高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中創(chuàng)新能力培養(yǎng)的實(shí)踐與思考

　　隨著數(shù)學(xué)教材改革的深入開展，提高學(xué)生能力的問題越來越引起人們的重視。為了進(jìn)一步提 高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量，有必要對能力問題開展進(jìn)一步的研究.心理學(xué)研究指出，能力分一般能 力和特殊能力。一般能力是指順利完成各種活動所必備的基本心理能力，特殊能力是指順利 完成某種特殊活動所必備的能力。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)，一般能力包括學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識的能 力，探究數(shù)學(xué)問題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，提高這些能力將大大推動學(xué) 生素質(zhì)的提高。?  


　　數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)的一般能力，包括對數(shù)學(xué)問題的質(zhì)疑能力、建立數(shù)學(xué)模型的能力（即把 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力）、對數(shù)學(xué)問題猜測的能力等，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng) 特別重視對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使每一個(gè)學(xué)生都養(yǎng)成獨(dú)立分析問題、探索問題、解決問題 和延伸問題的習(xí)慣。讓所有的學(xué)生都有能力提出新見解、發(fā)現(xiàn)新思路、解決新問題。數(shù)學(xué)創(chuàng) 新能力的培養(yǎng)相比數(shù)學(xué)知識的傳授更重要，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué) 的思維品質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力。  


一、 培養(yǎng)學(xué)生善思、善想、善問的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高質(zhì)疑能力  


　　就研究性學(xué)習(xí)而言，需要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題需要 一定的方法，這些方法應(yīng)在課堂教學(xué)中逐步培養(yǎng)。高中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的獲得大多表現(xiàn)在記 憶和解題上，缺乏對知識間的聯(lián)系和分析，被動接受的多，主動反思的少。?  


　　如我在講授《數(shù)學(xué)歸納法》一課時(shí)，有意設(shè)計(jì)了下面三個(gè)問題。問題1：今天，據(jù)觀察第一 個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是，我 得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。（學(xué)生：竊竊私語，哄堂大笑——以偏概全）。問題 2：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝（n2-5n+5）2,計(jì)算得a1＝1,a2＝1,a3＝1, 可以猜出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝1(此時(shí)，絕大部分學(xué)生不作聲——默認(rèn)，有一學(xué)生 突然說：當(dāng)n＝5時(shí)，an＝25,a 5≠1,這時(shí)一位平時(shí)非常謹(jǐn)慎的女生說：“老師今天你第 二次說錯(cuò)了”)。問題3：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2*180°，五邊形的內(nèi) 角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180°。（說到這里，我說： “這次老師沒有講錯(cuò)吧？”）上述三個(gè)問題思維方式都是從特殊到一般，問題1、2得到的結(jié) 論是錯(cuò)的，那么問題3是否也錯(cuò)誤？為什么？（學(xué)生茫然，不敢質(zhì)疑）。合理地利用材料， 提出好的問題，引出課題，揭示了本 節(jié)知識的必要性。通過讓學(xué)生自主參與知識產(chǎn)生、形成的過程，獲得親身體驗(yàn)，逐步形成一 種在日常學(xué)習(xí)與生活中愛置疑、樂探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學(xué) 生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問題的方法。?  


