方程組解題時，要用到多個未知量，我們的學(xué)生會耽心怎樣把這些未量一一消掉，當(dāng)然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好的同學(xué)，對方程組的解會有一定的困難，對此應(yīng)加強這方面的訓(xùn)練.本文想通過一個典型例題來說明這一觀點.
  例題.用密度是ρ_甲=4╳10³kg/m³的材料制成的空心球甲和用密度ρ_乙=8╳10³kg/m3的材料制成的空心球乙，兩球的質(zhì)量相等，乙球恰好在水中懸浮.
（1）若把甲球置于足夠多的水中時，求甲球露出水面的體積和甲球總體積之比.
（2）在甲球的空心處有的適量酒精，使甲球也可在水中懸浮，求酒精的體積和空心部分體積之比（ρ_酒精=0.8╳10³kg/m³）.

分析：基于利用方程組的解題思路，我們先假設(shè)甲球的體積為V甲，乙球的體積為V乙，兩球的空心部分的體積均為Vo，水的密度為ρ_水=1.0╳10³kg/m³，甲球放入水中后排開水的體積為V_排，甲球里面酒精的體積為V_酒精.
   接下來的思路是如何根據(jù)題給條件利用相應(yīng)的物理原理列方程了：
  （1）根據(jù)兩球的質(zhì)量相等的條件有：ρ_甲（V_甲-Vo）=ρ_乙（V_乙-Vo）-----（1）   （2）根據(jù)乙球恰好在水中懸浮的條件有，由重力等于浮力得：ρ_乙（V_乙-Vo）g=ρ_水V_乙g----------（2）
  （3）將甲球放入水中后因它是處于懸浮狀態(tài)，所以它的重力也等于所受到的浮力， 于是有：
  ρ甲（V_甲-Vo）g=ρ_水V_排g---------（3） 
  （4）甲露出水水面的體積和甲的總體積之比等于：（V_甲-V_排）/V_甲-----------（4）
  由上可見為了解答第一小題，列出了3個方程（第四式是本小題要求的結(jié)論），涉及到V_甲、Vo、V_乙和V_排等共四個未知量，解起方程來也是挺復(fù)雜的.那么為什么要這樣做呢？原因是只有這樣才符合物理學(xué)的思維方法，所謂物理學(xué)的思維方法是每一物理現(xiàn)象都符合一定的物理規(guī)律，即符合某一物理定律，我們中學(xué)里學(xué)物理的任務(wù)是用學(xué)過的物理原理去描述物理現(xiàn)象，將來如果是研究物理的話，就要倒過來：根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的新的物理現(xiàn)象，去總結(jié)規(guī)律了.何況進入高中后，解物理題時一般都采用這種方法，如果能在初中就加強這方面的訓(xùn)練，對未來高中學(xué)習(xí)物理打下一個良好的基礎(chǔ)，也是初高中物理教學(xué)銜接的一個方面.
   當(dāng)你把物理題中給出的條件一一用物理公式把它表達出----即把它"翻譯"成數(shù)學(xué)方程時，其實你就基本上完成了出題者交給你的任為了.接下來的問題是如何解數(shù)學(xué)方程的事情了.這樣的解題方法，只要題目沒有出錯，列出未知數(shù)再多，都可以在解題的過程中被一一消去，達到成功的彼岸：
  （1）將甲、乙的密度代入1式，得V_乙=（V_甲+Vo）/2.
  （2）將乙和水的密度代入2式得：8（V_乙-Vo）=V_乙從而得：7V_乙=8Vo,再把（1）中得到的V_乙代入左式，又有：
  7V_甲+7Vo=16Vo →Vo=7V_甲/9
  （3）把Vo=7V_甲/9代入方程（3）得V_排=4（V_甲-7V_甲/9)=8V_甲/9,這樣一來最終結(jié)果為：
  （V_甲-V_排）/V_甲=（V_甲-8V_甲/9）/V_甲=1/9
  對于第二小題，只要根據(jù)甲球的空心部分加了酒精后能懸浮在水中，甲球和酒精的總重量等于它們所受的浮力就可搞定：
  ρ_甲（V_甲-Vog）+ρ_酒V_酒g =ρ_水V_甲g---------（4）
  最終得V_酒/Vo=5/28

  看了上述分析和解題方法，不知你有什么想法和問題都可以發(fā)e-mail來進行交流.

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