較多的國家結(jié)合日常生活或游戲介紹概率、統(tǒng)計的初步知識。如美、日、英、法等國都講了通過試驗求概率。如盒里放0，1，2，……，9的數(shù)字卡片，搖勻后每次抽一張，求抽出質(zhì)數(shù)的概率。美、英等國還講了用分數(shù)乘法計算概率。日、美等國從低年級起就出現(xiàn)簡單的統(tǒng)計圖表，到高年級還分別介紹了收集資料、數(shù)據(jù)處理、作頻率分布表和求平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)等。

　　還有一些國家結(jié)合認數(shù)和計算介紹與電子計算機有關(guān)的基礎(chǔ)知識，如二、三、四、五進位制及其簡單加減法，簡單的流程圖，簡單的邏輯語句等。

　　（三）用結(jié)構(gòu)的思想處理傳統(tǒng)的數(shù)學內(nèi)容，強調(diào)用現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)概念（如集合、運算、關(guān)系和映射等）把小學數(shù)學的內(nèi)容組成統(tǒng)一的整體。如美國的一套小學數(shù)學課本在序言中明確指出：“強調(diào)概念、結(jié)構(gòu)、精確語言和演繹方法”。美、法等國的課本都用集合的觀點來講傳統(tǒng)的算術(shù)、幾何概念。如英國小學數(shù)學第二冊講：“沒有對應起來的數(shù)目是差”。法國小學數(shù)學課本中講：“兩條帶子的交是一個點的集合，叫做平行四邊形”。美、蘇、法、英、聯(lián)邦德國等國在開始講加法、乘法時就通過直觀引入一些運算性質(zhì)，以后學計算方法時都用運算性質(zhì)推導。例如，9+2=9+（1+ 1）=（9+1）+1=10+1=11；23×4=（20+3）×4=20×4+3×4=80+12=92。

　�。ㄋ模�強調(diào)使學生掌握常用的數(shù)學術(shù)語和符號。蘇聯(lián)小學數(shù)學教學大綱中指出：“應該使兒童簡單而又自然地掌握數(shù)學術(shù)語”，并在一年級課本的開頭就出現(xiàn)“加數(shù)”，“和”等術(shù)語以及“＞”“＜”等符號。日本小學算術(shù)學習指導要領(lǐng)中還明確規(guī)定了各年級學生要掌握的術(shù)語和符號。

　　在增加了教學內(nèi)容，強調(diào)發(fā)展學生思維，培養(yǎng)獨立獲取知識的能力之后，如果仍用傳統(tǒng)的教學方法，把學生當作容器，采取注入式，單純地傳授知識，多次的重復，顯然不能適應新的要求。因此有些心理學家、教育家紛紛提出要改革教學方法。如皮亞杰提出，“要制定現(xiàn)代的教學方法來教現(xiàn)代數(shù)學”，布魯納認為，“選擇一定的教法，有可能把自然科學和數(shù)學的基本概念教給比傳統(tǒng)年齡輕得多的兒童”。布魯納倡導采用發(fā)現(xiàn)法，強調(diào)“教數(shù)學……要讓學生自行思考數(shù)學，參與到掌握知識的過程中去�！彼�還同數(shù)學家狄因斯一起親自試驗。贊可夫也指出，既然教學大綱補充了新的內(nèi)容，當然以前沒有采用過的教學方式的出現(xiàn)是不可避免的。他強調(diào)要“讓學生自己去尋求問題的正確解答”。他領(lǐng)導的試驗既改革了教材也改革了教法。例如，注意激發(fā)學生獨立地探索；讓學生進行有目的的觀察，發(fā)現(xiàn)所學教材的各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系；提出一系列問題，讓學生思考解答途徑；注意教學方式的多樣化；加強實際操作等。

