數(shù)學(xué)思想在高中物理中的應(yīng)用

眾所周知，物理學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)發(fā)展的根基，并且很多物理問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)方法和物理思想巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要從高中做起 ，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新能力，更好的與大學(xué)課程接軌，更早的把高中生帶到物理殿堂。

   下面以一題為例說(shuō)明一下數(shù)學(xué)思想在物理中的應(yīng)用：

【例一】如圖所示，一根一段封閉的玻璃管，長(zhǎng)L=96厘米內(nèi)有一段h₁=20厘米的水銀柱，當(dāng)溫度為27攝氏度，開(kāi)口端豎直向上時(shí)，被封閉氣柱h₂=60厘米，溫度至少多少度，水銀才能從管中全部溢出？

解：首先使溫度升高為T₀以至水銀柱上升16厘米，水銀與管口平齊，此過(guò)程是線性變化。溫度繼續(xù)升高，水銀溢出，此過(guò)程不再是線性關(guān)系。設(shè)溫度為T時(shí),剩余水銀柱長(zhǎng)h,對(duì)任意位置的平衡態(tài)列方程：

(76+ h₁)×60/300=(76+h) ×(96-h)/ T    整理得：

T=(-h²+20h+7296)/19.2

h的變化范圍0——20，可以看出溫度T是h的二次函數(shù)，此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)求T的取值范圍,若T_minmax，只有當(dāng)溫度T大于等于T_max 才能使水銀柱全部溢出，經(jīng)計(jì)算所求值T_max =385.2 。

只有通過(guò)二次函數(shù)極值法，才能從根上把本體解決。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透是新教材新的一個(gè)體現(xiàn)，比如：“探索彈簧振子周期與那些因素有關(guān)”，“探索彈簧彈力與伸長(zhǎng)的關(guān)系”。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該引起高度重視并加以擴(kuò)展。

大學(xué)物理課程與高中物理課程跨度較大，難點(diǎn)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)手段探索性研究物理問(wèn)題的方法，另外微積分思想比較難以理解，為了與大學(xué)物理課程更好的接軌，在高中階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行微積分思想的滲透也是非常必要的。因此在高中物理教學(xué)過(guò)程中應(yīng)抓住有利時(shí)機(jī)滲透微元思想，為學(xué)好微積分奠定良好的基礎(chǔ)。滲透的內(nèi)容應(yīng)該有兩方面：一是變化率，二是無(wú)限小變化量，比如：

在講速度時(shí)，平均速度v=△s/t,即時(shí)速度呢？△s/t就是變化率,當(dāng)△s取無(wú)限小時(shí)，v就可以理解為某一時(shí)刻的速度——即使速度。加速度a=△v/t, △v/t是速度變化率，當(dāng)△v取無(wú)限小時(shí)，加速度a就可以理解為某一時(shí)刻的加速度。象這樣的例子還有w/t,I/t, △φ/t等等。總之高中物理教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的具體情況適當(dāng)?shù)臐B透微積分的思想并加以配套練習(xí)，達(dá)到鞏固理解的目的。下面討論一個(gè)相關(guān)題目。

【例二】一豎直放的等截面U形管內(nèi)裝有總長(zhǎng)為L(zhǎng)的水銀柱， 當(dāng)它左右兩部分液面做上下自由振動(dòng)時(shí)，證明水銀柱的振動(dòng)時(shí)間諧振動(dòng)。

解：設(shè)兩液面相平時(shí)速度為V₀,建立坐標(biāo)如圖。

當(dāng)有液面上升x時(shí)，液體速度為v,則根據(jù)能量守恒的

mv₀²/2=△mgx₁ +mv₁²/2             ⑴

△m=mgx₁/L                     ⑵

⑵帶入⑴得

mv₀²/2=mgx₁²/L +mv₁²/2                ⑶

當(dāng)液面在上升△x時(shí),x₂=x₁+△x  則

   mv₀²/2=mgx₂²/L +mv₂²/2                ⑷

⑷減⑶ 得

   0=(x₂²-x₁²)mg/L+m(v₂²-v₁²)/2化簡(jiǎn)得：

   0=(x₁+x₂) mg△x/L+m(v₁²-v₂²)/2        ⑸

△x很小，則認(rèn)為加速度a不變,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

 v₁²-v₂²=2ax帶入⑸得

0=2x△xmg/L+2ma△x/2              ⑹

即：F=-2mgx/L    2mg/L為常數(shù)K，證得水銀柱的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

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