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數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義
數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義
丘成桐
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丘成桐教授應(yīng)北京大學(xué)邀請(qǐng)，出席北大百周年校慶，并于一九九八年五月五日，與另外三位杰出華人科學(xué)家，楊振寧教授、李遠(yuǎn)哲教授和朱棣文教授在北京大學(xué)舉行學(xué)術(shù)講座，上千名北大師生反應(yīng)熱烈，三小時(shí)的講座，座無(wú)虛席。
今天要講的是數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義，這原是蘇聯(lián)人寫(xiě)的一本書(shū)的書(shū)名，和今天的演講內(nèi)容借過(guò)來(lái)作為演講的名稱。
今天是北大百周年校慶，五四運(yùn)動(dòng)便是北大學(xué)生發(fā)動(dòng)的。作為演講的引子，讓我們先簡(jiǎn)略地回顧一下“五四”前后中西文化之爭(zhēng)。十九世紀(jì)中業(yè)以后，中國(guó)對(duì)西文科技的認(rèn)識(shí)，是“船豎炮利”，在屢次戰(zhàn)爭(zhēng)失利后，張之洞提出了“中學(xué)為體、西學(xué)為用”的主張，即以傳統(tǒng)儒家精神為主，加入西方的技術(shù)。到了五四運(yùn)動(dòng)前后便有了科玄論戰(zhàn)。以梁漱溟為主的一派以東方精神文明為上，捍衛(wèi)儒學(xué)，以為西方文明強(qiáng)調(diào)用理性和知識(shí)去征服自然，缺乏生命之道，人變成機(jī)械的奴隸；而中國(guó)文化自適自足，行其中道，必能發(fā)揚(yáng)光大。其時(shí)正值第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束，西方哲學(xué)家羅素等對(duì)西方物質(zhì)文明深惡痛絕，也主張向東方學(xué)習(xí)。另一派以胡適為首者則持相反意見(jiàn)，他們以為在知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)科學(xué)萬(wàn)能，人生觀由科學(xué)方法統(tǒng)馭，未經(jīng)批判及邏輯研究的，皆不能成為知識(shí)。
科玄論戰(zhàn)最終不了了之，并無(wú)定論。兩派對(duì)近代基本科學(xué)皆無(wú)深究，也不收集數(shù)據(jù)，理論無(wú)法嚴(yán)格推導(dǎo)，最后變得空泛。其實(shí)這便是中國(guó)傳統(tǒng)文化之一特點(diǎn)。一方面極抽象，有質(zhì)而無(wú)量，儒道皆云天人合一，禪宗又云不立文字，直指心性。另一方面則極實(shí)際，莊子說(shuō)“蔽于天而不知人”。古代的科學(xué)講求實(shí)用，一切為人服務(wù)，四大發(fā)明之一指南針、造紙、印刷術(shù)、火藥莫不如此。要知道西方技術(shù)之基礎(chǔ)在科學(xué)，實(shí)際和抽象的橋梁乃是基本科學(xué)，而基本科學(xué)的工具和語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)。
歷代不少科學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)都有極高的評(píng)價(jià)。我們引一些物理學(xué)家的話作為例子。R.Feyman在「物理定律的特性」一書(shū)中說(shuō)我們所有的定律，每一條都由深?yuàn)W的數(shù)學(xué)中的純數(shù)學(xué)來(lái)敘述，為什么？我一點(diǎn)也不知道。E.Wigner說(shuō)數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中有不合常理的威力。F.Dyson說(shuō)：在物理科學(xué)史歷劫不變的一項(xiàng)因此,就是由數(shù)學(xué)想像力得來(lái)的關(guān)鍵貢獻(xiàn)，基本物理既然由高深的數(shù)學(xué)來(lái)表示。應(yīng)用物理，流體等大自然界的一切現(xiàn)象，只要能得到成熟的了解時(shí)，都可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述。寫(xiě)過(guò)「湖濱散記」的哲人梭羅也說(shuō)有關(guān)真理最明晰，最美麗的陳述，最終必以數(shù)學(xué)形式展現(xiàn)。
