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數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)
一、數(shù)學(xué)技能的含義及作用
技能是順利完成某種任務(wù)的一種動作或心智活動方式。它是一種接近自動化的、復(fù)雜而較為完善的動作系統(tǒng)，是通過有目的、有計劃的練習(xí)而形成的。數(shù)學(xué)技能是順利完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)的動作或心智活動方式。它通常表現(xiàn)為完成某一數(shù)學(xué)任務(wù)時所必需的一系列動作的協(xié)調(diào)和活動方式的自動化。這種協(xié)調(diào)的動作和自動化的活動方式是在已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上經(jīng)過反復(fù)練習(xí)而形成的。如學(xué)習(xí)有關(guān)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計算技能，就是在掌握其運算法則的基礎(chǔ)上通過多次的實際計算而形成的。數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)上的區(qū)別。它們的區(qū)別主要表現(xiàn)為：技能是對動作和動作方式的概括，它反映的是動作本身和活動方式的熟練程度；知識是對經(jīng)驗的概括，它反映的是人們對事物和事物之間相互聯(lián)系的規(guī)律性的認識；能力是對保證活動順利完成的某些穩(wěn)定的心理特征的概括，它所體現(xiàn)的是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中反映出來的個體特征。三者之間的聯(lián)系，可以比較清楚地從數(shù)學(xué)技能的作用中反映出來。
數(shù)學(xué)技能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用可概括為以下幾個方面：
第一，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)知識的理解和掌握；
第二，數(shù)學(xué)技能的形成可以進一步鞏固數(shù)學(xué)知識；
第三，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)問題的解決；
第四，數(shù)學(xué)技能的形成可以促進數(shù)學(xué)能力的發(fā)展；
第五，數(shù)學(xué)技能的形成有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；
第六，調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性。
二、數(shù)學(xué)技能的分類
小學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，按照其本身的性質(zhì)和特點，可以分為操作技能（又叫做動作技能）和心智技能（也叫做智力技能）兩種類型。
l．數(shù)學(xué)操作技能。操作技能是指實現(xiàn)數(shù)學(xué)任務(wù)活動方式的動作主要是通過外部機體運動或操作去完成的技能。它是一種由各個局部動作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動方式。如學(xué)生在利用測量工具測量角的度數(shù)、測量物體的長度，用作圖工具畫幾何圖形等活動中所形成的技能就是這種外部操作技能。操作技能具有有別于心智技能的一些比較明顯的特點：一是外顯性，即操作技能是一種外顯的活動方式；二是客觀性，是指操作技能活動的對象是物質(zhì)性的客體或肌肉；王是非簡約性，就動作的結(jié)構(gòu)而言，操作技能的每個動作都必須實施，不能省略和合并，是一種展開性的活動程序。如用圓規(guī)畫圓，確定半徑、確定圓心、圓規(guī)一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周等步驟，既不能省略也不能合并，必須詳盡地展開才能完成圓圓的任務(wù)。
2．數(shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能是指順利完成數(shù)學(xué)任務(wù)的心智活動方式。它是一種借助于內(nèi)部言語進行的認知活動，包括感知、記憶、思維和想象等心理成分，并且以思維為其主要活動成分。如小學(xué)生在口算、筆算、解方程和解答應(yīng)用題等活動中形成的技能更多地是一些數(shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能同樣是經(jīng)過后天的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練而形成的，它不同于人的本能。另外，數(shù)學(xué)心智技能是一種合乎法則的心智活動方式，“所謂合乎法則的活動方式是指活動的動作構(gòu)成要素及其次序應(yīng)體現(xiàn)活動本身的客觀法則的要求，而不是任意的”。這些特性，反映了數(shù)學(xué)心智技能和數(shù)學(xué)操作技能的共性。數(shù)學(xué)心智技能作為一種以思維為主要活動成分的認知活動方式，它也有著區(qū)別于數(shù)學(xué)操作技能的個性特征，這些特征主要反映在以下三個方面。
