高中數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)用問題初探

高中數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)用問題初探

課程教材研究所 張勁松

－、數(shù)學(xué)及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。當(dāng)代數(shù)學(xué)能夠處理科學(xué)中的數(shù)據(jù)和觀測(cè)資料，進(jìn)行推理、演繹、證明，可提供自然現(xiàn)象、社會(huì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：高度抽象性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性。

隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的地位日益提高，應(yīng)用越來(lái)越廣泛。它是人們參加社會(huì)生活、從事生產(chǎn)勞動(dòng)和學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)；它在培養(yǎng)思維品質(zhì)，提高思維水平方面發(fā)揮著特有的作用；它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。

１９５９年５月，華羅庚教授在《人民日?qǐng)?bào)》發(fā)表了《大哉數(shù)學(xué)之為用》一文，精彩地?cái)⑹鰯?shù)學(xué)在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”等各方面的應(yīng)用；進(jìn)入九十年代，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部在《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》（王梓坤執(zhí)筆）一文中，對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用進(jìn)行了酣暢淋漓的論述。正如該文的第一句話：“本文的目的是雙重的和互補(bǔ)的：一是論述數(shù)學(xué)在國(guó)富民強(qiáng)中的重要意義；二是通過近年來(lái)數(shù)學(xué)在我國(guó)的許多應(yīng)用來(lái)證實(shí)這種意義的真實(shí)性，從而希望提高人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。”

數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程教材的建設(shè)起著至關(guān)重要的作用。

二、數(shù)學(xué)課程改革中的“應(yīng)用”

近年來(lái)，數(shù)學(xué)教育界內(nèi)的“問題解決”、數(shù)學(xué)建模等無(wú)一例外地把應(yīng)用提高到一個(gè)非常高的程度，因此，正確理解“應(yīng)用”就成為一個(gè)非常重要的問題。

對(duì)于“問題解決”、“大眾數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)建�！�、 “應(yīng)用”等等，對(duì)于使數(shù)學(xué)課程“貼近”實(shí)際，歷史上已作了許多討論。事實(shí)上，理論與實(shí)踐相結(jié)合是數(shù)學(xué)課程教材改革的重要目標(biāo)之一。在兩千多年前，數(shù)學(xué)教育就存在著著眼于實(shí)用和訓(xùn)練思維的兩大目標(biāo)。今天數(shù)學(xué)的內(nèi)容大大地豐富和深化了，實(shí)際應(yīng)用和訓(xùn)練思維的涵義也大大拓展了。歸根到底，數(shù)學(xué)教育的目的除思想教育方針之外，仍然是這兩個(gè)目標(biāo)的結(jié)合。數(shù)學(xué)就自身發(fā)展來(lái)說(shuō)，始終是理論與實(shí)踐密切結(jié)合一門科學(xué)。

綜觀數(shù)學(xué)教育史，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)總是具有很強(qiáng)職業(yè)成分，只是隨著中學(xué)和大學(xué)的學(xué)院化，數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系才被忽視，但是如何人教“應(yīng)用”和運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)生活”例子為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)仍有待研究。應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以有許多解釋，有些人為的，非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教育價(jià)值，能養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定；還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實(shí)”的，是直接從職業(yè)中拿出來(lái)的，如儲(chǔ)蓄、稅收等，這就有一個(gè)誰(shuí)的“現(xiàn)實(shí)”的問題。這些例子只是社會(huì)的一些特殊需要，不足取。就算排除了這類實(shí)例，還會(huì)有多種形式體現(xiàn)“應(yīng)用”。比如，守門員如何占位才能縮小對(duì)手的射門角度？這些問題把數(shù)學(xué)與實(shí)際情境聯(lián)系在一起，對(duì)一些學(xué)生有吸引力，但并不是真用數(shù)學(xué)解決問題，沒有哪個(gè)球員會(huì)這樣去計(jì)算他們站立的位置。數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要不在于這樣的“應(yīng)用”，更重要的是，這種“聯(lián)系”不可能總是結(jié)合學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)”的，正如卡爾松說(shuō)的“現(xiàn)實(shí)是主體和時(shí)間的函數(shù)，對(duì)我是現(xiàn)實(shí)的，對(duì)別人未必是現(xiàn)實(shí)的，在過去是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實(shí)的了”�？梢娨�使課程有“應(yīng)用”性是既復(fù)雜，又有待長(zhǎng)期解決的問題。

