數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)

一、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題解決的涵義

（一）數(shù)學(xué)問題的涵義。

1．什么是數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)問題是指不能用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法解決的一種情景狀態(tài)。如除數(shù)是小數(shù)的除法，對(duì)初學(xué)的學(xué)生來說就是一個(gè)不能直接用除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算的情景狀態(tài)，它就是一個(gè)問題。就信息加工而言，數(shù)學(xué)問題對(duì)學(xué)生來講是一組尚未達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的、有待加工處理的信息。如果把一個(gè)數(shù)學(xué)問題看作一個(gè)系統(tǒng)，那么這個(gè)系統(tǒng)中至少有一個(gè)要素是學(xué)生還不知道的。假如構(gòu)成這個(gè)系統(tǒng)的全部要素都是學(xué)生已知的，那么這個(gè)系統(tǒng)對(duì)學(xué)生來說就不是問題系統(tǒng)了，而是一種穩(wěn)定系統(tǒng)。數(shù)學(xué)問題有兩個(gè)特別顯著的特點(diǎn)：一是障礙性，即學(xué)生不能直接看出問題的解法和答案，必須經(jīng)過深入的研究與思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生愿意運(yùn)用已掌握的知識(shí)和方法去解決。

2．?dāng)?shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)問題作為一種有待加工的信息系統(tǒng)，它主要由以下三種成分構(gòu)成。

（l）條件信息。條件信息是指問題已知的和給定的東西，它可以是一些數(shù)據(jù)、一種關(guān)系或者某種狀態(tài)。如計(jì)算題中給定的數(shù)據(jù)和運(yùn)算符號(hào)、應(yīng)用題中的已知數(shù)量及其相互之間的關(guān)系等都是數(shù)學(xué)問題給定的條件信息。

（2）目標(biāo)信息。目標(biāo)在這里是指一個(gè)數(shù)學(xué)問題求解后所要達(dá)到的結(jié)果狀態(tài)，即通常所說的要求什么。如問題“課外活動(dòng)時(shí)，體育委員到保管室領(lǐng)球，按5個(gè)人一個(gè)籃球、8個(gè)人一個(gè)排球、10個(gè)人一個(gè)足球計(jì)算，一共要領(lǐng)17個(gè)球。全班共有多少人參加課外活動(dòng)？籃球、排球、足球各要領(lǐng)多少個(gè)？”中的“全班共有多少人參加課外活動(dòng)”和“籃球、排球、足球各要領(lǐng)多少個(gè)”就是問題給定的目標(biāo)信息。數(shù)學(xué)問題一旦由問題狀態(tài)轉(zhuǎn)化成目標(biāo)狀態(tài)以后，它就不再是一個(gè)問題系統(tǒng)了。如在上例中，未求出全班參加課外活動(dòng)人數(shù)和三種球的個(gè)數(shù)以前它是一個(gè)問題系統(tǒng)，一旦求出答案達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)以后，它就是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)了。

（3）運(yùn)算信息。運(yùn)算在這里是指條件所允許采取的求解行動(dòng)，即可以采取哪些操作方式把數(shù)學(xué)問題由問題狀態(tài)轉(zhuǎn)化成目標(biāo)狀態(tài)，它是問題求解的依據(jù)。如56.28÷0.67，可以利用除法商不變性質(zhì)把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算，這就是問題給定的運(yùn)算信息，沒有這些信息就無法計(jì)算出結(jié)果。

（二）數(shù)學(xué)問題解決及其特征。

根據(jù)數(shù)學(xué)問題的涵義，數(shù)學(xué)問題解決是指學(xué)生在新的情景狀態(tài)下，運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)面臨的問題采用新的策略和方法尋求問題答案的一種心理活動(dòng)過程。

數(shù)學(xué)問題解決是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為走向的心理活動(dòng)過程，其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用已有的知識(shí)去探索新情景中的問題結(jié)果，使問題由初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的一種活動(dòng)過程。與其它一般問題解決一樣，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題解決也具有以下基本特征。

第一，數(shù)學(xué)問題解決指的是學(xué)生初次遇到的新問題，如果是解以前解過的題，對(duì)學(xué)習(xí)者來說就不是問題解決了，而是做練習(xí)。

第二，數(shù)學(xué)問題解決是一種積極探索和克服障礙的活動(dòng)過程。它所采用的途經(jīng)和方法是新的，至少其中某些部分是新的，這些方法和途徑是已有數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的重新組合。這種重新組合通常構(gòu)成一些更高級(jí)的規(guī)則和解題方法，因此數(shù)學(xué)問題解決的過程又是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過程。