第一，動作對象的觀念性。數(shù)學(xué)心智技能的直接對象不是具有物質(zhì)形式的客體本身，而是這種客體在人們頭腦里的主觀映象。如20以內(nèi)退位減法的口算，其心智活動的直接對象是“想加法算減法”或其他計算方法的觀念，而非某種物質(zhì)化的客體。
第二，動作實施過程的內(nèi)隱性。數(shù)學(xué)心智技能的動作是借助內(nèi)部言語完成的，其動作的執(zhí)行是在頭腦內(nèi)部進行的，主體的變化具有很強的內(nèi)隱性，很難從外部直接觀測到。如口算，我們能夠直接了解到的是通過學(xué)生的外部語言所反映出來的計算結(jié)果，學(xué)生計算時的內(nèi)部心智活動動作是無法看到的。
第三，動作結(jié)構(gòu)的簡縮性。數(shù)學(xué)心智技能的動作不像操作活動那樣必須把每一個動作都完整地做出來，也不像外部言語那樣對每一個動作都完整地說出來，它的活動過程是一種高度壓縮和簡化的自動化過程。因此，數(shù)學(xué)心智技能中的動作成分是可以合并、省略和簡化的。如20以內(nèi)進位加法的口算，學(xué)生熟練以后計算時根本沒有去意識“看大數(shù)”、“想湊數(shù)”、“分小數(shù)”、“湊十”等動作，整個計算過程被壓縮成一種脫口而出的簡略性過程。
三、數(shù)學(xué)技能的形成過程
1．數(shù)學(xué)操作技能的形成過程。
數(shù)學(xué)操作技能作為一種外顯的操作活動方式，它的形成大致要經(jīng)過以下四個基本階段。
（1）動作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學(xué)習(xí)者在頭腦里建立起完成某項數(shù)學(xué)任務(wù)的操作活動的定向映象。包括明確學(xué)習(xí)目標，激起學(xué)習(xí)動機，了解與數(shù)學(xué)技能有關(guān)的知識，知道技能的操作程序和動作要領(lǐng)以及活動的最后結(jié)果等內(nèi)容。概括起來講，這一階段主要是了解“做什么”和“怎樣做”兩方面的內(nèi)容。如畫角，這一階段主要是了解需畫一個多少度的角（即知道做什么）和畫角的步驟（即怎么做），以此給畫角的操作活動作出具體的定向。動作定向的作用是在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機制；通過對“做什么”和“怎么做”的了解而明確實施數(shù)學(xué)活動的程序與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動作的活動方式。
（2）動作的分解階段。這是操作技能進入實際學(xué)習(xí)的最初階段，其作法是把某項數(shù)學(xué)技能的全套動作分解成若干個單項動作，在老師的示范下學(xué)生依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動作的活動方式。如用圓規(guī)按照給定的半徑畫圓，在這一階段就可把整個操作程序分解成三個局部動作：①把圓規(guī)的兩腳張開，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周，畫出圓。通過對這三個具有連續(xù)性的局部動作的依次練習(xí)，即可掌握畫圓的要領(lǐng)。學(xué)生在這一階段學(xué)習(xí)的方式主要是模仿，一方面根據(jù)老師的示范進行模仿；另一方面也可以根據(jù)有關(guān)操作規(guī)則的文字描述進行模仿，如根據(jù)幾何作圖規(guī)則對各個動作活動方式的表述進行模仿。模仿不一定都是被動的和機械的，“模仿可以是有意的和無意的；可以是再造性的，也可以是創(chuàng)造性的。”②模仿是數(shù)學(xué)操作技能形成的一個不可缺少的條件。
（3）動作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個局部動作按照一定的順序連接起來，使其形成一個連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來。如畫圓，在這一階段就可將三個步驟綜合起來形成一體化的操作系統(tǒng)。這時由于局部動作之間尚處在銜接階段，所以動作還難以維持穩(wěn)定性和精確性，動作系統(tǒng)中的某些環(huán)節(jié)在銜接時甚至還會出現(xiàn)停頓現(xiàn)象。不過，總的來講這一階段動作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過程中的多余動作也明顯減少，已形成完整而有序的動作系統(tǒng)。
