較多的國(guó)家結(jié)合日常生活或游戲介紹概率、統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí)。如美、日、英、法等國(guó)都講了通過(guò)試驗(yàn)求概率。如盒里放0，1，2，……，9的數(shù)字卡片，搖勻后每次抽一張，求抽出質(zhì)數(shù)的概率。美、英等國(guó)還講了用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算概率。日、美等國(guó)從低年級(jí)起就出現(xiàn)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表，到高年級(jí)還分別介紹了收集資料、數(shù)據(jù)處理、作頻率分布表和求平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)等。

　　還有一些國(guó)家結(jié)合認(rèn)數(shù)和計(jì)算介紹與電子計(jì)算機(jī)有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，如二、三、四、五進(jìn)位制及其簡(jiǎn)單加減法，簡(jiǎn)單的流程圖，簡(jiǎn)單的邏輯語(yǔ)句等。

　�。ㄈ�）用結(jié)構(gòu)的思想處理傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念（如集合、運(yùn)算、關(guān)系和映射等）把小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容組成統(tǒng)一的整體。如美國(guó)的一套小學(xué)數(shù)學(xué)課本在序言中明確指出：“強(qiáng)調(diào)概念、結(jié)構(gòu)、精確語(yǔ)言和演繹方法”。美、法等國(guó)的課本都用集合的觀點(diǎn)來(lái)講傳統(tǒng)的算術(shù)、幾何概念。如英國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)第二冊(cè)講：“沒(méi)有對(duì)應(yīng)起來(lái)的數(shù)目是差”。法國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本中講：“兩條帶子的交是一個(gè)點(diǎn)的集合，叫做平行四邊形”。美、蘇、法、英、聯(lián)邦德國(guó)等國(guó)在開(kāi)始講加法、乘法時(shí)就通過(guò)直觀引入一些運(yùn)算性質(zhì)，以后學(xué)計(jì)算方法時(shí)都用運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)。例如，9+2=9+（1+ 1）=（9+1）+1=10+1=11；23×4=（20+3）×4=20×4+3×4=80+12=92。

　　（四）強(qiáng)調(diào)使學(xué)生掌握常用的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)。蘇聯(lián)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中指出：“應(yīng)該使兒童簡(jiǎn)單而又自然地掌握數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)”，并在一年級(jí)課本的開(kāi)頭就出現(xiàn)“加數(shù)”，“和”等術(shù)語(yǔ)以及“＞”“＜”等符號(hào)。日本小學(xué)算術(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)中還明確規(guī)定了各年級(jí)學(xué)生要掌握的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)。

　　在增加了教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)獨(dú)立獲取知識(shí)的能力之后，如果仍用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，把學(xué)生當(dāng)作容器，采取注入式，單純地傳授知識(shí)，多次的重復(fù)，顯然不能適應(yīng)新的要求。因此有些心理學(xué)家、教育家紛紛提出要改革教學(xué)方法。如皮亞杰提出，“要制定現(xiàn)代的教學(xué)方法來(lái)教現(xiàn)代數(shù)學(xué)”，布魯納認(rèn)為，“選擇一定的教法，有可能把自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的基本概念教給比傳統(tǒng)年齡輕得多的兒童”。布魯納倡導(dǎo)采用發(fā)現(xiàn)法，強(qiáng)調(diào)“教數(shù)學(xué)……要讓學(xué)生自行思考數(shù)學(xué)，參與到掌握知識(shí)的過(guò)程中去�！彼�還同數(shù)學(xué)家狄因斯一起親自試驗(yàn)。贊可夫也指出，既然教學(xué)大綱補(bǔ)充了新的內(nèi)容，當(dāng)然以前沒(méi)有采用過(guò)的教學(xué)方式的出現(xiàn)是不可避免的。他強(qiáng)調(diào)要“讓學(xué)生自己去尋求問(wèn)題的正確解答”。他領(lǐng)導(dǎo)的試驗(yàn)既改革了教材也改革了教法。例如，注意激發(fā)學(xué)生獨(dú)立地探索；讓學(xué)生進(jìn)行有目的的觀察，發(fā)現(xiàn)所學(xué)教材的各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系；提出一系列問(wèn)題，讓學(xué)生思考解答途徑；注意教學(xué)方式的多樣化；加強(qiáng)實(shí)際操作等。

