德國小學的應用題教學的改革

６０年代以來應用題教學的地位在德國經(jīng)歷了一場戲劇性的變化。１９７０年—１９７６年由于皮亞杰理 論的影響，應用題地位迅速下降，處于從屬地位，而計算題則處于主要地位，這一階段人們稱之謂“小學數(shù)學 教育起了根本的變化”。１９７６年開始，由于家長的憤怒與教學實踐中產(chǎn)生的實際情況，迫使他們對數(shù)學教 育進行新的權(quán)衡，天平又回復了。促進思維與技算技能被看得同等重要，應用題又顯得重要了。人們認為，經(jīng) 過改革后的應用題教學既能鍛煉理解數(shù)學結(jié)構(gòu)的能力，又能鍛煉計算技能。
    經(jīng)過多年的討論，他們認為應用題教學的目的是：
    １．培養(yǎng)兒童從周圍客觀環(huán)境事物中抽象出數(shù)學結(jié)構(gòu)關系的能力。
    ２．培養(yǎng)兒童的計算技能，并使他們能正確地運用四則運算解決問題。
    ３．應用題中涉及的具體知識可以深化學生對某一專門領域的了解，使專業(yè)知識得到發(fā)展。
    ４．通過解題可以訓練、培養(yǎng)學生的思維，更重要的是還可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，達到提高學生解決 問題和創(chuàng)造性解決問題的能力。
    德國當前的應用題教學（即改革后的應用題教學）強調(diào)，所教的內(nèi)容應該取自于孩子們周圍環(huán)境中的實際 問題。他們認為：在小學里，兒童學習如何通過數(shù)的幫助，來了解周圍世界的真相，是一個很重要的方面。所 以培養(yǎng)兒童運用數(shù)學方法來掌握某一周圍世界情況的能力是至關重要的�，F(xiàn)實生活中，在對某一問題考慮出一 個可能的解決方法之前，很少會有一切必不可少的事項、數(shù)據(jù)、陳述、關系都已在手頭齊全了，首先必須對之 加以搜集、挑選、整理、比較，然后才是提出問題，接著是尋求解決方法，最后是得出答案。而在傳統(tǒng)的數(shù)學 應用題課里，這些必不可少的數(shù)據(jù)、信息大多是以文字形式給出的。所以也有人說，這些應用題相對于大家所 重視的真正實際問題的解決來說，只是一些“冒牌應用題”。
    作為改進，他們對應用題的設計作了帶有方向性的改革：
    １．在應用題的設計上留出讓學生自己補充、搜集信息的余地，使學生能夠自己搜集有關的信息并進行選 擇。
    例如：２０馬克可以買多少千克桔子？
    這種題按傳統(tǒng)觀點是無法解的，是條件不全的題�，F(xiàn)在學生要完成這個題，首先必須到學�；蚣彝ジ浇�的 商店或超級市場去搜集桔子的價格信息，然后挑選自己喜歡的品種，算出千克數(shù)；或挑選價格最便宜的和價格 最貴的，再算出可買桔子的千克數(shù)范圍。１９８４年與１９８９年筆者兩次在德國巴伐利亞州考察進修時，發(fā) 現(xiàn)師生都對這一類題很感興趣。有關教研機構(gòu)也覺得這類題很有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力。
    ２．應用題不設問，讓孩子們自己去尋找計算性的設問。
    例１ 烏特買了８只檸檬，她用一枚５馬克的硬幣去付款，找回了３馬克。
    例２ 瑪麗亞在奶酪攤上幫助她的姑姑。上星期她幫了２０小時，得到工資１４０馬克。這個星期她幫了 ２５小時。
    教師可以從學生的設問中看出學生對信息的理解程度和處理能力。像例２這種題可以設不止一個問，尤能 看出學生對信息搜集和處理能力。