　　早在數(shù)學教育現(xiàn)代化運動初期，就有人提出反對意見。美國應用數(shù)學家克萊因在1962年就批評新數(shù)學只重視數(shù)學的內(nèi)容，而忽視數(shù)學的方法；教學的對象只是少數(shù)學生，培養(yǎng)尖子；急于搞抽象化，強調(diào)演繹推理等。七十年代，各國小學數(shù)學教材改革經(jīng)過了一段時間的試驗，逐漸暴露出一些問題。主要是教師難教，學生難學，負擔重，成績下降。典型的例子如：小學生懂得6×7=7×6，卻不知道積是42。教師、家長以及社會各界紛紛對新數(shù)學提出批評或反對的意見。1973年克萊因又寫了一篇題為《莊尼為什么不會加？》的小冊子，指責新數(shù)學是失敗的。歸納各方面的主要意見是：第一，只考慮數(shù)學本身的發(fā)展和需要，片面強調(diào)純理論的抽象的概念，忽視社會的實際應用；第二，強調(diào)理解，忽視基本技能的訓練；第三，只適用一般水平以上的學生，培養(yǎng)少數(shù)有才能的尖子，忽視面向全體學生。隨后在美國以及其他一些國家掀起一場“回到基礎(chǔ)”運動，要求取消新數(shù)學，主張小學數(shù)學要著重基本計算技能的訓練。但是也有反對的意見。1975年美國數(shù)學教育全國咨詢委員會在一篇題為《對數(shù)學教育總的看法和分析》的報告中指出，數(shù)學成績下降是否大部分歸咎于“新數(shù)學”值得懷疑，因為改革運動的建議只有很少一部分在課堂上實行，而且也沒有充分重視教師培訓。1977年美國《洛杉磯時報》發(fā)表一篇文章也談到“盡管新數(shù)學遭到批評，但是很少有人認為它完全失敗。目前的課本又將重點放在基本技巧上，但仍舊含有新數(shù)學中介紹的許多概念�！�1980年1月召開的關(guān)于數(shù)學課程變化的國際會議所發(fā)表的綜合報告中也指出，要預測二十年來數(shù)學教育改革的永久效果還為時過早。美國全國數(shù)學教師協(xié)會的八十年代《行動計劃》中，批評了“回到基礎(chǔ)”運動，認為想把數(shù)學能力放在低水平上，不能適應新的變化的需要。在蘇聯(lián)爭論也很厲害，有些數(shù)學家提出用集合論解釋數(shù)學概念沒有必要。指出這樣把教材人為地復雜化，使學生對知識只是形式主義的理解，小學一年級學習用方程解應用題也是形式地接受。但是也有人認為，四五年級引入集合，帶變量的命題和語句，僅僅是使數(shù)學教學的某些語言標準化、明確化。也有一些教師反對走回頭路。近幾年，爭論雖基本平息，但并沒有取得完全一致的看法。1982年美國有一篇文章說：“過去兩三年雖然有達到均勢的趨向，但這并不意味著達到觀點一致�！�

　　為了克服新數(shù)學所出現(xiàn)的一些缺點，七十年代末至八十年代初，許多國家相繼在總結(jié)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上修訂了小學數(shù)學教學大綱和課本。如法國于1977年修訂公布小學預備課程（即一年級）數(shù)學教學大綱，以后陸續(xù)修訂公布其他年級的。日本于1977年公布了修訂的小學算數(shù)學習指導要領(lǐng)。1978年起蘇聯(lián)教育部陸續(xù)修改了小學數(shù)學教學大綱，并于1981年公布了草案。同年蘇聯(lián)教育部公布了1981～1982年度中小學數(shù)學教學綱目，1982年又公布了1982—1983年度中小學數(shù)學教學大綱，對大綱內(nèi)容作了進一步修改。隨后又陸續(xù)修改了課本。美國沒有統(tǒng)一的教學大綱，但是美國全國數(shù)學教師協(xié)會擬出的八十年代《行動計劃》，反映了近幾年數(shù)學教學改革的趨向。另外，近幾年也出版了一些新課本，同七十年代的課本比較，也有一些修改。其他國家（包括一些第三世界國家）對課本也做了修改。