　　早在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)初期，就有人提出反對(duì)意見(jiàn)。美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家克萊因在1962年就批評(píng)新數(shù)學(xué)只重視數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而忽視數(shù)學(xué)的方法；教學(xué)的對(duì)象只是少數(shù)學(xué)生，培養(yǎng)尖子；急于搞抽象化，強(qiáng)調(diào)演繹推理等。七十年代，各國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材改革經(jīng)過(guò)了一段時(shí)間的試驗(yàn)，逐漸暴露出一些問(wèn)題。主要是教師難教，學(xué)生難學(xué)，負(fù)擔(dān)重，成績(jī)下降。典型的例子如：小學(xué)生懂得6×7=7×6，卻不知道積是42。教師、家長(zhǎng)以及社會(huì)各界紛紛對(duì)新數(shù)學(xué)提出批評(píng)或反對(duì)的意見(jiàn)。1973年克萊因又寫(xiě)了一篇題為《莊尼為什么不會(huì)加？》的小冊(cè)子，指責(zé)新數(shù)學(xué)是失敗的。歸納各方面的主要意見(jiàn)是：第一，只考慮數(shù)學(xué)本身的發(fā)展和需要，片面強(qiáng)調(diào)純理論的抽象的概念，忽視社會(huì)的實(shí)際應(yīng)用；第二，強(qiáng)調(diào)理解，忽視基本技能的訓(xùn)練；第三，只適用一般水平以上的學(xué)生，培養(yǎng)少數(shù)有才能的尖子，忽視面向全體學(xué)生。隨后在美國(guó)以及其他一些國(guó)家掀起一場(chǎng)“回到基礎(chǔ)”運(yùn)動(dòng)，要求取消新數(shù)學(xué)，主張小學(xué)數(shù)學(xué)要著重基本計(jì)算技能的訓(xùn)練。但是也有反對(duì)的意見(jiàn)。1975年美國(guó)數(shù)學(xué)教育全國(guó)咨詢委員會(huì)在一篇題為《對(duì)數(shù)學(xué)教育總的看法和分析》的報(bào)告中指出，數(shù)學(xué)成績(jī)下降是否大部分歸咎于“新數(shù)學(xué)”值得懷疑，因?yàn)楦母镞\(yùn)動(dòng)的建議只有很少一部分在課堂上實(shí)行，而且也沒(méi)有充分重視教師培訓(xùn)。1977年美國(guó)《洛杉磯時(shí)報(bào)》發(fā)表一篇文章也談到“盡管新數(shù)學(xué)遭到批評(píng)，但是很少有人認(rèn)為它完全失敗。目前的課本又將重點(diǎn)放在基本技巧上，但仍舊含有新數(shù)學(xué)中介紹的許多概念。”1980年1月召開(kāi)的關(guān)于數(shù)學(xué)課程變化的國(guó)際會(huì)議所發(fā)表的綜合報(bào)告中也指出，要預(yù)測(cè)二十年來(lái)數(shù)學(xué)教育改革的永久效果還為時(shí)過(guò)早。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)的八十年代《行動(dòng)計(jì)劃》中，批評(píng)了“回到基礎(chǔ)”運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為想把數(shù)學(xué)能力放在低水平上，不能適應(yīng)新的變化的需要。在蘇聯(lián)爭(zhēng)論也很厲害，有些數(shù)學(xué)家提出用集合論解釋數(shù)學(xué)概念沒(méi)有必要。指出這樣把教材人為地復(fù)雜化，使學(xué)生對(duì)知識(shí)只是形式主義的理解，小學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)用方程解應(yīng)用題也是形式地接受。但是也有人認(rèn)為，四五年級(jí)引入集合，帶變量的命題和語(yǔ)句，僅僅是使數(shù)學(xué)教學(xué)的某些語(yǔ)言標(biāo)準(zhǔn)化、明確化。也有一些教師反對(duì)走回頭路。近幾年，爭(zhēng)論雖基本平息，但并沒(méi)有取得完全一致的看法。1982年美國(guó)有一篇文章說(shuō)：“過(guò)去兩三年雖然有達(dá)到均勢(shì)的趨向，但這并不意味著達(dá)到觀點(diǎn)一致�！�

　　為了克服新數(shù)學(xué)所出現(xiàn)的一些缺點(diǎn)，七十年代末至八十年代初，許多國(guó)家相繼在總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上修訂了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和課本。如法國(guó)于1977年修訂公布小學(xué)預(yù)備課程（即一年級(jí)）數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，以后陸續(xù)修訂公布其他年級(jí)的。日本于1977年公布了修訂的小學(xué)算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)。1978年起蘇聯(lián)教育部陸續(xù)修改了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，并于1981年公布了草案。同年蘇聯(lián)教育部公布了1981～1982年度中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)綱目，1982年又公布了1982—1983年度中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對(duì)大綱內(nèi)容作了進(jìn)一步修改。隨后又陸續(xù)修改了課本。美國(guó)沒(méi)有統(tǒng)一的教學(xué)大綱，但是美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)擬出的八十年代《行動(dòng)計(jì)劃》，反映了近幾年數(shù)學(xué)教學(xué)改革的趨向。另外，近幾年也出版了一些新課本，同七十年代的課本比較，也有一些修改。其他國(guó)家（包括一些第三世界國(guó)家）對(duì)課本也做了修改。

　　近年來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材改革的趨勢(shì)主要有以下幾點(diǎn)：

　　（一）強(qiáng)調(diào)使小學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。這一要求主要是針對(duì)過(guò)去小學(xué)數(shù)學(xué)教材改革過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化，重視抽象數(shù)學(xué)概念，忽視必要的傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，和削弱了計(jì)算能力的培養(yǎng)而提出來(lái)的。1978年聯(lián)合國(guó)教科文組織出版的《數(shù)學(xué)教育新趨勢(shì)》中就曾指出，“小學(xué)階段算術(shù)仍是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心科目”。法國(guó)修改的課本中明確指出，數(shù)的讀寫(xiě)和運(yùn)算是“大綱的核心的基本知識(shí)”，并加強(qiáng)了算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和四則計(jì)算的基本訓(xùn)練，不僅增加了練習(xí)題，計(jì)算的數(shù)目也適當(dāng)加大。日本學(xué)校課程審議會(huì)向文部省報(bào)告中提出修訂算數(shù)科的基本方針時(shí)強(qiáng)調(diào)“要重視切實(shí)學(xué)會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握基本技能。”在修訂的算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)中，簡(jiǎn)化教學(xué)目標(biāo)，突出使學(xué)生掌握有關(guān)數(shù)量和圖形的基礎(chǔ)知識(shí)和技能，還增加低年級(jí)的教學(xué)時(shí)間，加強(qiáng)20以內(nèi)加減法和乘法表的練習(xí)。蘇聯(lián)在修訂小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱時(shí)，也特別強(qiáng)調(diào)“算術(shù)是初等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)”，重視給兒童進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和技巧建立足夠的鞏固的基礎(chǔ)，并且規(guī)定了各年級(jí)的基本教學(xué)要求；四五年級(jí)強(qiáng)調(diào)，首先是對(duì)小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括和發(fā)展，使學(xué)生掌握自然數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)算技巧，其次是學(xué)習(xí)代數(shù)和幾何的極其初步的知識(shí)。自然數(shù)運(yùn)算、正負(fù)數(shù)運(yùn)算、有理數(shù)運(yùn)算等，都單列一章，不與數(shù)概念混在一起。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)也強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生基本技能，但是認(rèn)為應(yīng)反映新的變化著的需要，因此應(yīng)當(dāng)包括比計(jì)算技能更多的東西，如解問(wèn)題的能力，對(duì)結(jié)果的合理性的覺(jué)察力，估算和求近似數(shù)，度量的技能，閱讀、解釋和制作圖表的技能等。