其實(shí)數(shù)學(xué)家不只從自然界吸收養(yǎng)分，也從社會(huì)科學(xué)和工程中得到啟示。人類心靈中由現(xiàn)象界啟示而呈現(xiàn)美的概論，只要能夠用嚴(yán)謹(jǐn)邏輯來(lái)處理的都是數(shù)學(xué)家研究的對(duì)象。數(shù)學(xué)和其他科學(xué)不同之處是容許抽象，只要是美麗的，就足以主宰一切，數(shù)學(xué)和文學(xué)不同之處是一切命題都可以由公認(rèn)的少數(shù)公理推出。數(shù)學(xué)正式成為系統(tǒng)性的科學(xué)始于古希臘的歐機(jī)里德，他的「幾何原本」是不朽名作。明末利瑪竇和徐光啟把它譯成中文，并指出“十三卷中五百余題，一脈貫通，卷與卷，題與題相結(jié)倚，一先不可后，一后不可先，累累交承 漸次積累，終竟乃發(fā)奧微之義”。復(fù)雜深?yuàn)W的定理都可以由少數(shù)簡(jiǎn)明的公理推導(dǎo)，至此真與美得到確定的意義，水乳交融，再難分開(kāi)。值得指出，歐機(jī)里德式的數(shù)學(xué)思維，直接影響了牛頓在物理上三大定律的想法，牛頓距著「自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理」與「幾何原本」一脈相承。從愛(ài)因斯坦到現(xiàn)在的物理學(xué)家都希望完成統(tǒng)一場(chǎng)論，能用同一種原理來(lái)解釋宇宙間的一切力場(chǎng)。
數(shù)學(xué)的真與美，數(shù)學(xué)家的體會(huì)深刻。Sylvester說(shuō)“它們揭露或闡明的概念世界，它們導(dǎo)致的對(duì)至美與秩序的沉思，它各部分的和諧關(guān)聯(lián)，都是人類眼中數(shù)學(xué)最堅(jiān)實(shí)的根基”。數(shù)學(xué)史家M.Kline說(shuō)“一個(gè)精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩(shī)”。當(dāng)數(shù)學(xué)家吸收了自然科學(xué)的精華，就用美和邏輯來(lái)引導(dǎo)，將想像力發(fā)揮的淋漓盡致，創(chuàng)造出連作者也驚嘆不已的命題。大數(shù)學(xué)家往往有宏偉的構(gòu)思，由美作引導(dǎo)，例如Weil猜想促成了重整算數(shù)機(jī)何的龐大計(jì)劃，將拓?fù)浜痛鷶?shù)幾何融入整數(shù)方程論中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Weil猜想，可說(shuō)是抽象方法的偉大勝利�；仡檾�(shù)學(xué)的歷史，能夠?qū)讉�(gè)不同的重要觀念自然融合而得出的結(jié)果，都成為數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。愛(ài)因斯坦將時(shí)間和空間的觀念融合，成為近百年來(lái)物理學(xué)的基石；三年前A.Wiles對(duì)自守型式和Fermat最后定理的研究，更是扣人心魄。數(shù)學(xué)家能夠不依賴自然科學(xué)的啟示得出來(lái)的成就，令人驚異，這是因?yàn)閿?shù)字和空間本身就是大自然的一部分，它們的結(jié)構(gòu)也是宇宙結(jié)構(gòu)的一部分。然而，我們必須緊記，大自然的奧秘深不可測(cè)，不僅僅在數(shù)字和空間而已，它的完美無(wú)處不在，數(shù)學(xué)家不能也不應(yīng)該抗拒這種美。