第三，數(shù)學(xué)問題一旦得到解決，學(xué)生通過問題解決過程所獲得的解決問題的方法就成為他們認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)組成部分，這些方法不僅可以直接用來完成同類學(xué)習(xí)任務(wù)，還可以作為進(jìn)一步解決新問題的已有策略和方法。

二、教學(xué)問題解決的功能

數(shù)學(xué)問題解決的過程是一個(gè)復(fù)雜的心理活動(dòng)過程，它對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要的作用，其功能可概括為以下幾個(gè)方面。

（一）問題解決有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握水平。

數(shù)學(xué)問題解決，從根本上來講是把前面已學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到新的情景中去的過程，并且這種運(yùn)用不是一種簡單的模仿操作，而是一種對(duì)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、方法和技能重新組合的創(chuàng)造性運(yùn)用。這個(gè)過程本身就是一種加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的過程，因此數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的掌握水平。如計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法，要綜合運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、通分和同分母分?jǐn)?shù)加減法法則等知識(shí)才能使問題得到解決，很明顯，這個(gè)過程的本身就是一個(gè)提高分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、通分和同分母分?jǐn)?shù)加減法法則掌握水平的過程。

數(shù)學(xué)問題解決和練習(xí)都有提高知識(shí)掌握水平的功能，但兩者有著根本性的區(qū)別。前者主要是通過對(duì)已有知識(shí)和方法的重新組合而生成新的解題策略和方法，它通過創(chuàng)新活動(dòng)去實(shí)現(xiàn)已有數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的掌握；而練習(xí)則更多地是一種對(duì)已有知識(shí)的重復(fù)學(xué)習(xí)，它主要是通過鞏固去加深知識(shí)的理解和掌握。

（二）問題解決能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，根據(jù)實(shí)現(xiàn)問題目標(biāo)的需要，學(xué)生要主動(dòng)地將原來所學(xué)過的有關(guān)知識(shí)運(yùn)用到新的情景中去，使問題得到解決。這個(gè)過程本身就是一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，使知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的過程。

因此數(shù)學(xué)問題解決對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，特別是運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力具有重要的意義。首先，它促使學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去提取有用的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于新的問題情景，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)目標(biāo)需要檢索和提取有用信息的能力。其次，數(shù)學(xué)問題解決促使學(xué)生將過去已掌握的靜態(tài)的知識(shí)和方法轉(zhuǎn)化成可操作的動(dòng)態(tài)程序。這個(gè)過程本身就是一個(gè)將知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的過程。另外，數(shù)學(xué)問題解決能使學(xué)生將已有的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到他們不熟悉的情景中去，并作為實(shí)現(xiàn)問題解決的方法和措施。這既是一種遷移能力的培養(yǎng)，同時(shí)又是一種主動(dòng)運(yùn)用原有的知識(shí)解決新問題能力的培養(yǎng)。

（三）問題解決能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)。

在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，學(xué)生對(duì)面臨的問題要運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，怎樣去運(yùn)用這些知識(shí)才能使問題得到解決，他們都有明確的認(rèn)識(shí)，因此數(shù)學(xué)問題解決能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。首先，在數(shù)學(xué)問題解決中學(xué)生能更加明確地認(rèn)識(shí)到過去所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要作用。如加法交換律、結(jié)合律和乘法交換律、結(jié)合律、分配律，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些定律時(shí)并沒有完全意識(shí)到它們的作用，只有在用這些定律解決簡便計(jì)算問題時(shí)，他們才真正體會(huì)到這些定律的重要性。其次，長期的數(shù)學(xué)問題解決學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察身邊的事物，用數(shù)學(xué)的思維方法去分析日常生活中的現(xiàn)象。再次，在數(shù)學(xué)問題解決過程中學(xué)生還能切身感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題后的成功體驗(yàn)，這不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，還可以使他們更加深刻地感受到自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都是有用的。

（四）問題解決能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)問題解決中的問題對(duì)學(xué)生來說都是第一次遇到的新情景，怎樣去實(shí)現(xiàn)問題的解決并沒有現(xiàn)成的方法和措施可采用，需要學(xué)生根據(jù)具體的問題情景去探索和發(fā)現(xiàn)能使問題達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的方法與途徑，這個(gè)過程的本身就是一個(gè)主動(dòng)探索的過程。因此數(shù)學(xué)問題解決有利于學(xué)生探索精神的培養(yǎng)。另一方面，任何數(shù)學(xué)問題的解決都不能直接依賴于已有的知識(shí)和方法，只有通過對(duì)已掌握的知識(shí)和方法的重新組合并生成新的策略和方法才能實(shí)現(xiàn)問題的解決。很明顯，數(shù)學(xué)問題解決的過程又是一個(gè)創(chuàng)新的過程。這一過程促使學(xué)生尋求新的途徑和方法去實(shí)現(xiàn)問題的解決。它不僅可以使學(xué)生獲得初步的創(chuàng)新能力，同時(shí)還可以讓學(xué)生從小養(yǎng)成創(chuàng)新的意識(shí)和創(chuàng)新的思維習(xí)慣，為今后實(shí)現(xiàn)更高層次的創(chuàng)新奠定良好的基礎(chǔ)。