　　（二）刪減一些不十分必要的和小學(xué)生難接受的內(nèi)容，切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。日本修改小學(xué)算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)時(shí)，刪去了等式的性質(zhì)、驗(yàn)證運(yùn)算定律的成立、旋轉(zhuǎn)體的概念、柱體的體積、計(jì)算概率、負(fù)數(shù)等。蘇聯(lián)修改小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱時(shí)，強(qiáng)調(diào)把減輕負(fù)擔(dān)作為改進(jìn)一至三年級(jí)教學(xué)工作的主要方針；不再?gòu)?qiáng)調(diào)三年學(xué)完過(guò)去小學(xué)四年的內(nèi)容，只學(xué)完乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的乘、除法，不出現(xiàn)用兩步運(yùn)算來(lái)解的方程，相應(yīng)地也刪去用方程解兩步以上的應(yīng)用題，也不再要求在不帶方格的紙上畫(huà)直角和長(zhǎng)方形。四、五年級(jí)刪去集合的符號(hào)和一些幾何作圖等。美國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)課本也刪減一些從中學(xué)下放到小學(xué)的內(nèi)容，如直角坐標(biāo)、橢圓、柱體和錐體等。

　�。ㄈ�）在安排上更注意適合兒童的年齡特點(diǎn)和接受能力。這是針對(duì)過(guò)去過(guò)多強(qiáng)調(diào)兒童的早期學(xué)習(xí)和提倡高速度、高難度，致使許多比較抽象的和難理解的內(nèi)容過(guò)早出現(xiàn)而造成困難這一缺點(diǎn)而提出的。例如，在日本，小學(xué)算

　　體積的概念、全等圖形等從四年級(jí)移到五年級(jí)，對(duì)稱、圖形的包含關(guān)系以及頻率分布等從五年級(jí)移到六年級(jí)。蘇聯(lián)在修改大綱時(shí)也作了不少調(diào)整，主要的有：兩位數(shù)進(jìn)位加法和退位減法、兩步應(yīng)用題、用字母表示數(shù)、解最簡(jiǎn)單的方程和列方程解應(yīng)用題，從一年級(jí)移到二年級(jí)；多邊形周長(zhǎng)的概念、幾分之一大小的比較等后移；乘數(shù)、除數(shù)是三位數(shù)的乘、除法，從三年級(jí)移到四年級(jí)；原來(lái)二、三、四年級(jí)含有兩步和兩步以上運(yùn)算的方程以及相應(yīng)的列方程解應(yīng)用