前面說(shuō)的都是用來(lái)為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的“現(xiàn)實(shí)”例子，當(dāng)數(shù)學(xué)為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時(shí)，情況就完全不同了，它是完全不同的一種例子，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟悉的社會(huì)現(xiàn)實(shí)問題，這種問題不僅有社會(huì)意義，而且不局限于單一的數(shù)學(xué)，還要用到學(xué)生多方面的知識(shí)。

著名數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾曾對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)表示了憂慮，他認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)講授從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程。學(xué)習(xí)是指形成這種系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，而不是系統(tǒng)化的最后結(jié)果。因?yàn)橄到y(tǒng)化的最后結(jié)果是一個(gè)系統(tǒng)，是一個(gè)漂亮的封閉系統(tǒng)，甚至封閉到?jīng)]有入口和出口……學(xué)生所要學(xué)習(xí)的不是作為一個(gè)封閉系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，而是作為一項(xiàng)人類活動(dòng)的數(shù)學(xué)，即從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)的數(shù)學(xué)化過程。如果需要，也可以包括從數(shù)學(xué)本身出發(fā)的數(shù)學(xué)化過程。學(xué)生應(yīng)該形成一個(gè)相對(duì)開放的系統(tǒng)，至少是一個(gè)既有入口又有出口的封閉系統(tǒng)。

“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現(xiàn)實(shí)情景（“入口”）出發(fā)，這里所說(shuō)的現(xiàn)實(shí)情景，既包括客觀的世界和現(xiàn)實(shí)的生活，又包括學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。事實(shí)上，這是應(yīng)用的一個(gè)非常重要的方面。所謂“出口”，是指數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情景中去。我們所說(shuō)的應(yīng)用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現(xiàn)實(shí)情景引入數(shù)學(xué)，讓學(xué)生隨時(shí)隨地都感到數(shù)學(xué)就在我身邊。

我國(guó)的一些數(shù)學(xué)教育工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口” 的觀點(diǎn)可以說(shuō)不謀而和，他們都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)完整過程，要了解數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈。

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為各國(guó)數(shù)學(xué)課程教材改革的共同特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)課程、教科書中更加重視應(yīng)用。在處理數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，更多地遵循“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)概念→實(shí)際問題”這個(gè)模式來(lái)展開。許多教科書面向現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的引入以閱讀材料的方式出現(xiàn)。這些材料內(nèi)容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，有讓人著迷的數(shù)學(xué)史，有發(fā)人深思的懸念，也有尚未解決的各種實(shí)際問題，還有現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的最新發(fā)展等。教科書中每節(jié)后，還安排大量與現(xiàn)實(shí)世界結(jié)合并帶有挑戰(zhàn)性的問題，供學(xué)生討論、思考和實(shí)踐，并對(duì)每一問題在題首注明數(shù)學(xué)知識(shí)被應(yīng)用的領(lǐng)域（例如天文、建筑、管理、經(jīng)濟(jì)、物理、化學(xué)等），讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和科學(xué)之間的聯(lián)系。

總之，數(shù)學(xué)教育改革中對(duì)于應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)有關(guān)知識(shí)的來(lái)龍去脈已形成共識(shí)。

《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱《大綱》）進(jìn)一步突出了理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)應(yīng)用�！芭囵B(yǎng)解決實(shí)際問題的能力，并逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)”是高中數(shù)學(xué)的教目的之一。

解決實(shí)際問題的能力是指：會(huì)提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問題；會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)主要是指：對(duì)自然界和社會(huì)中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，加以探索和研究。