本世紀(jì)物理學(xué)兩個(gè)最主要的發(fā)現(xiàn)：相對(duì)論和量子力學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)造成極大的沖擊。廣義相對(duì)論使微分幾何學(xué)“言之有物”，黎曼幾何不再是抽象的紙上談兵。量子場(chǎng)論從一開(kāi)始就讓數(shù)學(xué)家迷惑不已，它在數(shù)學(xué)上作用仿如魔術(shù)。例如Dirac方程在幾何上的應(yīng)用使人難以捉摸，然而它又這么強(qiáng)而有力地影響著幾何的發(fā)展。超對(duì)稱是最近二十年物理學(xué)家發(fā)展出來(lái)的觀念，無(wú)論在實(shí)驗(yàn)或理論上都頗為詭秘，但借著超弦理論的幫助，數(shù)學(xué)家竟能解決了百多年來(lái)懸而未決的難題。超弦理論在數(shù)學(xué)上的真實(shí)性是無(wú)可置疑的，除非造化弄人，它在物理上終會(huì)占一席位。
上世紀(jì)末數(shù)學(xué)公理化運(yùn)動(dòng)使數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性堅(jiān)如盤石，數(shù)學(xué)家便以為工具已備，以后工作將無(wú)往而不利。本世紀(jì)初Hilbert便以為任何數(shù)學(xué)都能用一套完整的公理推導(dǎo)出所有的命題。但好景不常，Godel在931年發(fā)表了著名的論文“「數(shù)學(xué)原理」中的形式上不可斷定的命題及有關(guān)系統(tǒng)I”。證明了包含著通常邏輯和數(shù)論的一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性是不能確立的。這表示Hilbert的想法并非是全面的，也表示科學(xué)不可能是萬(wàn)能的。然而由自然界產(chǎn)生的問(wèn)題，我們還是相信Hilbert的想法是基本正確的。
數(shù)學(xué)家因其品稟各異，大致可分為下列三種：
(一)創(chuàng)造理論的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家工作的模式，又可粗分為七類。
●從蕓蕓現(xiàn)象中窺見(jiàn)共性。從而提煉出一套理論，能系統(tǒng)地解釋很多類似的問(wèn)題。一個(gè)明顯的例子便是上世紀(jì)末Lie在觀察到數(shù)學(xué)和物理中出現(xiàn)大量的對(duì)稱后，便創(chuàng)造出有關(guān)微分方程的連續(xù)變換群論。李群已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念。
●把現(xiàn)存理論推廣或移植到其它結(jié)構(gòu)上。例如將微積分由有限維空間推廣到無(wú)限維空間，將微積分用到曲面而得到連絡(luò)理論等便是。當(dāng)Ricci,Christofel等幾何學(xué)家在曲面上研究與座標(biāo)的選取無(wú)關(guān)的連絡(luò)理論時(shí)，他們很難想像到它在數(shù)十年后的Yang-Mills場(chǎng)論中的重要性。
●用比較方法尋求不同學(xué)科的共同處而發(fā)展新的成果。例如：Weil比較整數(shù)方程和代數(shù)幾何而發(fā)展算數(shù)幾何：三十年前Langlands結(jié)合群表示論和自守形式而提出“Langlands綱領(lǐng)”，將可以交換的領(lǐng)域理論推廣到不可交換的領(lǐng)域去。
●為解釋新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象而發(fā)展理論。例如：Gauss發(fā)現(xiàn)了曲面的曲率是內(nèi)蘊(yùn)（即僅與其第一基本形式有關(guān)）之后，Riemann便由此創(chuàng)造了以他為名的幾何學(xué)，成就了近百年來(lái)的幾何的發(fā)展；H.Whitney發(fā)現(xiàn)了在纖維叢上示性類的不變性后，Pontryagin和陳省身便將之推廣到更一般的情況，陳示性類在今日已成為拓?fù)浜痛鷶?shù)幾何中最基本的不變量。
●為解決重要問(wèn)題而發(fā)展理論。例如J.Nash為解決一般黎曼流形等距嵌入歐氏空間而發(fā)展的隱函數(shù)定理，日后自成學(xué)科，在微分方程中用處很大。而S.Smale用h-協(xié)邊理論解決了五維或以上的Poincare猜想后，此理論成為微分拓?fù)涞淖钪匾ぞ摺?