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　�。ㄋ模├^續(xù)保留數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)中某些帶方向性的有益的處理方法，更注意適應(yīng)小學(xué)生的特點(diǎn)。七十年代以來(lái)，盡管反對(duì)新數(shù)學(xué)的呼聲很高，但是多數(shù)國(guó)家修訂教材時(shí)繼續(xù)保留某些帶方向性的有益的做法，只是根據(jù)小學(xué)生的特點(diǎn)，采取更直觀易懂的形式，更多地結(jié)合傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容以滲透的方式來(lái)處理。例如，日本文部省在關(guān)于修訂小學(xué)算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)的說(shuō)明時(shí)指出，基本維持現(xiàn)代化思考方法；強(qiáng)調(diào)用集合的思考方法來(lái)教數(shù)量和圖形等內(nèi)容，可以更明確理解所學(xué)內(nèi)容的意義；并認(rèn)為逐漸培養(yǎng)用集合觀念的思考方法很有必要。但是也指出，集合本身不是教學(xué)內(nèi)容。日本新編的小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)課本，仍結(jié)合認(rèn)數(shù)和計(jì)算出現(xiàn)韋恩圖。數(shù)量關(guān)系的教學(xué)改從三年級(jí)起，仍包含函數(shù)、式子表示、統(tǒng)計(jì)資料等內(nèi)容，只是不再劃分為三個(gè)部分。法國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)保持現(xiàn)代化的方向更為明顯。小學(xué)一年級(jí)仍出現(xiàn)韋恩圖，但不再出集合的名稱和符號(hào)。講算術(shù)知識(shí)繼續(xù)滲透集合、函數(shù)思想，但不再用集合觀點(diǎn)給一些概念下定義。1983年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)教育規(guī)劃討論會(huì)的報(bào)告也認(rèn)為，集合的思想應(yīng)該在各級(jí)教材中用作教學(xué)數(shù)學(xué)概念的語(yǔ)言，而不要作為獨(dú)立的課題來(lái)教。美國(guó)近年來(lái)出版的一些課本，一方面繼續(xù)用集合的思想說(shuō)明一些算術(shù)內(nèi)容，另一方面對(duì)某些現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容降低了要求或者做較靈活的處理。例如，概率只講根據(jù)具體試驗(yàn)結(jié)果求出現(xiàn)的概率，簡(jiǎn)單樹(shù)圖、平移、旋轉(zhuǎn)、反射等都單獨(dú)用小標(biāo)題標(biāo)出來(lái)，放在每章的測(cè)驗(yàn)題之后，用以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，給學(xué)生積累一些有關(guān)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的感性材料。

　�。ㄎ澹┯行﹪�(guó)家針對(duì)過(guò)去過(guò)分強(qiáng)調(diào)語(yǔ)言精確、嚴(yán)密而出現(xiàn)過(guò)多的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)所帶來(lái)的問(wèn)題，做了改進(jìn)。如日本修訂的算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)中，對(duì)每個(gè)學(xué)年要掌握的數(shù)學(xué)用語(yǔ)和符號(hào)做了一些精簡(jiǎn)。

　　（六）在一些發(fā)達(dá)的國(guó)家中，隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用日益廣泛，開(kāi)始增加計(jì)算機(jī)教學(xué)。如美國(guó)小學(xué)，計(jì)算機(jī)的普及率已超過(guò)一半，有些學(xué)校利用計(jì)算機(jī)使學(xué)生既學(xué)到數(shù)學(xué)概念，又學(xué)到簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言和編程序的方法；有些學(xué)校則用計(jì)算機(jī)使學(xué)生提高所學(xué)技能，只對(duì)好的學(xué)生教學(xué)編程序。法國(guó)最近規(guī)定，在小學(xué)用80課時(shí)教學(xué)計(jì)算機(jī)。但就大多數(shù)國(guó)家來(lái)說(shuō)，在小學(xué)進(jìn)行計(jì)算機(jī)教學(xué)仍處于試驗(yàn)階段。

　　近些年來(lái)除了在教材方面進(jìn)行調(diào)整外，更加重視教學(xué)方法的改革和推廣工作。1975年美國(guó)數(shù)學(xué)教育全國(guó)咨詢委員會(huì)在一篇報(bào)告中指出，數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化未能成功，不完全是教材問(wèn)題，跟教法沒(méi)有作相應(yīng)的改革有很大關(guān)系。因此有些人從教材改革的研究轉(zhuǎn)向教法改革的研究。