《大綱》在“教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)”“教學(xué)中需注意的幾個(gè)問題”等處，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題只做了原則性的說(shuō)明�！洞缶V》中規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求由教科書、教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)等多種渠道來(lái)體現(xiàn)，教科書如何更好地貫徹大綱中的“應(yīng)用”，對(duì)編者來(lái)說(shuō)，有一個(gè)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅包括人們常講的用數(shù)學(xué)的結(jié)論，用數(shù)學(xué)的方法，用數(shù)學(xué)的思想，還包括用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)的觀念，用數(shù)學(xué)的精神。因此，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教材中的應(yīng)用，并不是僅僅通過“增加一些有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容”，，“在例題和習(xí)題中增加一些應(yīng)用題”，而是要在教材設(shè)計(jì)、編排體系等方面做更深層次的考慮。

三、高中數(shù)學(xué)教科書中的“應(yīng)用”

下面以《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）為例》，對(duì)“應(yīng)用”進(jìn)行具體的分析：

1．教學(xué)內(nèi)容的選取

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用舉例。實(shí)習(xí)作業(yè)。等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式。等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

研究性課題：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

實(shí)習(xí)作業(yè)已函數(shù)應(yīng)用為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問題。

理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問題。

毋庸諱言，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教科書主要是以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心，進(jìn)行教材的設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)的組織基本上以數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在邏輯順序?yàn)橹骶�。

2．教學(xué)內(nèi)容的處理

（1）　正文：“2.2函數(shù)一節(jié)中”

例5　 在國(guó)內(nèi)投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g 付郵資160分，依此類推，試建立平信應(yīng)付郵資（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖象�！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�

這是幾乎每個(gè)人在現(xiàn)實(shí)生活中都會(huì)遇到的問題，也即現(xiàn)實(shí)情境（問題情境），建立函數(shù)關(guān)系式（數(shù)學(xué)模型）：

當(dāng)郵寄35g的外埠平信時(shí)，從圖象中可以看出，應(yīng)付160分的郵資（應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去）。

這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的“數(shù)學(xué)建�！边^程：?jiǎn)栴}情境→建立模型→解釋與應(yīng)用�？梢哉f(shuō)，在一定程度上，“數(shù)學(xué)建模”使應(yīng)用更現(xiàn)實(shí)化。學(xué)生看到數(shù)學(xué)如何才能應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問題中，并且渴望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，會(huì)自然地尋找“數(shù)學(xué)建模”的機(jī)會(huì)。

在解決實(shí)際問題中，“會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)”是應(yīng)用的一個(gè)重要的方面。從上例中可以看出，在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，自然經(jīng)歷自然語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言（函數(shù)關(guān)系式）、圖形語(yǔ)言（函數(shù)圖象）相互轉(zhuǎn)化的過程。

(２）閱讀材料 自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

該閱讀材料結(jié)合典型事例，詳細(xì)地介紹了數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)模型建立過程，以及利用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的基本步驟。

（３）研究性課題：數(shù)列在分期付款中的作用

研究性課題主要是指對(duì)某些數(shù)學(xué)問題的深入探討，或者從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。充分地體現(xiàn)學(xué)生的自主活動(dòng)和合作活動(dòng)。研究性課題應(yīng)以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，并且密切結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際�？梢詭熒�自擬課題。提倡教師和

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學(xué)生自己提出問題。

四、應(yīng)注意的幾個(gè)問題

（一）應(yīng)用的層次性

單就出口而言，有以下幾個(gè)層次：

1．在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的應(yīng)用。

由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，前面知識(shí)的學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)后面的知識(shí)做準(zhǔn)備。換句話說(shuō)，前面的知識(shí)要應(yīng)用到后面知識(shí)的學(xué)習(xí)中。

2．在其他相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用，特別是物理及工程技術(shù)中的應(yīng)用。

3．應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去

由于高中學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)畢竟還是有限的，他們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的現(xiàn)實(shí)問題，與應(yīng)用數(shù)學(xué)家所面臨的現(xiàn)實(shí)問題相比，充其量是個(gè)“準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題”，至少是“半數(shù)學(xué)化”的問題，是一個(gè)經(jīng)過人為加工的“數(shù)學(xué)半成品”。

4．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間，能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學(xué)化”了的問題，對(duì)學(xué)生來(lái)講，是個(gè)技能化的過程。而能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題則是一個(gè)能力問題。

5．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言的靈活運(yùn)用是應(yīng)用的最高層次，特別是自然語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流。