（4）動作的熟練階段。這是操作技能形成的最后階段，在這一階段通過練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點。動作之間相互干擾和不協(xié)調(diào)的現(xiàn)象完全消除，動作具有高度的正確性和穩(wěn)定性，并且不管在什么條件下全套動作都能流暢地完成。如這時的畫圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動作，并且能充分保證其正確性。上述分析表明，數(shù)學(xué)操作技能的形成要經(jīng)過“定向→分解→整合→熟練”的發(fā)展過程。在這一過程中每一個發(fā)展階段都有自己的任務(wù)：定向階段的主要任務(wù)是掌握操作的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和每一個步驟操作的要領(lǐng)；分解階段的主要任務(wù)是對活動的操作系列進行分解，并逐一模仿練習(xí)；整合階段的主要任務(wù)是在動作之間建立聯(lián)系，使活動協(xié)調(diào)一體化；熟練階段的任務(wù)則主要是使整個操作過程高度完善化和自動化。
2．數(shù)學(xué)心智技能的形成過程。
關(guān)于數(shù)學(xué)心智技能形成過程的研究，人們比較普遍地采用了原蘇聯(lián)心理學(xué)家加里培林的研究成果。加里培林認為，心智活動是一個從外部的物質(zhì)活動到內(nèi)部心智活動的轉(zhuǎn)化過程，既內(nèi)化的過程。據(jù)此，在這里我們把小學(xué)生數(shù)學(xué)心智技能的形成過程概括為以下四個階段。
（1）活動的認知階段。這是數(shù)學(xué)心智活動的認知準備階段，主要是讓學(xué)生了解并記住與活動任務(wù)有關(guān)的知識，明確活動的過程和結(jié)果，在頭腦里形成活動本身及其結(jié)果的表象。如學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法計算技能，在這一步就是讓學(xué)生回憶并記住除法商不變性質(zhì)和除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則等知識，在此基礎(chǔ)上明確計算的程序和每一步計算的具體方法，以此在頭腦里形成除數(shù)是小數(shù)除法計算過程的表象。認知階段實際上也是一種心智活動的定向階段，通過這一階段，學(xué)習(xí)者可以建立起進行數(shù)學(xué)心智活動的初步自我調(diào)節(jié)機制，為后面順利進行認知活動提供內(nèi)部控制條件。這一階段的主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動程序，并讓這種程序的動作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。
（2）示范模仿階段。這是數(shù)學(xué)心智活動方式進入具體執(zhí)行過程的開始，這一階段學(xué)生把在頭腦里已初步建立起來的活動程序計劃以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。不過，這種執(zhí)行通常是在老師指導(dǎo)示范下進行的，老師的示范通常是采用語言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式進行的，即在言語指導(dǎo)的同時呈現(xiàn)活動過程中的某些步驟。如計算乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法時，一方面根據(jù)運算法則指導(dǎo)運算步驟；另一方面在表述運算規(guī)定的同時重點示范用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)所得的部分積的對位，以此讓學(xué)生在老師的幫助、指導(dǎo)下順利地掌握兩位數(shù)乘多位數(shù)計算的活動方式。在這一階段，學(xué)生活動的執(zhí)行水平還比較低，通常停留在物質(zhì)活動和物質(zhì)化活動的水平上�！八^物質(zhì)活動是指動作的客體是實際事物，所謂物質(zhì)化活動是指活動不是借助于實際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫、圖解、言語等進行的”。③如解答復(fù)合應(yīng)用題，在這一步學(xué)生通常就是借助線段圖進行分析題中數(shù)量關(guān)系的智力活動的。
（3）有意識的言語階段。這一階段的智力活動離開了活動的物質(zhì)和物質(zhì)化的客體而逐步轉(zhuǎn)向頭腦內(nèi)部，學(xué)生通過自己的言語指導(dǎo)而進行智力活動，通常表現(xiàn)為一邊操作一邊口中念念有詞。如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在這一步學(xué)生往往是一邊計算，口中一邊念：相同數(shù)位對位，從個位加起，個位滿十向十位進1。很明顯，這時的計算過程是伴隨著對法則運算規(guī)定的復(fù)述進行的。在這一階段，學(xué)生出聲的外部言語活動還會逐步向不出聲的外部言語活動過渡，如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在本階段的后期學(xué)生往往是通過默想法則規(guī)定的運算步驟進行計算的。這一活動水平的出現(xiàn)，標志著學(xué)生的活動已開始向智力活動水平轉(zhuǎn)化。