●新的定理證明后，需要建立更深入的理論。如Atiyah-Singer指標(biāo)定理，Donaldson理論等提出后，都有許多不同的證明。這些證明又引起重要的工作。
●在研究對(duì)象上賦予新的結(jié)構(gòu)。Kahler在研究復(fù)流形時(shí)引入了后來(lái)以他為名的尺度；近年Thurston在研究三維流形時(shí)，也引進(jìn)了“幾何化”的概念。一般而言，引進(jìn)新的結(jié)構(gòu)使廣泛的概念得到有意義的研究方向。有時(shí)結(jié)構(gòu)之上還要再加限制，如Kahler流形上我們要集中精神考慮Kahler-Einstein尺度，這樣研究才富有成果。
（二）從現(xiàn)象中找尋規(guī)律的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家或從事數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，或在自然和社會(huì)現(xiàn)象中發(fā)掘值得研究的問(wèn)題，憑著經(jīng)驗(yàn)把其中精要抽出來(lái)，作有意義的猜測(cè)。如Gauss檢視過(guò)大量質(zhì)數(shù)后，提出了質(zhì)數(shù)在整數(shù)中分布的定律；Pascal和Fermat關(guān)于賭博中賠率的書(shū)信，為現(xiàn)代概率論奠下基石。五十年代期貨市場(chǎng)剛剛興起，Black和Scholes便提出了期權(quán)定價(jià)的方程，隨即廣泛地應(yīng)用于交易上。Scholes亦因此而于去年獲得諾貝爾的經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。這類的例子還有很多，不勝枚舉。
話說(shuō)回來(lái)，要作有意義的猜測(cè)并非易事，必須對(duì)面對(duì)的現(xiàn)象有充分的了解。以紅樓夢(mèng)為例，只要看了前面六七十回，就可以憑想像猜測(cè)后面大致如何。但如果我們對(duì)其中的詩(shī)詞不大了解，則不能明白它的真義。也無(wú)從得到有意義的猜測(cè)。
（三）解決難題的數(shù)學(xué)家。所有數(shù)學(xué)理論必須能導(dǎo)致某些重要問(wèn)題的解決，否則這理論便是空虛無(wú)價(jià)值的。理論的重要性必與其能解決問(wèn)題的重要性成正比。一個(gè)數(shù)學(xué)難題的重要性在于由它引出的理論是否豐富。單是一個(gè)漂亮的證明并不是數(shù)學(xué)的真諦，比如四色問(wèn)題是著名的難題，但它被解決后我們得益不多，反觀一些難題則如中流砥柱，你必須將它擊破，然后才能登堂入室。比如一日不能解決Poincare猜測(cè)，一日就不能說(shuō)我們了解三維空間！我當(dāng)年解決Calabi猜測(cè)，所遇到的情況也類似。
數(shù)學(xué)家要承先啟后，解掉難題是“承先”，再進(jìn)一步發(fā)展理論，找尋新的問(wèn)題則是“啟后”。沒(méi)有新的問(wèn)題數(shù)學(xué)便會(huì)死去，故此“啟后”是我們數(shù)學(xué)家共同的使命。我們最終目標(biāo)是用數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將整個(gè)自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)和工程學(xué)融合起來(lái)。
自從A Wiles在1994年解決了Fermat大定理后，很多人都問(wèn)這有什么用。大家都覺(jué)得Fermat大定理的證明是劃時(shí)代的。它不僅解決了一個(gè)長(zhǎng)達(dá)350年的問(wèn)題，還使我們對(duì)有理數(shù)域上的橢圓曲線有了極深的了解；它是融合兩個(gè)數(shù)論的主流——自守式和橢圓曲線——而迸發(fā)出來(lái)的火花。值得一提的是，近十多年來(lái)橢圓曲線在編碼理論中發(fā)展迅速，而編碼理論將會(huì)在電腦貿(mào)易中大派用場(chǎng)，其潛力無(wú)可估計(jì)。
最后我們談?wù)勎锢韺W(xué)家和數(shù)學(xué)家的差異。總的來(lái)說(shuō)，在物理學(xué)的范疇內(nèi)并沒(méi)有永恒的真理，物理學(xué)家不斷努力探索，希望能找出最后大統(tǒng)一的基本定律，從而達(dá)到征服大自然的目的。而在數(shù)學(xué)的王國(guó)里，每一條定理都可以從公理系統(tǒng)中嚴(yán)格推導(dǎo)，故此它是顛撲不破的真理。數(shù)學(xué)家以美作為主要評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)，好的定理使我們從心靈中感受大自然的真與美，達(dá)到“天地與我并生，萬(wàn)物與我為一”的悠然境界，跟物理學(xué)家要征服大自然完全不一樣。
物理學(xué)家為了捕捉真理，往往在思維上不斷跳躍，雖說(shuō)是不嚴(yán)格和容易犯錯(cuò)，但他們欲能把自然現(xiàn)象看得更透更遠(yuǎn)，這是我們十分欽佩的。畢竟數(shù)學(xué)家要小心奕奕、步步為營(yíng)，花時(shí)間把所有可能的錯(cuò)誤都去掉，故此這兩種做法是互為表里，缺一不可的。
在傳統(tǒng)文化中，我們說(shuō)立德，但即從不討論如何求真，不求真，則何以立德？我們又說(shuō)“溫柔敦厚，詩(shī)教也”，但只是含糊的說(shuō)美，數(shù)學(xué)兼講真美，是中華民族需要的基本科學(xué)。