強(qiáng)化數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用意識(shí)

強(qiáng)化數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)課程改革的思路之一就是數(shù)學(xué)課程應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，允許非形式化，這是我們改革數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵之處．?dāng)?shù)學(xué)課程貫徹此精神，可望縮短學(xué)生發(fā)展必經(jīng)的歷程，盡快進(jìn)入現(xiàn)代化前沿，適應(yīng)２１世紀(jì)對學(xué)生的要求．

事實(shí)上，數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)早已成為發(fā)達(dá)國家的共識(shí)．而我國目前數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)卻十分淡薄，與世界數(shù)學(xué)課程發(fā)展的潮流極不合拍．事實(shí)上，數(shù)學(xué)及其應(yīng)用曾是我國古代最發(fā)達(dá)的傳統(tǒng)科學(xué)之一，以實(shí)用性、計(jì)算性、算法化以及注重模型化方法為特征的中國古代數(shù)學(xué)處于世界領(lǐng)先地位達(dá)千余年之久．但遺憾的是，具有應(yīng)用功能的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有被及時(shí)納入教育內(nèi)容，或引發(fā)出必要的數(shù)學(xué)課程，因此它的發(fā)展和成就失去了傳播的根基和土壤，隨著社會(huì)的演變逐漸被人們所丟棄．近代中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展相對落后，

數(shù)學(xué)課程的建設(shè)主要是折衷地采用外國的研究成果．在應(yīng)用方面，由于沒有做適合于我們文化背景的貼切轉(zhuǎn)換和補(bǔ)償，造成應(yīng)用意識(shí)的繼續(xù)失落．當(dāng)前，我國數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題和考題多半是脫離了實(shí)際背景的純數(shù)學(xué)題，或者是看不見背景的應(yīng)用數(shù)學(xué)題．這樣的訓(xùn)練，久而久之，使學(xué)生解現(xiàn)成數(shù)學(xué)題的能力很強(qiáng)，而把實(shí)際問題抽象化為數(shù)學(xué)問題的能力卻很弱．面對新世紀(jì)的挑戰(zhàn)，我們重建的數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注意將民族的數(shù)學(xué)應(yīng)用成果及時(shí)納入教育內(nèi)容．在課程中及時(shí)增加反映在社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用知識(shí)，并研究培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的對策，從而達(dá)到數(shù)學(xué)課程改革與社會(huì)進(jìn)一步相一致．?dāng)?shù)學(xué)課程中強(qiáng)化“應(yīng)用”既是一個(gè)復(fù)雜問題，又是一個(gè)長期未能解決好的問題．“應(yīng)用”在數(shù)學(xué)教育中有許多解釋，有些人為的非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教育價(jià)值，也可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定．還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實(shí)”的，如直接從職業(yè)中拿出來的簿記、稅收；如聯(lián)系特殊地方工業(yè)的“三機(jī)一泵”．這就有一個(gè)“誰的現(xiàn)實(shí)”問題，這些例子只是社會(huì)的一些特殊需要，不足取．?dāng)?shù)學(xué)的重要性主要不在于這樣的“應(yīng)用”，它不可能總是結(jié)合學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)”．正如卡爾松（Ｃａｒｓｏｎ）所言：“現(xiàn)實(shí)是主體和時(shí)間的函數(shù)，對我是現(xiàn)實(shí)的，對別人未必是現(xiàn)實(shí)的；在我兒時(shí)是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實(shí)的了”．

前面說的都是“現(xiàn)實(shí)”例子用來為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，當(dāng)數(shù)學(xué)用來為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時(shí)，即當(dāng)我們用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，情況就完全不同了，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題．這種問題不僅有社會(huì)意義，而且不局限于單一的教學(xué)，還要用到學(xué)生多方面的知識(shí)，在這方面英國數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中的課程交叉值得我們學(xué)習(xí)借鑒．所謂課程交叉就是在某學(xué)科教學(xué)過程中，突出該學(xué)科與現(xiàn)實(shí)生活以及其它學(xué)科的聯(lián)系．英國的數(shù)學(xué)課程交叉主要表現(xiàn)為：從現(xiàn)實(shí)生活題材中引入數(shù)學(xué)；加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其它科目的聯(lián)系；打破傳統(tǒng)格局和學(xué)制限制，允許在數(shù)學(xué)課程中研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的其它問題等．

