求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

如果一個(gè)陰影部分所示的圖形既不是基本圖形，也不能通過(guò)分解、隔離、組合、平移、旋轉(zhuǎn)和割補(bǔ)等方法 轉(zhuǎn)化成基本圖形或其相加減的形式時(shí)，應(yīng)該怎么求解呢？如前面所介紹的方框圖所示，這時(shí)可運(yùn)用一些特殊的 方法進(jìn)行分析解答。
    倍分比較法
    有些求面積問(wèn)題，往往已知甲圖形的面積卻要求乙圖形的面積，這時(shí)，可通過(guò)尋找甲乙兩圖形之間存在的 關(guān)系去求解。這個(gè)關(guān)系就是兩圖形面積之間的倍率（幾倍）或分率（幾分之幾）關(guān)系。這種思路往往是通過(guò)添 加合適的輔助線來(lái)構(gòu)成等底等高的三角形（或其它面積有倍分關(guān)系的圖形）來(lái)進(jìn)行比較和解答的。
    例１．如圖１所示，三角ABC的面積為１００平方厘米，D、E、F分別為三條邊的四、五、六等分點(diǎn)。求三 角形DEF的面積。
    （附圖 {圖}）
    （１）
    分析解答：根據(jù)題中的已知條件我們可推想，所求面積與已知面積之間存在著一種倍分關(guān)系，因?yàn)椤皟扇?角形如等高，則其面積之比等于相對(duì)應(yīng)底邊長(zhǎng)的比”。所以，我們來(lái)“創(chuàng)造”這樣的三角形來(lái)幫助解答。連接 BD，由于AF＝５／６AB，所以三角形AFD的面積占三角形ABD面積的５／６，而三角形ABD的面積又剛好是三角形 ABC面積的１／４（因?yàn)锳D＝１／４AC），所以，三角形AFD的面積占三角形ABC面積的分率為１／４×５／６＝ ５／２４。同理，三角形FBE和三角形ECD所占分率分別為４／５×１／６＝２／１５，３／４×１／５＝３／ ２０。因此，所求三角形DEF面積所占的分率為１－５／２４－２／１５－３／２０＝６１／１２０，其面積為 １００×６１／１２０＝５０．８（平方厘米）。
    字母代換法
    有些問(wèn)題直接用算術(shù)方法解答不方便，我們可以設(shè)字母來(lái)代換。這些字母可以是所求量，也可以是中間量 ，它們有時(shí)只起媒介作用，在求解過(guò)程中，作為一個(gè)整體或一個(gè)數(shù)參加運(yùn)算，在計(jì)算中互相抵銷(xiāo)或被替代。有 時(shí)卻需要通過(guò)比較、代換等簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算求出它們所代表的數(shù)值后再尋求問(wèn)題的答案。
    例２．用一條長(zhǎng)７５分米的鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形的框架，要求它的兩條高分別為１４分米、１６分米 （如圖２所示），這個(gè)平行四邊形的面積是多少？
    （附圖 {圖}）
    （２） 分析解答：條件中告訴了兩條高的長(zhǎng)度。因?yàn)樵谕�一平行四邊形中，由于面積一定，由“平行四 邊形面積＝底×該底邊上的高”可看出：高與對(duì)應(yīng)的底邊成反比例關(guān)系，所以可以用設(shè)字母等量代換的方法進(jìn) 行解答。設(shè)與兩條高相對(duì)應(yīng)的底邊分別長(zhǎng)a分米和b分米，面積為S平方分米，可得a×１４＝b×１６＝S，a＝S ／１４，b＝S／１６而“a＋b”為周長(zhǎng)的一半，等于７５／２分米，所以有S／１４＋S／１６＝７５／２，即 S×（１／１４＋１／１６）＝７５／２；因此，所求平行四邊形的面積為：
    （附圖 {圖}）
    極端處置法