　　近年來，小學數(shù)學教材改革的趨勢主要有以下幾點：

　�。ㄒ唬�強調(diào)使小學生掌握必要的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能，為進一步學習打好基礎(chǔ)。這一要求主要是針對過去小學數(shù)學教材改革過分強調(diào)數(shù)學教育現(xiàn)代化，重視抽象數(shù)學概念，忽視必要的傳統(tǒng)的數(shù)學基礎(chǔ)知識，和削弱了計算能力的培養(yǎng)而提出來的。1978年聯(lián)合國教科文組織出版的《數(shù)學教育新趨勢》中就曾指出，“小學階段算術(shù)仍是數(shù)學教學的中心科目”。法國修改的課本中明確指出，數(shù)的讀寫和運算是“大綱的核心的基本知識”，并加強了算術(shù)基礎(chǔ)知識和四則計算的基本訓練，不僅增加了練習題，計算的數(shù)目也適當加大。日本學校課程審議會向文部省報告中提出修訂算數(shù)科的基本方針時強調(diào)“要重視切實學會基礎(chǔ)知識，熟練掌握基本技能。”在修訂的算數(shù)學習指導要領(lǐng)中，簡化教學目標，突出使學生掌握有關(guān)數(shù)量和圖形的基礎(chǔ)知識和技能，還增加低年級的教學時間，加強20以內(nèi)加減法和乘法表的練習。蘇聯(lián)在修訂小學數(shù)學教學大綱時，也特別強調(diào)“算術(shù)是初等數(shù)學課程的基礎(chǔ)”，重視給兒童進一步掌握數(shù)學知識、技能和技巧建立足夠的鞏固的基礎(chǔ)，并且規(guī)定了各年級的基本教學要求；四五年級強調(diào)，首先是對小學學過的數(shù)學知識進行概括和發(fā)展，使學生掌握自然數(shù)和整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的計算技巧，其次是學習代數(shù)和幾何的極其初步的知識。自然數(shù)運算、正負數(shù)運算、有理數(shù)運算等，都單列一章，不與數(shù)概念混在一起。美國全國數(shù)學教師協(xié)會也強調(diào)培養(yǎng)學生基本技能，但是認為應反映新的變化著的需要，因此應當包括比計算技能更多的東西，如解問題的能力，對結(jié)果的合理性的覺察力，估算和求近似數(shù)，度量的技能，閱讀、解釋和制作圖表的技能等。

　�。ǘ�）刪減一些不十分必要的和小學生難接受的內(nèi)容，切實減輕學生負擔。日本修改小學算數(shù)學習指導要領(lǐng)時，刪去了等式的性質(zhì)、驗證運算定律的成立、旋轉(zhuǎn)體的概念、柱體的體積、計算概率、負數(shù)等。蘇聯(lián)修改小學數(shù)學教學大綱時，強調(diào)把減輕負擔作為改進一至三年級教學工作的主要方針；不再強調(diào)三年學完過去小學四年的內(nèi)容，只學完乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的乘、除法，不出現(xiàn)用兩步運算來解的方程，相應地也刪去用方程解兩步以上的應用題，也不再要求在不帶方格的紙上畫直角和長方形。四、五年級刪去集合的符號和一些幾何作圖等。美國的小學數(shù)學課本也刪減一些從中學下放到小學的內(nèi)容，如直角坐標、橢圓、柱體和錐體等。

　�。ㄈ�）在安排上更注意適合兒童的年齡特點和接受能力。這是針對過去過多強調(diào)兒童的早期學習和提倡高速度、高難度，致使許多比較抽象的和難理解的內(nèi)容過早出現(xiàn)而造成困難這一缺點而提出的。例如，在日本，小學算

　　體積的概念、全等圖形等從四年級移到五年級，對稱、圖形的包含關(guān)系以及頻率分布等從五年級移到六年級。蘇聯(lián)在修改大綱時也作了不少調(diào)整，主要的有：兩位數(shù)進位加法和退位減法、兩步應用題、用字母表示數(shù)、解最簡單的方程和列方程解應用題，從一年級移到二年級；多邊形周長的概念、幾分之一大小的比較等后移；乘數(shù)、除數(shù)是三位數(shù)的乘、除法，從三年級移到四年級；原來二、三、四年級含有兩步和兩步以上運算的方程以及相應的列方程解應用