在教學(xué)中挖掘數(shù)學(xué)問題解決中隱藏的培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力的巨大潛力，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮其培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力的功能，在當(dāng)前也是素質(zhì)教育賦予小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要任務(wù)。

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>三、教學(xué)問題解決的一般過程

數(shù)學(xué)問題解決是一個(gè)連續(xù)的心理活動(dòng)過程。這個(gè)過程通常反映為以下四個(gè)基本步驟。

（一）感知、理解問題。

感知和理解問題是數(shù)學(xué)問題解決的第一步。這一步主要是學(xué)習(xí)者明確問題所提供的條件信息和目標(biāo)信息，并在頭腦里建立起問題的表象。具體來講，在這一步先感知問題通過文字描述、畫面或其它形式所提供的信息，了解問題給定了哪些已知條件和有用的東西，在此基礎(chǔ)上明確問題中有哪些可供利用的有用信息；然后進(jìn)一步了解問題所提供的目標(biāo)信息，即知道要解決什么問題，由此在頭腦里形成問題事件的表象，明確問題的初始狀態(tài)和所要達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài)。

感知和理解問題時(shí)要注意對(duì)問題的已知條件和問題的初始狀態(tài)有全面而完整地認(rèn)識(shí)，尤其是對(duì)那些綜合性強(qiáng)、關(guān)系復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，要注意發(fā)現(xiàn)問題中的隱蔽條件，充分搜集有用的信息，這對(duì)實(shí)現(xiàn)問題的解決有重要的意義。例如，在問題“大數(shù)和小數(shù)的差是80.l，小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位就剛好與大數(shù)相等，大數(shù)和小數(shù)各是多少”中，大數(shù)和小數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系這一重要條件信息，題中就沒有直接告訴，而是隱蔽在“小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位剛好與大數(shù)相等”之中，需要學(xué)習(xí)者自己去發(fā)現(xiàn)。

另外，感知和理解問題時(shí)不要忽視問題目標(biāo)的導(dǎo)向作用，要根據(jù)目標(biāo)信息去搜集條件信息，這樣不僅可以更容易獲得使問題達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的所有有用信息，同時(shí)還可以有效地排除無用信息的干擾。

（二）確定求解方案。

這是一個(gè)根據(jù)前面獲得的條件信息、目標(biāo)信息、問題的初始狀態(tài)及學(xué)習(xí)者頭腦里形成的問題目標(biāo)狀態(tài)選擇解題方法，制定求解計(jì)劃的過程，這是實(shí)現(xiàn)問題解決的最關(guān)鍵的一步。這一步是一個(gè)復(fù)雜的心理活動(dòng)過程，要連續(xù)完成以下幾方面的任務(wù)。

1．問題類化。

問題類化在這里是指把問題中的主要內(nèi)容同學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法聯(lián)系起來，并把這些已有的知識(shí)和方法作為重新組合成解決問題的新方法的依據(jù)和基礎(chǔ)。如在上例中，這一步就是將問題中的內(nèi)容同原來已掌握的“小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化規(guī)律”�！敖獯鸩畋秵栴}的方法”等內(nèi)容聯(lián)系起來，讓這些內(nèi)容在學(xué)習(xí)者頭腦里處于激活狀態(tài)，為后面確定求大數(shù)和小數(shù)的解題方法做好準(zhǔn)備。

如果問題內(nèi)容太復(fù)雜、太抽象，一時(shí)難以類化，就應(yīng)采取適當(dāng)?shù)拇胧┙档碗y度，使問題同學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容建立起聯(lián)系。其方法一是可以利用實(shí)物、模像或圖示等直觀手段，使問題中的隱蔽條件明朗化；二是可以利用適當(dāng)改變問題內(nèi)容的敘述方式，將逆向表述的問題變成順向表述的問題，使問題內(nèi)容同學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起直接的聯(lián)系。