數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化“應(yīng)用”意識(shí)，落實(shí)到具體，必須在教材、教學(xué)、考試等方面都要增加用數(shù)學(xué)的意識(shí)．用數(shù)學(xué)的什么呢？可分為如下三個(gè)層次：

用結(jié)論用數(shù)學(xué)的現(xiàn)成公式，這是最低層次，人們最容易看到的地方．

用方法如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等．

用思想

研討問題的一般過程，觀察、分析、試驗(yàn)；從需要與可能兩個(gè)方面考慮問題；逐步逼進(jìn)；分類與歸一；找特點(diǎn)、抓關(guān)鍵；從定性到定量等．通過用數(shù)學(xué)，學(xué)生才能理解知識(shí)、掌握知識(shí)；通過用數(shù)學(xué)，才能訓(xùn)練學(xué)生的思維．

值得指出的是，與課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)相關(guān)的一個(gè)問題就是允許非形式化．首先，應(yīng)恰當(dāng)掌握數(shù)學(xué)理論形式化的水平，加強(qiáng)對理論實(shí)質(zhì)的闡述．我們非常贊同“允許非形式化”的觀點(diǎn)，“不要把生動(dòng)活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”，“非形式化的數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)”．?dāng)?shù)學(xué)課程要從實(shí)際出發(fā)，從問題出發(fā)，開展知識(shí)的講述，最后落實(shí)到應(yīng)用．例如，極限概念可以在小學(xué)圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數(shù)等比數(shù)列求和等處逐步孕伏，在學(xué)微積分時(shí)正式引入．只要不在形式化上過分要求，學(xué)生是不難接受并能加以運(yùn)用的．其次，應(yīng)恰當(dāng)掌握對公式推導(dǎo)、恒等變形及計(jì)算的要求．隨著計(jì)算機(jī)的普及，二十一世紀(jì)對手工計(jì)算的要求大大降低．從增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)講，也應(yīng)降低對公式推導(dǎo)與恒等變形的要求，否則沒有時(shí)間來講應(yīng)用．要充分利用幾何直觀，形象地加以說明．否則應(yīng)用的重點(diǎn)難以突出，生動(dòng)活潑的思維會(huì)淹沒在繁難的計(jì)算和公式推導(dǎo)中，“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”就會(huì)落空，學(xué)生思維水平也不會(huì)提高，新內(nèi)容的引入將障礙重重．

在此筆者要強(qiáng)調(diào)的是，要使數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識(shí)的增強(qiáng)落到實(shí)處，一個(gè)重要的舉措就是數(shù)學(xué)課程應(yīng)對數(shù)學(xué)建模必須給予極大的關(guān)注．?dāng)?shù)學(xué)模型是為了一定的目的對現(xiàn)實(shí)原型作抽象、簡化后所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是使用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實(shí)原型簡化的本質(zhì)的描述．而對現(xiàn)實(shí)事物具體進(jìn)行構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模．也就是說，數(shù)學(xué)建模一般應(yīng)理解為問題解決的一個(gè)側(cè)面、一個(gè)類型．它解決的是一些非常實(shí)際的問題，要求學(xué)生能把實(shí)際問題歸納（或抽象）成數(shù)學(xué)模型（諸如方程、不等式等）加以解決．從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)建模是對所需研究的問題作一個(gè)模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術(shù)、一種方法、一種觀念．