    有的題甚至沒有文字說明，只有圖。要求學生從圖中搜集信息，提出問題（如下圖）。
    （附圖 {圖}）
    ３．為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，設計問題時考慮到讓學生從不同的角度出發(fā)進行發(fā)散思維，探求不同的答案 。
    例：父親買玻璃杯（下圖）。他用３張１０馬克的紙幣付款，收回了６馬克的找頭。
    （附圖 {圖}）
    這一類題一般有不止一個的答案，要鼓勵學生去尋找不同的答案，答案越多越好�！督虒W參考書》指出， “當然不是要求所有的學生都找出所有的答案，重要的是，學生都要有興趣去尋找多個答案�！苯處熞龑�學生 通過嘗試制表法來尋求各種答案�，F(xiàn)介紹如下。
    分析與解題過程（摘自教師用書）：
    從圖片中可以觀察到杯子有三種價格：２馬克、４馬克、８馬克。
    先計算父親付了多少錢：３０－６＝２４（馬克）
    （１）當他只買一種杯子時，有下列幾種可能：
    每只８馬克的２４÷８＝３（只杯子）
    每只４馬克的２４÷４＝６（只杯子）
    每只２馬克的２４÷２＝１２（只杯子）
    （２）當他買了兩種杯子時，就成了丟番圖問題，有三種情況：
    ①ｘ·８＋ｙ·４＝２４
    ②ｘ·８＋ｙ·２＝２４
    ③ｘ·４＋ｙ·２＝２４
    當ｘ或ｙ為零時，就是（１）中所述的情況。
    小學二年級的學生是通過嘗試法或制表格來尋得下列答案的：
    ①（０，６），（１，４），（２，２），（３，０）
    ②（０，１２），（１，８），（２，４），（３，０）
    ③（０，１２），（１，１０），（２，８），（３，６），（４，４），（５，２），（６，０）
    嘗試或制表格的策略是：第一種杯子的數(shù)目從零開始逐次上升，在上升過程中，每當?shù)谝环N杯子數(shù)目被確 定，就相應地求出第二種杯子的數(shù)目。
    （３）當他買三種杯子時，就出現(xiàn)了一個三變量的丟番圖方程：ｘ·８＋ｙ·４＋ｚ·２＝２４
    可以將ｘ、ｙ、ｚ為零的情況除外，以免重復（１）與（２）。
    同樣可通過嘗試或制表格來解決，策略是第一種杯子數(shù)目從１開始上升，當?shù)谝环N杯子數(shù)目取定，第二種 杯子數(shù)目也從１開始上升，這時第三種杯子的數(shù)目就能確定了。
    ８馬克杯 ４馬克杯 ２馬克杯 總計

    １×８ ＋１×４ ＋６×２ ＝２４
    １×８ ＋２×４ ＋４×２ ＝２４
    １×８ ＋３×４ ＋２×２ ＝２４
    ２×８ ＋１×４ ＋２×２ ＝２４
    這些題對于傳統(tǒng)教學培養(yǎng)出來的學生肯定是困難的，但對經(jīng)過發(fā)散性思維培養(yǎng)的孩子，經(jīng)過嘗試策略培訓 的孩子來說，二年級就可以進行教學了。
    改革后的應用題教學，在怎樣教、如何學上的做法是：緊密聯(lián)系學生生活實際、切合兒童心理特點來進行 教與學。從下面幾方面來幫助孩子們弄清問題的內(nèi)部聯(lián)系：
    １．一、二年級經(jīng)常通過游戲，如讓學生拿著假錢幣去演示購物過程，來發(fā)現(xiàn)解題方法。
    ２．用圖畫出題目的情節(jié)，幫助學生把握事物內(nèi)部的聯(lián)系；如畫運算草圖或給出圖解（如箭頭圖、計算樹 圖）。
    下面舉一計算樹圖的例子：
    （附圖 {圖}）
    ３．語言上的幫助：解釋不熟悉的詞，強調(diào)一些特別重要的詞在運算上的含義。
    ４．進一步的幫助：對應用題進行改寫、加工，以得出一定的模式。