不同學力水平的學生對高中數(shù)學符號學習的個案研究

不同學力水平的學生對高中數(shù)學符號學習的個案研究

　　在實際教學中，常聽到不少學生發(fā)出感嘆：數(shù)學太難學了!數(shù)學真的就那么難學嗎?為什么有的學生學起來如魚得水，而有的學生卻困難重重，積重難進?依據(jù)我們多年的教學實際和平常與學生的交流，深深體會到數(shù)學符號的學習和理解是造成一部分學生數(shù)學學習困難的一個相當重要的原因．那么優(yōu)秀的學生是如何學習和理解數(shù)學符號的，他們學習和理解的方式，對于其他學生的學習和我們教師有效地進行符號教學有何啟迪，而學習困難的學生學習和理解數(shù)學符號的障礙何在，教師應如何依據(jù)他們的困難進行教學，帶著這些問題，我們調(diào)查了洛陽某高中二年級部分不同學力水平的學生對數(shù)學符號的學習和理解情況．該高中是一所普通中學．下文中，Ｔ表示老師；Ａ１：男生，頭腦靈活，數(shù)學成績良好；Ａ２：男生，思想活躍但粗心，數(shù)學成績較好；Ａ３：女生，比較踏實，數(shù)學成績不錯；Ｂ１：男生，踏實，但反應較慢，數(shù)學學習有困難；Ｂ２：男生，思想活躍，但不愛學習數(shù)學；Ｂ３和Ｂ４均是女生，數(shù)學成績較差．

　　一、不同學力水平的學生學習數(shù)學符號的個案及其分析

　　1.不同學力水平的學生理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的個案研究

　　下面是筆者與兩位高中二年級學生之間就數(shù)學符號ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的一段對話：

　　T：在學習中你是如何區(qū)別ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的?

　　B１：不知道，經(jīng)常把它們兩個弄混．

　　Ｔ：你是如何記憶它們的?

　　B１：主要按課本上學習它們的先后順序記憶，但后來總是弄混．

　　Ａ１：初中學過ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３等冪的表示形式，所以就想到形如ｙ＝ｘa的函數(shù)為冪函數(shù)，另一個就是指數(shù)函數(shù)．

　�。裕耗銈兡芊裾f出ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的性質(zhì)?

　�。粒痹诩埳戏謩e畫出了ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３的圖象，依據(jù)ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３圖象說出ｙ＝ｘa的性質(zhì)，而在說明ｙ＝ａx的性質(zhì)時，則畫的是ｙ＝２x、ｙ＝３x的圖象．

　　B１：這兩個函數(shù)的性質(zhì)是……

　　T：你能否畫圖說明?

　　此時Ｂ１努力地回憶這兩個函數(shù)的圖象，但把兩種圖象混在一起了．

　　2.關(guān)于理解直線ａ在平面α內(nèi)和點Ａ在平面α內(nèi)的數(shù)學符號表示的個案

　　Ｔ：直線ａ在平面α內(nèi)和點Ａ在平面α內(nèi)用數(shù)學符號怎樣表示?

　�。粒玻海幡梁停痢师粒�

　�。拢玻海幡梁停痢师粒�

　�。拢常海帷师梁停痢师粒�

　�。拢矗海幡梁停力粒�

　�。裕簽槭裁催@樣表示?

　�。粒玻褐本�和平面都可以看做集合，點看做元素，在代數(shù)中集合與集合之間用表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。拢玻赫f不出來，反正老師是這樣教的．

　�。拢常狐c和直線都屬于平面吧．

　�。拢磩t畫出了直線和點在平面內(nèi)的圖形．

　　學生Ｂ４、Ｂ３可能發(fā)現(xiàn)直線在平面內(nèi)，點在平面內(nèi)，與元素在集合內(nèi)十分相似，于是就導致了錯誤的理解和聯(lián)想．

　　分析：（1）學力水平高的學生在理解和記憶數(shù)學符號時，善于運用自己學過的知識對新知識進行理解和主動加工，使抽象的數(shù)學符號被賦予了具體的含義和豐富的經(jīng)驗背景，使新知對于自身來說是可以理解的．比如學生Ａ１在理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的概念和性質(zhì)時，就能聯(lián)系到初中學過ｙ＝２x、ｙ＝３x的有關(guān)知識；而在第二個案例中學生Ａ２則聯(lián)想到代數(shù)中集合與集合之間、元素與集合之間的符號的表示，并通過對比和概括內(nèi)化到自己原有的認知結(jié)構(gòu)當中，從而就擴大了自己原有的認知結(jié)構(gòu)，使原有認知結(jié)構(gòu)更加清晰和有序．