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　�。ㄋ模├^續(xù)保留數(shù)學教育現(xiàn)代化運動中某些帶方向性的有益的處理方法，更注意適應小學生的特點。七十年代以來，盡管反對新數(shù)學的呼聲很高，但是多數(shù)國家修訂教材時繼續(xù)保留某些帶方向性的有益的做法，只是根據(jù)小學生的特點，采取更直觀易懂的形式，更多地結(jié)合傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容以滲透的方式來處理。例如，日本文部省在關(guān)于修訂小學算數(shù)學習指導要領(lǐng)的說明時指出，基本維持現(xiàn)代化思考方法；強調(diào)用集合的思考方法來教數(shù)量和圖形等內(nèi)容，可以更明確理解所學內(nèi)容的意義；并認為逐漸培養(yǎng)用集合觀念的思考方法很有必要。但是也指出，集合本身不是教學內(nèi)容。日本新編的小學一年級數(shù)學課本，仍結(jié)合認數(shù)和計算出現(xiàn)韋恩圖。數(shù)量關(guān)系的教學改從三年級起，仍包含函數(shù)、式子表示、統(tǒng)計資料等內(nèi)容，只是不再劃分為三個部分。法國小學數(shù)學保持現(xiàn)代化的方向更為明顯。小學一年級仍出現(xiàn)韋恩圖，但不再出集合的名稱和符號。講算術(shù)知識繼續(xù)滲透集合、函數(shù)思想，但不再用集合觀點給一些概念下定義。1983年亞太地區(qū)數(shù)學教育規(guī)劃討論會的報告也認為，集合的思想應該在各級教材中用作教學數(shù)學概念的語言，而不要作為獨立的課題來教。美國近年來出版的一些課本，一方面繼續(xù)用集合的思想說明一些算術(shù)內(nèi)容，另一方面對某些現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容降低了要求或者做較靈活的處理。例如，概率只講根據(jù)具體試驗結(jié)果求出現(xiàn)的概率，簡單樹圖、平移、旋轉(zhuǎn)、反射等都單獨用小標題標出來，放在每章的測驗題之后，用以擴大學生的知識面，給學生積累一些有關(guān)現(xiàn)代數(shù)學的感性材料。

　　（五）有些國家針對過去過分強調(diào)語言精確、嚴密而出現(xiàn)過多的數(shù)學術(shù)語和符號所帶來的問題，做了改進。如日本修訂的算數(shù)學習指導要領(lǐng)中，對每個學年要掌握的數(shù)學用語和符號做了一些精簡。

　�。�六）在一些發(fā)達的國家中，隨著計算機的應用日益廣泛，開始增加計算機教學。如美國小學，計算機的普及率已超過一半，有些學校利用計算機使學生既學到數(shù)學概念，又學到簡單的計算機語言和編程序的方法；有些學校則用計算機使學生提高所學技能，只對好的學生教學編程序。法國最近規(guī)定，在小學用80課時教學計算機。但就大多數(shù)國家來說，在小學進行計算機教學仍處于試驗階段。

　　近些年來除了在教材方面進行調(diào)整外，更加重視教學方法的改革和推廣工作。1975年美國數(shù)學教育全國咨詢委員會在一篇報告中指出，數(shù)學教育現(xiàn)代化未能成功，不完全是教材問題，跟教法沒有作相應的改革有很大關(guān)系。因此有些人從教材改革的研究轉(zhuǎn)向教法改革的研究。

　　在教法改革方面有以下幾個趨勢值得注意：

　　1.強調(diào)提高教學效率。就是提高單位時間內(nèi)所完成的教學工作量。贊可夫曾不止一次地批評傳統(tǒng)的教學法是多次單調(diào)的重復，浪費很多時間。他提出教學方法要注意科學、有效。他認為要求學生一下子記住的方法是不科學的，勢必要搞成死記硬背。他強調(diào)要重視理解，加強各部分知識之間的聯(lián)系，練習和復習要得法�，F(xiàn)在，蘇聯(lián)強調(diào)要善于依據(jù)教學論、兒童心理學、教育心理學和邏輯學的基本原理選擇一定條件的最優(yōu)教學方案。認為提高教學效果的主要潛力，基本上應當在改進每一節(jié)課的質(zhì)量方面來找。還采取一些具體措施，保證既提高學生的數(shù)學成績，又不增加課業(yè)負擔。如在課本中安排好每節(jié)課的內(nèi)容，嚴格控制課外作業(yè)量，充分利用已學的知識作為學習新知識的基礎(chǔ)，每一節(jié)課既教學新知識又適當復習舊知識等。美國全國數(shù)學教師協(xié)會擬訂的八十年代《行動計劃》中第四條，明確提出“必須把既講效果又講效率的嚴格標準應用于數(shù)學教學�！睆娬{(diào)“教師必須盡最大可能用效果最好、效率最高的方法。”