2．尋找解決問題的突破口。

尋找解題的突破口，在這里包含兩方面的任務(wù)：一是抓住問題解決的關(guān)鍵，找到解題的主攻方向；二是明確從什么地方入手去解決問題，確定解題思維的起點(diǎn)。這一步對(duì)整個(gè)解題過程至關(guān)重要，它是問題能否實(shí)現(xiàn)順利解決的關(guān)鍵。由于解決問題時(shí)所采用的思維方法和思維起點(diǎn)的不同，所以這一步在具體實(shí)施過程中具有相對(duì)的靈活性，有些問題可以從目標(biāo)入手去找問題解決的條件，有些問題應(yīng)當(dāng)從條件入手通過條件的組合去實(shí)現(xiàn)問題的解決，有些問題需要將兩者結(jié)合起來思考找出問題解決的辦法。到底從什么地方入手去解決問題，要根據(jù)不同數(shù)學(xué)問題的具體情況和學(xué)習(xí)者的思維習(xí)慣及發(fā)展水平去定，不能一概而論。

3．確定解題步驟。

確定解題步驟是指學(xué)生在頭腦里擬出問題求解的具體操作程序，即確定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求學(xué)生寫出書面的解題計(jì)劃。從解決問題的思考過程來講，這一步主要是一個(gè)確定解題思維發(fā)展方向的問題，即在前面已確定的思考起點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步確定出整個(gè)解題過程應(yīng)沿著什么方向思考下去，以保證解題時(shí)思維目標(biāo)信息確定的方向順利進(jìn)行。解題時(shí)思維過程的發(fā)展方向是直接受思考起點(diǎn)制約的，同一問題如果思考起點(diǎn)不同，思維過程展開的方向也不同。例如“小玲讀一本故事書，第一天讀了全書的25％，第二天讀了余下的，還剩下45頁沒有讀。這本故事書一共有多少頁？”制定求解方案時(shí)，如果以求二天所看頁數(shù)占全書總頁數(shù)的分率為突破口，其思維過程就可以沿著“第二天看了全書的幾分之幾→剩下的45頁占全書的總頁數(shù)的幾分之幾→全書共有多少頁”的方向展開；如果以求第一天看后還剩下的頁數(shù)為突破口，就先把第一天看后還剩下的頁數(shù)看做單位“l(fā)”，然后再把全書總頁數(shù)著做單位“l(fā)”，其思維過程是：先求出第二天讀后剩下的45頁對(duì)應(yīng)的分率，再求第一天讀后剩下的頁數(shù)，緊接著求第一天讀25％后還剩下百分之幾沒有讀，最后求出全書的總頁數(shù)。確定解題步驟時(shí)，不管以什么為思考起點(diǎn)和沿著什么方向展開思維，都要注意兩點(diǎn)：一是要注意問題目標(biāo)的導(dǎo)向，思考的方向始終要朝著問題的目標(biāo)狀態(tài)展開；二是思維活動(dòng)不能脫離數(shù)學(xué)問題所給定的條件，只能在問題的運(yùn)算信息所允許的范圍內(nèi)進(jìn)行。

（三）實(shí)施問題解答。

實(shí)施問題解答就是將前面所制定的解題計(jì)劃付諸實(shí)施，使問題達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。它要求學(xué)習(xí)者按照既定的解題思路有序地進(jìn)行推導(dǎo)、運(yùn)算、操作，直到得出正確的答案。這一步既是一個(gè)執(zhí)行解題計(jì)劃的過程，同時(shí)也是一個(gè)檢驗(yàn)和修正解題計(jì)劃的過程。解題時(shí)如果發(fā)現(xiàn)前面所制定的求解計(jì)劃和解題思路不當(dāng)或者不簡便，應(yīng)及時(shí)修正，以減少解題過程中的失誤，使問題比較順利地達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

（四）總結(jié)評(píng)價(jià)。

問題解決以后，學(xué)習(xí)者還應(yīng)主動(dòng)對(duì)自己的求解過程和結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，看解題過程是否合理、簡便，結(jié)果是否正確。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真分析錯(cuò)誤的原因，并及時(shí)糾正錯(cuò)誤，使問題獲得正確答案�？偨Y(jié)評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)注意分析問題還有無其它解答方法、還有哪些新的方法，這樣有利于學(xué)生養(yǎng)成從不同角度去分析和解決問題的能力及思維習(xí)慣。

總結(jié)評(píng)價(jià)是構(gòu)成數(shù)學(xué)問題解決過程的一個(gè)不可缺少的步驟，它對(duì)學(xué)生反省解題過程，保證解題過程及結(jié)果的正確性，提高學(xué)生自我反思和評(píng)價(jià)能力都具有十分重要的意義。

主要參考文獻(xiàn)：

1．周玉仁主編《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》，中國人民大學(xué)出版社1999年版。

2．汪繩祖主編《小學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)》，高等教育出版社1997年版。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2001年第11

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