　�。�2）學習困難的學生在理解數(shù)學符號時弄不清新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，或者使新舊知識發(fā)生了錯誤的聯(lián)系，或者他們根本就沒有想去尋找新舊知識的聯(lián)系，換句話，學習困難的學生在學習數(shù)學符號時不理解符號的真正含義，既沒有要求理解數(shù)學符號意義的心向，也沒有掌握理解符號含義的方法，致使符號的外在表示和學生個體的內(nèi)在經(jīng)驗背景脫節(jié)，既被動學習又機械記憶，數(shù)學符號在個體的認知結(jié)構(gòu)中散落堆積，既加重學習的負擔，又成了進一步學習的障礙．

　�。�3）高學力水平的學生在學習和理解數(shù)學符號時，能對新知識進行主動的分析和加工，因而在記憶數(shù)學符號時就能自覺對數(shù)學符號表示的相關(guān)內(nèi)容進行處理，使自己認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的概念、公式、定理形成了網(wǎng)狀排列，使新知識和舊知識保持了一定的連續(xù)性；而學習困難的學生的記憶基本是塊狀結(jié)構(gòu)，即學什么就記什么，從不思考不同的數(shù)學符號所表達的相同的內(nèi)容，它們記憶的大量數(shù)學符號是相互孤立的，即使有聯(lián)系也是混亂和松散的，有時還是錯誤的，因此在回憶和提取時往往顯得忙亂和無效．

　　3.不同學力水平的學生在解題中運用數(shù)學符號的個案研究

　�。�1）Ｆ（ｘ）的定義域為（ｃ，ｄ），求函數(shù)Ｆ（２x）的定義域，其中ｃ＞０，ｄ＞０．

　�。�2）若Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，求Ｆ（ａn），其中ｎ∈Ｎ，ｂ≠０，ａ＞0，ａ≠1．

　�。粒保海ǎ保┮驗椋悖迹�＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，

　　即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數(shù)Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ｔ，則ｌｏｇａx＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ．

　　所以Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ，Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　　Ｔ：為什么ｃ＜２x＜ｄ?

　�。粒保阂驗椋疲ǎ瞲）是關(guān)于ｘ的一個復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的定義，函數(shù)ｕ＝２x的值域應滿足Ｆ（ｘ）的定義域．

　�。裕簽槭裁戳睿鴅＝ｔ，解出Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ？

　�。粒保阂�求Ｆ（ａn），必須把關(guān)于Ｆ（ｘ）的對應法則求出來．

　�。粒玻海ǎ保┮驗椋悖迹�＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數(shù)Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ａn，則ｌｏｇａx＝ｎ/ｂ，

　　則Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　　Ｔ：Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）中的ｘ含義相同嗎?

　�。粒玻弘m然都是ｘ，但它們的取值不同，在Ｆ（ｘ）中ｘ在（ｃ，ｄ）取值，而Ｆ（２x）中的ｘ取值應保證２x∈（ｃ，ｄ），所以兩個ｘ含義不同．

　　Ｂ１：（1）Ｆ（ｘ）的定義域是（ｃ，ｄ），即ｘ的取值范圍為（ｃ，ｄ），Ｆ（２x）中ｘ的取值范圍也為（ｃ，ｄ），所以Ｆ（２x）的定義域為（ｃ，ｄ）．

　�。�2）Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，Ｆ（ａn）＝ｎ/ａnb．

　�。拢玻阂驗椋疲ǎ鴅）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ（ａnb）＝ｌｏｇａａn＝ｎ．

　　分析：（1）學力水平高的學生在理解Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）時是在理解Ｆ（ｘ）本質(zhì)意義（它只是一個加工的手段和模具）的前提下，把Ｆ（ｘ）作為一個結(jié)構(gòu)性概念來理解，因而能把Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）從結(jié)構(gòu)上看作對應法則是相同的，從而得出ｃ＜２x＜ｄ，而在做第（2）題時，能夠從不同的表達式子中，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在相同的對應規(guī)則，比如?Ａ２認為Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx和Ｆ（ａn）具有相同的規(guī)則，因此要求Ｆ（ａn），必須把相關(guān)的對應法則求出來．

　�。�2）學力水平弱的學生看到符號，只能理解符號的表層的形式的意義，而體會不到其中的內(nèi)在含義，比如Ｂ１認為Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）中的ｘ是相同的，因而取值范圍也應相同，不能從深層理解到Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）的對應法則相同，只是自變量不同而已，這也從一個側(cè)面反映出這一部分學生只是把符號Ｆ作為一個具體的運算符號，而體會不到函數(shù)中Ｆ的真正作用，比如學生Ｂ１由Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，得出Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，同時這一部分的學生在后來的學習過程中，一方面由于對自己學習過程缺乏概括和總結(jié)的習慣和方法，另一方面可能缺乏對自己的思考過程進行反思，因而無法借助自己已有的經(jīng)驗理解形式化的符號運算所包含的意義，從而無法實現(xiàn)符號由方法性到結(jié)構(gòu)性的過渡，因而在解決抽象的符號問題時遇到的困難是在所難免的．