　　2.強調(diào)發(fā)揮學生的學習積極性，鼓勵學生獨立發(fā)現(xiàn)和探索，培養(yǎng)學生獨立獲取知識的能力。皮亞杰提出“一切真理都要由學生自己獲得，或者由他重新發(fā)明，至少由他重建，而不是簡單地傳遞給他�！辈剪敿{也說“用自己的頭腦親自獲得知識”。贊可夫也強調(diào)要“激發(fā)學生獨立的探索性的思想”。布魯納倡導的“發(fā)現(xiàn)法”就是為適應這一目的要求的。但是在國外發(fā)展學生智力，培養(yǎng)獨立獲取知識的能力，不只限于用發(fā)現(xiàn)法，而采用多種教學方法。特別是純發(fā)現(xiàn)法有一些缺點，也不是對任何年級、任何內(nèi)容都適用。目前有人提倡有引導的發(fā)現(xiàn)法，就是在發(fā)現(xiàn)的過程中，可以有某幾個環(huán)節(jié)，教師給以幫助、引導。目前常用的有講解法、問答法、探究法、發(fā)現(xiàn)法、實驗法等。除講解法外，采用其他方法時學生在課堂上都有一定的活動，只是所占的比例不同（如下圖所示），但對于發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生獨立獲取知識的能力，都有一定的益處。一些教學法工作者還主張多種方法結(jié)合。在蘇聯(lián)，也十分注意啟發(fā)學生獨立思考，培養(yǎng)學生獨立工作能力。他們把傳統(tǒng)的教學方法從性質(zhì)上和方向上加以改變，以適應現(xiàn)代的要求。例如，采用講解法時重視調(diào)動學生的積極性，激發(fā)學生獨立思考。采用談話法時，一方面強調(diào)要提出富有啟發(fā)性的問題，另一方面要促使學生根據(jù)已學的知識和自己的觀察、經(jīng)驗得出新的概念、法則和結(jié)論，而不只是再現(xiàn)一些知識。目前在蘇聯(lián)把獨立作業(yè)提到極其重要的地位，不僅用于再現(xiàn)一些定義、法則，鞏固和完善已獲得的知識、技能和技巧，而且用于學習新教材，使學生用已學的知識獨立地解新的較復雜的應用題或解決新的理論問題。例如四年級教學乘法分配律時，教師先提出三道應用題，讓學生分別用兩種方法解答，然后按照計劃進行比較，找出相同點和不同點，再用字母表示式子，得到（a＋b）c=ac＋bc，最后表述定律。獨立作業(yè)在整個課堂教學的比例也增大了。高年級還讓學生獨立閱讀課本（如五年級分數(shù)乘法）。在蘇聯(lián)特別強調(diào)根據(jù)目的任務(wù)、教材特點以及學生情況等選擇最合適的方法。

　　3.強調(diào)通過多種活動使學生掌握數(shù)學。1976年第三屆國際數(shù)學教育會議上就曾提出，教學時要通過多種活動，如畫圖、操作、制作、調(diào)查、收集周圍環(huán)境的數(shù)字材料等來組織教學。美國全國數(shù)學教師協(xié)會的八十年代《行動計劃》強調(diào)，要鼓勵學生提問、實驗、估計、探索、提出解釋；解應用題時，要采取多種形式，通過各種活動，如圖表模型、觀察現(xiàn)象、圖解、模擬真實情況等來提供應用問題的情景。蘇聯(lián)小學數(shù)學教學法中也強調(diào)采用多種多樣的教學活動和組織形式，認為這樣可為培養(yǎng)兒童的認識能力創(chuàng)造條件。他們還提高了實際作業(yè)的比重，特別是講幾何初步知識時，強調(diào)讓學生制做、畫圖、剪紙、疊紙、觀察和認識周圍環(huán)境的幾何圖形；解應用題時要注意結(jié)合兒童的活動，如公益勞動、旅行等收集編應用題的材料。