　　在教法改革方面有以下幾個(gè)趨勢(shì)值得注意：

　　1.強(qiáng)調(diào)提高教學(xué)效率。就是提高單位時(shí)間內(nèi)所完成的教學(xué)工作量。贊可夫曾不止一次地批評(píng)傳統(tǒng)的教學(xué)法是多次單調(diào)的重復(fù)，浪費(fèi)很多時(shí)間。他提出教學(xué)方法要注意科學(xué)、有效。他認(rèn)為要求學(xué)生一下子記住的方法是不科學(xué)的，勢(shì)必要搞成死記硬背。他強(qiáng)調(diào)要重視理解，加強(qiáng)各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，練習(xí)和復(fù)習(xí)要得法�，F(xiàn)在，蘇聯(lián)強(qiáng)調(diào)要善于依據(jù)教學(xué)論、兒童心理學(xué)、教育心理學(xué)和邏輯學(xué)的基本原理選擇一定條件的最優(yōu)教學(xué)方案。認(rèn)為提高教學(xué)效果的主要潛力，基本上應(yīng)當(dāng)在改進(jìn)每一節(jié)課的質(zhì)量方面來(lái)找。還采取一些具體措施，保證既提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，又不增加課業(yè)負(fù)擔(dān)。如在課本中安排好每節(jié)課的內(nèi)容，嚴(yán)格控制課外作業(yè)量，充分利用已學(xué)的知識(shí)作為學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)，每一節(jié)課既教學(xué)新知識(shí)又適當(dāng)復(fù)習(xí)舊知識(shí)等。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)擬訂的八十年代《行動(dòng)計(jì)劃》中第四條，明確提出“必須把既講效果又講效率的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)�！睆�(qiáng)調(diào)“教師必須盡最大可能用效果最好、效率最高的方法�！�

　　2.強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和探索，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力。皮亞杰提出“一切真理都要由學(xué)生自己獲得，或者由他重新發(fā)明，至少由他重建，而不是簡(jiǎn)單地傳遞給他。”布魯納也說(shuō)“用自己的頭腦親自獲得知識(shí)”。贊可夫也強(qiáng)調(diào)要“激發(fā)學(xué)生獨(dú)立的探索性的思想”。布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”就是為適應(yīng)這一目的要求的。但是在國(guó)外發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)獨(dú)立獲取知識(shí)的能力，不只限于用發(fā)現(xiàn)法，而采用多種教學(xué)方法。特別是純發(fā)現(xiàn)法有一些缺點(diǎn)，也不是對(duì)任何年級(jí)、任何內(nèi)容都適用。目前有人提倡有引導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法，就是在發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中，可以有某幾個(gè)環(huán)節(jié)，教師給以幫助、引導(dǎo)。目前常用的有講解法、問(wèn)答法、探究法、發(fā)現(xiàn)法、實(shí)驗(yàn)法等。除講解法外，采用其他方法時(shí)學(xué)生在課堂上都有一定的活動(dòng)，只是所占的比例不同（如下圖所示），但對(duì)于發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力，都有一定的益處。一些教學(xué)法工作者還主張多種方法結(jié)合。在蘇聯(lián)，也十分注意啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立工作能力。他們把傳統(tǒng)的教學(xué)方法從性質(zhì)上和方向上加以改變，以適應(yīng)現(xiàn)代的要求。例如，采用講解法時(shí)重視調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考。采用談話法時(shí)，一方面強(qiáng)調(diào)要提出富有啟發(fā)性的問(wèn)題，另一方面要促使學(xué)生根據(jù)已學(xué)的知識(shí)和自己的觀察、經(jīng)驗(yàn)得出新的概念、法則和結(jié)論，而不只是再現(xiàn)一些知識(shí)。目前在蘇聯(lián)把獨(dú)立作業(yè)提到極其重要的地位，不僅用于再現(xiàn)一些定義、法則，鞏固和完善已獲得的知識(shí)、技能和技巧，而且用于學(xué)習(xí)新教材，使學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)獨(dú)立地解新的較復(fù)雜的應(yīng)用題或解決新的理論問(wèn)題。例如四年級(jí)教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師先提出三道應(yīng)用題，讓學(xué)生分別用兩種方法解答，然后按照計(jì)劃進(jìn)行比較，找出相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再用字母表示式子，得到（a＋b）c=ac＋bc，最后表述定律。獨(dú)立作業(yè)在整個(gè)課堂教學(xué)的比例也增大了。高年級(jí)還讓學(xué)生獨(dú)立閱讀課本（如五年級(jí)分?jǐn)?shù)乘法）。在蘇聯(lián)特別強(qiáng)調(diào)根據(jù)目的任務(wù)、教材特點(diǎn)以及學(xué)生情況等選擇最合適的方法。