    一般來(lái)說(shuō)，任何事物既遵循某種規(guī)律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性規(guī)律。在解答 有些問(wèn)題時(shí)，我們可以用變化的觀點(diǎn)將圖形設(shè)想于某一特殊情形來(lái)考慮，這樣，往往能絕處逢生，找到解題途 徑。
    例３．邊長(zhǎng)分別為４和３的兩個(gè)正方形，如
    （附圖 {圖}）
    （３）
    分析解答：此題是求兩個(gè)正方形未重疊部分的面積之差是多少。從圖中可看出，空白部分可大可小，直接 計(jì)算很難解答。如果我們這樣想：當(dāng)這兩個(gè)正方形完全分離時(shí)，它們的面積之差是４［２］－３［２］＝７。 當(dāng)它們重疊時(shí)，就等于兩個(gè)正方形的面積都分別減去重疊部分的面積，由于減去的面積相同，故其差仍不變。
    比例傳遞法
    如果兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（或?qū)挘┫嗟�，那么，它們的面積與它們的寬（或長(zhǎng)）對(duì)應(yīng)成比例。根據(jù)這一性質(zhì)， 我們有時(shí)可以通過(guò)長(zhǎng)度之間的比例關(guān)系將已知的面積數(shù)量傳遞給未知的面積，也可以通過(guò)面積的比例關(guān)系將已 知線段的長(zhǎng)度傳遞給未知線段。
    例４．如圖４所示，長(zhǎng)方形被互相垂直的幾條線段分成九塊。其中①～⑤號(hào)五塊的面積數(shù)與它們所標(biāo)的代 號(hào)數(shù)相同，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。
    （附圖 {圖}）
    （４）
    分析解答：如果能求出⑥～⑨號(hào)四塊圖形的面積，問(wèn)題就解決了。由圖可知：⑥～⑨號(hào)圖形都與其相鄰長(zhǎng) 方形或共長(zhǎng)，或共寬。如④號(hào)圖形與⑨號(hào)圖形的面積比等于②號(hào)圖形與①號(hào)圖形的面積比，等于２：１，即可 求得⑨號(hào)圖形的面積為２。同理可求出⑥～⑧號(hào)圖形的面積分別為２．５、７．５和６。所以，大長(zhǎng)方形的面 積為：
    １＋２＋３＋４＋５＋２＋２．５＋７．５＋６＝３３
    重疊法
    有些圖形中的陰影部分是由若干個(gè)基本圖形重疊而成的，且重疊遵循一定的規(guī)律，此類(lèi)問(wèn)題可用“重疊法 ”解答。
    例５．求圖５陰影部分的面積。
    （附圖 {圖}）
    （５）
    先將原圖進(jìn)行分解，可以看出：圖中陰影部分是在直角三角形內(nèi)，以兩底角頂點(diǎn)為圓心，圓心角為４５° 的二個(gè)扇形的重疊部分構(gòu)成的。所以陰影部分面積可用兩圓心角為４５°扇形的面積和減去直角三角形面積的 差來(lái)求得（如圖６所示）。由此可見(jiàn)，若甲、乙兩圖形共同填滿丙圖形并且有部分重疊或多余，那么，這一部 分面積即為：甲面積＋乙面積－丙面積。再如圖７，四個(gè)半圓填滿正方形并重疊為“梅花瓣”狀陰影，求此陰 影部分面積即為：四個(gè)半圓面積之和減去正方形面積所得的差。
    （附圖 {圖}）
    （６）
    （附圖 {圖}）
    （７）

    上面介紹的是一些常用解組合圖形的方法和技巧。由于組合圖形千變?nèi)f化，不可能有一固定的解題模式。 對(duì)于具體的問(wèn)題應(yīng)該進(jìn)行具體的分析，在認(rèn)真分析題意的基礎(chǔ)上，靈活發(fā)揮和借鑒上述解題的思想方法，一般 的組合圖形面積問(wèn)題都可以順利求解。