淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化

淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略——轉(zhuǎn)化

　　 “轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中最常用最基本的思維方式之一。轉(zhuǎn)化就是在分析解決問題時(shí)，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn) 化過程，把復(fù)雜、隱蔽的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、明顯的問題。初中數(shù) 學(xué)的轉(zhuǎn)化方法多種多樣，常用的有下列幾種：

　　一、高次(或多元)向低次(或低元)轉(zhuǎn)化；

　　 例1已知X2－2X－l＝0，則代數(shù)式X3—X2—3X十2的值是 (97年廣東省初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一道試題)

　　(A)O (B)1 (C)2 (D)3

　　分析：此題若通過已知X2－2X－1＝0解得

　　　X＝2土石代入原式求出答案，顯然運(yùn)算量大。因此為了減 少運(yùn)算量，我們應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化，經(jīng)分析可知：X2＝2X十1代人原式，從而達(dá)到降次的目的，最后得到正確答案(D)，由此可見，通過降次，可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單低次的問題，從而得到解決。

　　分析：解多元方程組的思想方法是將多元方程組轉(zhuǎn)化為低元方程組，最后轉(zhuǎn)化為一次方程而求得，此題的解題思想方法如下所示： 三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程

　　二、特殊與一般的互相轉(zhuǎn)化從特殊(一船)到一般(特殊)的思維方法是數(shù)學(xué)和其它科 學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)真理知識(shí)的重要途徑。

　　例3圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心 角的一半。

　　分析：考慮到圓周角與圓心角的一般關(guān)系，我們可以分為下列三種情況來證明。

　　(1)如圖1圓心在圓周角的一邊上：

　　易證得∠APB＝1／2∠AOB

　　(2)如圖2圓心在圓周角的內(nèi)部：

　　易證∠APB＝∠APS－∠BPS＝1/2∠AOS －1/2∠BOS＝1/2∠AOS

　　(3)如圖3圓心在圓周角的外部：

　　易得∠APB＝∠APS－∠BPS ＝∠AOS－1/2∠BOS 』 J ＝1/2∠AOB

　　綜上所述，不論哪種情況，圓周角都等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半，從而命題得證(詳細(xì)過程參考《幾何》第三冊(cè)P91－92)這是由特殊到一般的轉(zhuǎn)化。

　　例4 如圖4，已知定圓⊙O1；與定圓⊙02外切于P點(diǎn)，AB 是過切點(diǎn)P的任一直線分別與⊙01和⊙02交于A、B 求證： AP/BP是一個(gè)定值。則應(yīng)先找出這個(gè)定值，而題中給出的條件中固定不變的只有兩圓的半徑(不防設(shè)為R．r)即要證AP/BP與R，r有 關(guān)，由此啟發(fā)我們過切點(diǎn)P作⊙Ol與⊙02的直徑CD構(gòu)成Rt △APC～Rt△BPD，得出AP/BP＝CP/DP=r/R：參由此可見，找出定值的進(jìn)程就是由一船到特殊轉(zhuǎn)化的過程。

　　三、正面向反面的轉(zhuǎn)化。

　　　很多數(shù)學(xué)的問題正面難于入手，但從問題的反面則易于解決，故此我們通常用正面向反面的轉(zhuǎn)化方法去解決一些數(shù)學(xué)問 題。

　　 例5若三個(gè)方程

　　至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

　　分析：條件“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解”的情況十分復(fù)雜，如逐個(gè)方程討論，勢(shì)必造成運(yùn)算過程繁瑣，且容易出錯(cuò)。但若從 這個(gè)問題的反面去思考，將問題轉(zhuǎn)化為“三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)解”，則使問題變得單一、明白，由此可得

　　綜合得出－3/2＜a＜－1時(shí)，三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)解，由此可知， 當(dāng)a≤－3/2或a≥－1時(shí)，三個(gè)方程必定有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。

　　四、隱含向明朗轉(zhuǎn)化。

　　由于有些數(shù)學(xué)問題表面上沒有任何突破口、入手之處，但只要我們認(rèn)真分析找出題中隱蔽原條件，就會(huì)使問題迎刃而解。

　　 例6化簡(jiǎn)：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(264＋1)＋1

　　(摘初一級(jí)第八屆“希望杯”培訓(xùn)題)

　　分析：此題初看起來難于動(dòng)筆，查只要認(rèn)真分析，觀察一下題型結(jié)構(gòu)，較快發(fā)現(xiàn)一個(gè)隱蔽條件：1＝2－1，再利用平方差公 式，很易使問題得到解決。

　　解：原式＝(2－1)(2－1)(22十1)…(264十1)十1

　　　　　�。�(22－1)(22十1)(24十1)…(264十1)十1

　　　　　　 ＝2128

　　五、致與形的相互轉(zhuǎn)化。

　　例△ABC的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大 角為最小角的二倍，求三邊長(zhǎng)(95年天津市，初 三競(jìng)賽題)

　　分析：這道題的常見解法是構(gòu)造三角形法，依題目的已知條件，構(gòu)造如圖5設(shè)∠CAB＝2 ∠C，對(duì)應(yīng)邊分別為X－1，X，X十1延長(zhǎng)CA到 D，使AD＝AB，連結(jié)BD，得到△ADB�！鰾DC，因此有（x+1)/(x-1)＝(2x-1)/(x+1)，解得x＝5

　　從而得出三角形三邊之長(zhǎng)

　　 六、綜合(或復(fù)雜)向單一(或簡(jiǎn)單)的轉(zhuǎn)化，是解綜合題 的常用思維方法之一。

　　例8如圖690n與①02外切于點(diǎn) P，CD為兩圓的外公切線，PT為兩圓的 內(nèi)公切線，且①O，與①02的半徑分別為— 9和4

　　(1)求PT的長(zhǎng)；

　　(2)求Sin01的值；

　　(3)證明PC·PD＝PA·PB；

　　(95年廣西壯族自治區(qū)升中試第31題)

　　分析：這個(gè)綜合(或復(fù)雜)題可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)單一(或簡(jiǎn) 單)的基本問題是：

　　1、在△PCD中，若TC＝Pr＝TD，點(diǎn)T在cD上cD＝12，求 Pr的長(zhǎng)；

　　2、在直角梯形DC0102中，若O1C＝9，02D＝4，0102＝13， 求SinOl的值；

　　3、若BC／／AD、CA與BD相交于點(diǎn)P，求證PC·PD＝PA·PB 這樣分為三個(gè)小題后，問題(1)，(2)易解決，而問題(3) 只證得點(diǎn)C、O、B共線，點(diǎn)D、02、A共線，即可得CB／／DA，從而得出PC/PB＝PD/PA得出結(jié)論P(yáng)C·PD＝PA·四。

　　綜上可知，轉(zhuǎn)化的思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的一種最常見最基礎(chǔ)的思維方法，也是作為一名中學(xué)生(或中學(xué)教師)必須掌握 并靈活運(yùn)用的思維方法，而常見的六種轉(zhuǎn)化，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最 常用的轉(zhuǎn)化手段。