（二）應(yīng)用與基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)系

對(duì)高中學(xué)生來(lái)講，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)該是教學(xué)的首要目標(biāo)，應(yīng)用是以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)為前提的。應(yīng)用不僅僅是目的，更重要的是過程，即我們不僅要使學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特點(diǎn)和應(yīng)用價(jià)值，具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)和操作性能力，而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中掌握基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。很難想象，沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，談何應(yīng)用？

（三）應(yīng)用與計(jì)算機(jī)（器）

計(jì)算機(jī)（器）的普及，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供了先進(jìn)的計(jì)算工具，更便于處理實(shí)際數(shù)據(jù)，使應(yīng)用問題更加真實(shí)，切合實(shí)際；良好的演示平臺(tái)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用有了廣闊的空間，計(jì)算機(jī)能夠把靜態(tài)的變成動(dòng)態(tài)的，把抽象的東西具體化，直觀化，使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。

（四）從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)看“應(yīng)用”

數(shù)學(xué)不同于其他自然科學(xué)，它具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。從客觀實(shí)際、現(xiàn)實(shí)世界中的抽象只是數(shù)學(xué)的低級(jí)抽象；脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)學(xué)的高級(jí)抽象。高級(jí)抽象是在低級(jí)抽象基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象，它的研究對(duì)象是一種形式化的思想材料，是經(jīng)過人加工了的思想，是人對(duì)自然界的概括和認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)的逐級(jí)抽象性的特點(diǎn)，說(shuō)明了學(xué)生學(xué)習(xí)過程中思維發(fā)展的不同階段和水平，因而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)也是分層次的。學(xué)習(xí)的最低層次是數(shù)學(xué)的組織：通過學(xué)生自己的猜測(cè)、探索，從現(xiàn)實(shí)問題情景中提煉數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)問題及其規(guī)律，對(duì)問題有整體理解，這是學(xué)生數(shù)學(xué)地組織經(jīng)驗(yàn)材料的活動(dòng)層次；學(xué)習(xí)的第二個(gè)層次是將數(shù)學(xué)問題組織成原理，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模式去描繪原理。即通過對(duì)脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)研究，構(gòu)筑抽象理論意義的數(shù)學(xué)原理。這是學(xué)生組織經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域的活動(dòng)，是進(jìn)一步抽象概括數(shù)學(xué)材料并提煉數(shù)學(xué)原理的過程；第三個(gè)層次是數(shù)學(xué)原理的驗(yàn)證、推廣階段。如果說(shuō)前兩個(gè)層次是“發(fā)現(xiàn)”原理的過程，那么這個(gè)層次就是驗(yàn)證推廣的階段。驗(yàn)證的過程實(shí)際是將“發(fā)展”的結(jié)果演繹推理的形式系統(tǒng)化、邏輯化的過程；最后一個(gè)層次是反省上述學(xué)習(xí)過程，將抽象結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際，用以指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)生活。此層次的反省活動(dòng)，是對(duì)前述認(rèn)識(shí)過程的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，是對(duì)前述學(xué)習(xí)過程的反思，對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過程起到調(diào)節(jié)和監(jiān)控作用。斯托利亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)可分為三個(gè)階段：經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化、數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。這三個(gè)階段構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的完整過程，忽視甚至丟棄哪個(gè)階段的做法都是不對(duì)的。學(xué)生親自感受和經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)的過程，也就是數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過程，唯有以再創(chuàng)造的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程理清，才能在數(shù)學(xué)上向趨向成熟的下一階段邁進(jìn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程只是按照以形式化了的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)規(guī)則去操作數(shù)學(xué)。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)了經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織和數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

“應(yīng)用”是一個(gè)非常大的話題，不但是課程教材改革的問題，而且還涉及教學(xué)、學(xué)習(xí)、評(píng)價(jià)（考試）等等。筆者認(rèn)為，“應(yīng)用”最主要的是教學(xué)思想的問題，即在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，從“出口”著眼，從“入口”著手。課程教材和評(píng)價(jià)（考試）只是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)過程的一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，更重要的是要在平時(shí)的教學(xué)中去實(shí)現(xiàn)。

摘自中學(xué)數(shù)學(xué)

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