　　3.強(qiáng)調(diào)通過(guò)多種活動(dòng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)。1976年第三屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議上就曾提出，教學(xué)時(shí)要通過(guò)多種活動(dòng)，如畫(huà)圖、操作、制作、調(diào)查、收集周圍環(huán)境的數(shù)字材料等來(lái)組織教學(xué)。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)的八十年代《行動(dòng)計(jì)劃》強(qiáng)調(diào)，要鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)、實(shí)驗(yàn)、估計(jì)、探索、提出解釋；解應(yīng)用題時(shí)，要采取多種形式，通過(guò)各種活動(dòng)，如圖表模型、觀察現(xiàn)象、圖解、模擬真實(shí)情況等來(lái)提供應(yīng)用問(wèn)題的情景。蘇聯(lián)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法中也強(qiáng)調(diào)采用多種多樣的教學(xué)活動(dòng)和組織形式，認(rèn)為這樣可為培養(yǎng)兒童的認(rèn)識(shí)能力創(chuàng)造條件。他們還提高了實(shí)際作業(yè)的比重，特別是講幾何初步知識(shí)時(shí)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生制做、畫(huà)圖、剪紙、疊紙、觀察和認(rèn)識(shí)周圍環(huán)境的幾何圖形；解應(yīng)用題時(shí)要注意結(jié)合兒童的活動(dòng)，如公益勞動(dòng)、旅行等收集編應(yīng)用題的材料。

　　4.面向全體學(xué)生，并適應(yīng)個(gè)別差異。數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)初期，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)尖端人才，提出個(gè)別化的教學(xué)方法，實(shí)際上只注意到優(yōu)等生，忽視對(duì)差等生的教學(xué)。結(jié)果發(fā)展了天才教育，大多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)下降�，F(xiàn)在已開(kāi)始注意面向全體學(xué)生，同時(shí)適應(yīng)個(gè)別差異。近年來(lái)，國(guó)外進(jìn)行了許多試驗(yàn)，提出了分組教學(xué)。如美國(guó)恩德希爾設(shè)計(jì)出一個(gè)教學(xué)范型（如下圖）

　　在教某一數(shù)學(xué)概念之前，先了解和估計(jì)一下有哪幾個(gè)學(xué)生已經(jīng)理解和掌握這個(gè)概念，教學(xué)時(shí)就讓他們直接進(jìn)入充實(shí)提高的活動(dòng)，而大多數(shù)學(xué)生則由教師教學(xué)。經(jīng)過(guò)大組、小組、個(gè)別教學(xué)以后，進(jìn)行檢查診斷，已掌握好的學(xué)生也進(jìn)入充實(shí)提高組，還需要再練習(xí)的進(jìn)入練習(xí)組，還沒(méi)掌握好的進(jìn)入重授組。到適當(dāng)時(shí)候，所有的學(xué)生又作為一個(gè)班級(jí)一起進(jìn)入下一個(gè)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。日本的數(shù)學(xué)教學(xué)法中也提倡個(gè)別化的指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)在課堂上盡量減少一齊學(xué)習(xí)的時(shí)間，教師多看每人的作業(yè)本，觀察學(xué)生操作教具，及時(shí)發(fā)現(xiàn)練習(xí)中的錯(cuò)誤，及時(shí)“治療”。蘇聯(lián)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法中也強(qiáng)調(diào)把個(gè)別教學(xué)和集體教學(xué)巧妙地結(jié)合起來(lái)。認(rèn)為對(duì)學(xué)生進(jìn)行有區(qū)別的指導(dǎo)，是課堂教學(xué)的一個(gè)重要方面，并且提出，教師指導(dǎo)下的集體作業(yè)，應(yīng)該跟各種形式的小組作業(yè)和個(gè)別作業(yè)交替進(jìn)行。教師一般要準(zhǔn)備幾種差別作業(yè)，有的作業(yè)還要考慮到每個(gè)學(xué)生的程度特點(diǎn)，對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的，還要準(zhǔn)備專門(mén)的輔導(dǎo)教材。