　　高中學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡潔，獨(dú)特方法。②運(yùn)用類比 的方法對某些結(jié)論進(jìn)行推廣和延伸，獲的更一般的結(jié)論。如2000年上海秋季高考第12題：“ 在等差數(shù)列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈N＝成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中,若b9＝1， 則有等式______成立”。用有關(guān)等差數(shù) 列和等比數(shù)列概念和類比的方法，辯明等差數(shù)列和式兩邊元素下標(biāo)的關(guān)系；運(yùn)用類比的手段 ，將已知等差數(shù)列的性質(zhì)拓展到等比數(shù)列的性質(zhì)，無疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問題的通道，這是一個(gè)創(chuàng)新的過程。類比的結(jié)論不一定都正確，對問題的質(zhì)疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數(shù)列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m -s2m?成等差數(shù)列，能否類比到等比數(shù)列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數(shù)列，許多學(xué)生可能會證明它是正確，但這結(jié)論恰恰是錯(cuò)誤的(當(dāng)a1＝2，公比q＝-1時(shí)，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。再 如，2000年上海春季 高考題：設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤-1時(shí)，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)，斜率 為 1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（0,2），且過(-1,1)的一段拋物線，試 寫 出f(x)的 表達(dá)式,并作出圖象。高考結(jié)束以后就有學(xué)生問：拋物線是否僅二次函數(shù)的圖象？ 如果不是，那么它的解不唯一。③通過對問題的變式引出新的問題進(jìn)行探索。譬如，在求數(shù)列an＝2n-1的前n項(xiàng)和時(shí)。可以引出數(shù)列{a3n}和{α3n}的前n項(xiàng)和，讓學(xué)生進(jìn)行充分的討論，前一問題仍是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，但首項(xiàng)、公差都已經(jīng)變化，認(rèn)知上沒有沖突，學(xué)生是可以解決的；后一問題如果學(xué)生不深入研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么他就無法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和.探 究等差數(shù)列相關(guān)知識，對學(xué)生而言應(yīng)是創(chuàng)新性思維；如果再將產(chǎn)生的結(jié)論向等比數(shù)列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達(dá)到不斷激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新欲望之目的。?  


二、建立新的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于實(shí)踐的能力?  


　　數(shù)學(xué)問題來源于社會實(shí)際，又指導(dǎo)著人們的工作、學(xué)習(xí)。對不同的問題建立不同的數(shù)學(xué)模型 ，有利于學(xué)生參與社會實(shí)踐、服務(wù)社會。如某商品的單價(jià)隨時(shí)間而變化，假設(shè)A同學(xué)每次買a 元的商品，B同學(xué)每次買b件的商品，試比較A、B兩同學(xué)同時(shí)購買該商品兩次，誰較合算？ 可以讓學(xué)生帶著上述問題進(jìn)商場，同一商品在不同的商場價(jià)格可能是不一樣的，組織兩組學(xué) 生各自收集一下所需的數(shù)據(jù),找到此商品在這兩家商場內(nèi)的單價(jià)分別為m元和n元(把隨時(shí)間變 化轉(zhuǎn)化為隨商場而變化)，分別計(jì)算出A，B同學(xué)兩次購買這商品的平價(jià)價(jià)格 2a 和 bm + bn  


　　a + a 2b  


　　m n  


　　建立不等式作差，得A平均-B平均＝2mn-m+n＝(m-n)2≤0，就能說明誰更合算，質(zhì)疑是否為整數(shù)，上述解 m+n 2 2(m+n)  


　　答是否最合理。再如上網(wǎng)費(fèi)與上網(wǎng) 時(shí)間的關(guān)系也可以讓學(xué)生上電信局去采集相關(guān)的數(shù)據(jù)。通過實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生收集信息，分析處 理信息和實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化的能力。?  


（1）上述解決問題過程可概括為：  


（2）解決上述問題的思想方法為：  


?  


　　問題一、二可以分別建立不等式和函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決。又比如2003年上海春季高考第22 題是有關(guān)工資問題，可以建立等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。這些問題都有各自的實(shí)際背景， 要解決這些問題，除了要熟悉有關(guān)的實(shí)際背景，更關(guān)鍵的是要通過審題、分析建立相應(yīng)的數(shù) 學(xué)模型，利用已有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、計(jì)算工具來解決相關(guān)的實(shí)際問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué) 模型化的價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)來源社會實(shí)踐，又服務(wù)于社會實(shí)踐， 創(chuàng)新能力型問題很多，要求有高有低，我們不能要求學(xué)生一一掌握，但讓他們知道這些問題 共同的特點(diǎn)，探求問題解決的一般方法。  


　　高中數(shù)學(xué)中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建 模、化歸與轉(zhuǎn)化、引申與拓展等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要特別注意培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題中具體條 件，自覺、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學(xué)過程中， 通過變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問題，制定新策略、解決新問題。?  


　　本人認(rèn)為，高中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，要不失時(shí)機(jī)地讓 學(xué)生進(jìn)行類比、推廣、探究、質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力、發(fā)展學(xué)生的一般能力，為終 身學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。