　　4.面向全體學生，并適應個別差異。數(shù)學教育現(xiàn)代化運動初期，強調(diào)培養(yǎng)尖端人才，提出個別化的教學方法，實際上只注意到優(yōu)等生，忽視對差等生的教學。結(jié)果發(fā)展了天才教育，大多數(shù)學生數(shù)學成績下降�，F(xiàn)在已開始注意面向全體學生，同時適應個別差異。近年來，國外進行了許多試驗，提出了分組教學。如美國恩德希爾設(shè)計出一個教學范型（如下圖）

　　在教某一數(shù)學概念之前，先了解和估計一下有哪幾個學生已經(jīng)理解和掌握這個概念，教學時就讓他們直接進入充實提高的活動，而大多數(shù)學生則由教師教學。經(jīng)過大組、小組、個別教學以后，進行檢查診斷，已掌握好的學生也進入充實提高組，還需要再練習的進入練習組，還沒掌握好的進入重授組。到適當時候，所有的學生又作為一個班級一起進入下一個數(shù)學概念的學習。日本的數(shù)學教學法中也提倡個別化的指導，強調(diào)在課堂上盡量減少一齊學習的時間，教師多看每人的作業(yè)本，觀察學生操作教具，及時發(fā)現(xiàn)練習中的錯誤，及時“治療”。蘇聯(lián)小學數(shù)學教學法中也強調(diào)把個別教學和集體教學巧妙地結(jié)合起來。認為對學生進行有區(qū)別的指導，是課堂教學的一個重要方面，并且提出，教師指導下的集體作業(yè)，應該跟各種形式的小組作業(yè)和個別作業(yè)交替進行。教師一般要準備幾種差別作業(yè)，有的作業(yè)還要考慮到每個學生的程度特點，對于學習有困難的，還要準備專門的輔導教材。

　　5.重視廣泛使用直觀教具和現(xiàn)代教學手段。在國外，提倡使用多種多樣的數(shù)學教具，不僅由教師演示，而且重視讓學生操作；不僅用于知識的講解，而且用于思考推理的練習；不僅用于課內(nèi)，而且用于課外。例如，美、英、蘇等國都提倡廣泛使用彩色木條（奎遜耐木條）來教學認數(shù)和四則運算，說明簡單的分數(shù)等。為了認識幾何形體，用硬紙板剪成形體的各個面，隨時可以拼裝。木制的各種幾何形體，配合識圖，還有助于發(fā)展空間觀念；把它們放在表示集合的圓圈里，又是很好的邏輯推理練習�，F(xiàn)在國外小學還開設(shè)數(shù)學實驗室或?qū)嶒灲牵瑴蕚涓鞣N各樣的教具、操作用具，許多用發(fā)現(xiàn)法教學的課就在數(shù)學實驗室中進行。

　　近年來，在一些發(fā)達的國家和地區(qū)，還廣泛使用現(xiàn)代教學手段，如幻燈片、影片等。在日本，配合各冊課本制作的幻燈片總計達三百多張。近年來，有些國家還允許或提倡使用電子計算器。關(guān)于計算器的使用，各國還有不少爭論，特別是許多教師不贊成小學生使用計算器，擔心會忘掉計算技能。但是不少實驗報告都認為，計算器有助于掌握基本技能和數(shù)學概念以及解答應用題，不會損害學生的成績。同時也認為要考慮到小學生的特點，一般宜于在高年級使用，在使用之前應先掌握基本計算技能。美國全國數(shù)學教師協(xié)會八十年代《行動計劃》中提出，超過兩位數(shù)的計算就可以用計算器。日本算數(shù)學習指導要領(lǐng)中規(guī)定，高年級可以適當使用計算器，但是不能影響培養(yǎng)學生的估算能力。至于使用計算器以后會帶來什么樣的影響，有些人認為還需要進一步研究。關(guān)于計算機，美、英等國已有不少小學在數(shù)學課上用作輔助教學手段，不僅用于學習計算，解應用題，而且用于輔導兒童，解答疑難問題；此外還用于記錄和分析學生成績并根據(jù)學生的進步情況制定學習計劃，而且逐漸成為在家庭中對孩子進行教育的用具。