　　5.重視廣泛使用直觀教具和現(xiàn)代教學(xué)手段。在國(guó)外，提倡使用多種多樣的數(shù)學(xué)教具，不僅由教師演示，而且重視讓學(xué)生操作；不僅用于知識(shí)的講解，而且用于思考推理的練習(xí)；不僅用于課內(nèi)，而且用于課外。例如，美、英、蘇等國(guó)都提倡廣泛使用彩色木條（奎遜耐木條）來(lái)教學(xué)認(rèn)數(shù)和四則運(yùn)算，說(shuō)明簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)等。為了認(rèn)識(shí)幾何形體，用硬紙板剪成形體的各個(gè)面，隨時(shí)可以拼裝。木制的各種幾何形體，配合識(shí)圖，還有助于發(fā)展空間觀念；把它們放在表示集合的圓圈里，又是很好的邏輯推理練習(xí)。現(xiàn)在國(guó)外小學(xué)還開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室或?qū)嶒?yàn)角，準(zhǔn)備各種各樣的教具、操作用具，許多用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的課就在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行。

　　近年來(lái)，在一些發(fā)達(dá)的國(guó)家和地區(qū)，還廣泛使用現(xiàn)代教學(xué)手段，如幻燈片、影片等。在日本，配合各冊(cè)課本制作的幻燈片總計(jì)達(dá)三百多張。近年來(lái)，有些國(guó)家還允許或提倡使用電子計(jì)算器。關(guān)于計(jì)算器的使用，各國(guó)還有不少爭(zhēng)論，特別是許多教師不贊成小學(xué)生使用計(jì)算器，擔(dān)心會(huì)忘掉計(jì)算技能。但是不少實(shí)驗(yàn)報(bào)告都認(rèn)為，計(jì)算器有助于掌握基本技能和數(shù)學(xué)概念以及解答應(yīng)用題，不會(huì)損害學(xué)生的成績(jī)。同時(shí)也認(rèn)為要考慮到小學(xué)生的特點(diǎn)，一般宜于在高年級(jí)使用，在使用之前應(yīng)先掌握基本計(jì)算技能。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)八十年代《行動(dòng)計(jì)劃》中提出，超過(guò)兩位數(shù)的計(jì)算就可以用計(jì)算器。日本算數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)中規(guī)定，高年級(jí)可以適當(dāng)使用計(jì)算器，但是不能影響培養(yǎng)學(xué)生的估算能力。至于使用計(jì)算器以后會(huì)帶來(lái)什么樣的影響，有些人認(rèn)為還需要進(jìn)一步研究。關(guān)于計(jì)算機(jī)，美、英等國(guó)已有不少小學(xué)在數(shù)學(xué)課上用作輔助教學(xué)手段，不僅用于學(xué)習(xí)計(jì)算，解應(yīng)用題，而且用于輔導(dǎo)兒童，解答疑難問(wèn)題；此外還用于記錄和分析學(xué)生成績(jī)并根據(jù)學(xué)生的進(jìn)步情況制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，而且逐漸成為在家庭中對(duì)孩子進(jìn)行教育的用具。