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)是數(shù)學(xué)科學(xué)內(nèi)容的“教育投影”，數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，迫切要求數(shù)學(xué)課程作出反應(yīng)．人們發(fā)現(xiàn)，這些應(yīng)用都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是把非數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，借助于數(shù)學(xué)方法獲得解決．因此，數(shù)學(xué)模型作為一門課程首先在一些大學(xué)數(shù)學(xué)系里被提倡．后來，人們又發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的應(yīng)用僅僅是：把日常生活中的經(jīng)濟(jì)、商業(yè)、貿(mào)易和手工業(yè)中的問題用一定程序表達(dá)，內(nèi)容只涉及計(jì)數(shù)、四則運(yùn)算和測量等．這種應(yīng)用無論是方式還是內(nèi)容，與數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用相比，相差甚遠(yuǎn)．于是數(shù)學(xué)建模作為一種教學(xué)方式在中小學(xué)受到重視，通過“做數(shù)學(xué)”達(dá)到“學(xué)數(shù)學(xué)”的目的．

目前從整個(gè)范圍來看，世界各國課程標(biāo)準(zhǔn)都要求在各年級水平或多或少地含有數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，但各國的具體做法又存在著很大差異，主要有以下幾種．

（１）兩分法

數(shù)學(xué)課程方案由兩部分構(gòu)成．前一部分主要處理純數(shù)學(xué)內(nèi)容；后一部分處理的是與前一部分純數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模，它有時(shí)是現(xiàn)成模型結(jié)果的應(yīng)用，有時(shí)是整個(gè)建模過程．這種做法可簡單地表示為：數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)→數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模．

（２）多分法整個(gè)教學(xué)可由很多小單元組成，每個(gè)單元做法類似于“兩分法”．

（３）混合法

在這種做法里，新的數(shù)學(xué)概念和理論的形成與數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)被設(shè)計(jì)在一起相互作用．這種做法可表示為：問題情景的呈現(xiàn)→數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)→問題情景的解決→新的問題情景呈現(xiàn)→新的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)→這個(gè)新的問題被解決→……

（４）課程內(nèi)并入法

在這種做法里，一個(gè)問題首先被呈現(xiàn)，隨后與這問題有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容被探索和發(fā)展，直至問題被解決．這種做法要注意的是，所呈現(xiàn)問題必須要與數(shù)學(xué)內(nèi)容有關(guān)并容易處理．

（５）課程間并入法

這種做法類似第（４）種，但又不完全相同，主要因?yàn)樗�呈現(xiàn)問題的解決所需要的知識(shí)未必主要是數(shù)學(xué)知識(shí)，可能是其它科目知識(shí)，數(shù)學(xué)已與其它科目融合成一體，不再單獨(dú)成一科．顯然，這種做法就是“跨學(xué)科設(shè)計(jì)教學(xué)法”．

上述做法孰優(yōu)孰劣？一般很難直接評判，只能據(jù)不同的情況采取不同的做法．現(xiàn)在有一種愿望：在中小學(xué)引進(jìn)跨學(xué)科的、以社會(huì)為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)工作，在這種設(shè)計(jì)工作中，學(xué)生會(huì)看到數(shù)學(xué)如何才能夠應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問題上去．并且可望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，會(huì)自然也產(chǎn)生建立“數(shù)學(xué)模型”的機(jī)會(huì)，實(shí)際上關(guān)于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)包括了各種水平的活動(dòng)．現(xiàn)在有必要研究許多模型，明確“數(shù)學(xué)模型化”的確切意圖．二十世紀(jì)的一個(gè)重大挑戰(zhàn)不僅是提供在學(xué)校能夠?qū)W的應(yīng)用的實(shí)例，而且是更深入地研究各種類型應(yīng)用的教育目的和正確性，所以學(xué)生如何應(yīng)用數(shù)學(xué)必定是二十一世紀(jì)的一個(gè)主要目標(biāo)．

參考文獻(xiàn)

〔１〕丁爾升等著．中學(xué)數(shù)學(xué)課程導(dǎo)論．上海：上海教育出版社，１９９４．２６９

〔２〕趙林．國外中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)情況概述．課程·教材·教法，１９９５，１５（８）：５５—５７