　　二、數(shù)學符號教學的措施

　　1.在學生感知數(shù)學符號的過程中注意引導學生對符號進行主動加工的意識和習慣

　　在調(diào)查中我們發(fā)現(xiàn)學習困難的學生理解符號的困難，一方面在于沒有掌握對符號進行加工的方法，而另一方面則在于沒有對符號進行加工的習慣和意識．因此，在教學中，要處處注意引導學生對符號進行加工（即對符號所表達的內(nèi)涵進行縱橫聯(lián)系，以激發(fā)學生頭腦中與此符號有關(guān)的知識和經(jīng)驗），以養(yǎng)成他們遇到符號多思考的習慣．比如，在遇到新的符號時要啟發(fā)學生：這個符號與我們前面學過的哪些知識有聯(lián)系和區(qū)別，有什么樣的聯(lián)系和區(qū)別等等，所有這些問題都可以有效幫助學生理解數(shù)學符號的意義．同時既要引導學生對相同數(shù)學內(nèi)容善于用不同數(shù)學符號進行表示，又要引導學生對數(shù)學的自然語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化（這種做法對于立體幾何中數(shù)學符號的理解特別有效），以幫助學生理解不同符號內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和符號自身的數(shù)學意義．比如在上述調(diào)查學生對直線在平面內(nèi)和點在平面內(nèi)的數(shù)學符號表示中，當筆者發(fā)現(xiàn)學生對這兩個符號的錯誤理解時，就對學生進行了如下的啟發(fā)和引導：

　　Ｔ：在代數(shù)中，集合與集合之間以及元素與集合之間用什么符號表示?

　�。拢杭�合與集合之間用?表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。裕涸趲缀沃校�我們把點看成元素，而把直線和平面看成集合，那么直線在平面內(nèi)和點在平面內(nèi)用符號怎樣表示?

　　此時那幾個學生都正確地寫出了相應的符號．如果教師在教學中時刻注意引導和啟發(fā)學生對符號進行加工和聯(lián)系，長此以往學生潛在的加工意識便被喚醒，在遇到數(shù)學符號和知識時就會自覺地對符號進行縱橫聯(lián)系，這種對知識進行再加工的意識和習慣一旦形成，也會遷移到其他的學習當中，對其他知識的學習也會有很大的幫助．

　　2.加強師生之間的交流促進學生對符號意義的理解和概括

　　在與學生的交談中我們了解到，學生在理解、記憶數(shù)學符號方面的障礙，絕大多數(shù)發(fā)生在數(shù)學符號理解和建構(gòu)的初期，由于學生沒有及時覺察這種不適當或錯誤的建構(gòu)，因而就沒能采取及時的補救措施．那么如何在學生理解符號的初期，及時發(fā)現(xiàn)學生理解的障礙和錯誤，我們不妨借鑒維果斯基的社會建構(gòu)的思想：使學生獲得的知識經(jīng)受由學生和老師所組成的這個小的社會共同體的檢驗，并為使其符合與社會的要求打下堅實的基礎(chǔ)．因此，在課堂教學中通過學生與學生的交流，使其能學習他人之長，通過教師對數(shù)學符號的理解過程的展示，使學生從中得到啟發(fā)，以引起個體對符號的理解進行對比和反思，通過學生與教師的交流，教師可以及時得到學生對符號理解的反饋，從中了解學生對符號的理解情況，以便使學生對自身不合理的建構(gòu)進行調(diào)整和補救．

　　3.提供加工和反思的具體的、可以操作的方法

　　在提高學生對數(shù)學符號進行加工意識的同時，要使學生掌握對符號進行再加工的具體方法和措施．比如可以為學生提高反思的清單：這個符號的含義是什么?能用自己的話重新說一遍嗎?這個符號和前面學過的符號之間有聯(lián)系嗎?如果有聯(lián)系，聯(lián)系是什么?我能說出來嗎?這個符號我為什么理解錯了，錯誤的原因我能找到嗎?這些具體的運算中蘊涵有什么規(guī)律嗎?規(guī)律是什么?這個規(guī)律可以用來解決那些問題?等等．

　　總之，我們在對教材進行處理和設(shè)計教學情景時，必須首先了解學生對概念、符號、定理的理解情況，掌握學生學習發(fā)生困難的地方和根源，這樣我們才可以針對每一個學生的認知情況，進行適當?shù)慕虒W．

摘自于：《中學數(shù)學教學參考》