（4）無意識的內(nèi)部言語階段。這是數(shù)學(xué)心智技能形成的最后的一個階段，在這一階段學(xué)生的智力活動過程有了高度的壓縮和簡化，整個活動過程達到了完全自動化的水平，無需去注意活動的操作規(guī)則就能比較流暢地完成其操作程序。如用簡便方法計算45＋99×99＋54，在這一階段學(xué)生無需去回憶加法交換律和結(jié)合律、乘法分配律等運算定律，就能直接先合并45和54兩個加數(shù)，然后利用乘法分配律進行計算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個計算過程完全是一種流暢的自動化演算過程。在這一階段，學(xué)生的活動完全是根據(jù)自己的內(nèi)部言語進行思考的，并且總是用非常簡縮的形式進行思考的，活動的中間過程往往簡約得連自己也察覺不到了，整個活動過程基本上是一種自動化的過程。
四、
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數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)方法
1．數(shù)學(xué)操作技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)操作技能的基本方法是模仿練習(xí)法和程序練習(xí)法。前者是指學(xué)生在學(xué)習(xí)中根據(jù)老師的示范動作或教材中的示意圖進行模仿練習(xí)，以掌握操作的基本要領(lǐng)，在頭腦里形成操作過程的動作表象的一種學(xué)習(xí)方法。用工具度量角的大小、測量物體的長短、幾何圖形的作圖、幾何圖形面積和體積計算公式推導(dǎo)過程中的圖形轉(zhuǎn)化等技能一般都可以通過模仿練習(xí)法去掌握。如推導(dǎo)平行四邊形面積計算公式時，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的操作技能就可模仿（人教版）教材插圖（如圖所示）的操作過程去練習(xí)和掌握。小學(xué)生的學(xué)習(xí)更多的是模仿老師的示范動作，所以老師的示范對小學(xué)生數(shù)學(xué)動作技能的形成尤為重要。教師要充分運用示范與講解相結(jié)合、整體示范與分步示范相結(jié)合等措施，讓學(xué)生準確無誤地掌握操作要領(lǐng)，形成正確的動作表象。所謂程序練習(xí)法，就是運用程序教學(xué)的原理將所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)動作技能按活動程序分解成若干局部的動作先逐一練習(xí)，最后將這些局部的動作綜合成整體形成程序化的活動過程。如用量角器量角的度數(shù)、用三角板畫垂線和平行線、畫長方形等技能的學(xué)習(xí)都可以采用這種方法。用這種方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)動作技能，分解動作時注意突出重點，重點解決那些難以掌握的局部動作，這樣可以有效地提高學(xué)習(xí)效率。
2．數(shù)學(xué)心智技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)生的心智技能主要是通過范例學(xué)習(xí)法和嘗試學(xué)習(xí)法去獲得的。范例學(xué)習(xí)法是指學(xué)習(xí)時按照課本提供的范例，將數(shù)學(xué)技能的思維操作程序一步一步地展現(xiàn)出來，然后根據(jù)這種程序逐步掌握技能的心智活動方式。整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則計算，課本幾乎都提供了計算的范例，學(xué)習(xí)時只需要根據(jù)范例有序地進行計算即可掌握計算方法。如被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法的簡便算法，課本安排了如下范例,學(xué)習(xí)時只需要明確范例所反映的計算程序和方法，并按照這種程序和方法進行計算即可掌握被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法簡便計算的技能。嘗試學(xué)習(xí)法是指在學(xué)習(xí)中主要由學(xué)生自己去嘗試探索問題解決的方法和途徑，并在不斷修正錯誤的過程中找出解決問題的操作程序，進而獲得數(shù)學(xué)技能。這是一種探究式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法，總結(jié)運算規(guī)律和性質(zhì)并運用它們進行簡便計算、解答復(fù)合應(yīng)用題、求某些比較復(fù)雜的組合圖形的面積或體積等技能都可以運用這種學(xué)習(xí)方法去掌握。這種方法較多地運用于題目本身具有較強探究性的變式問題解決的學(xué)習(xí)，如用簡便方法計算1001÷12.5，由于學(xué)生在前面已經(jīng)掌握除法商不變性質(zhì)，練習(xí)時就可通過將除數(shù)和被除數(shù)部乘以8使除數(shù)變成100的途徑去實現(xiàn)計算的簡便。嘗試學(xué)習(xí)法雖然有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問題的能力，但耗時太多，學(xué)習(xí)時最好是將它和范例學(xué)習(xí)法結(jié)合起來，兩種學(xué)習(xí)方法互為補充，這樣數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)就會更加富有成效。
注：
①、②馮忠良著《結(jié)構(gòu)化與定向化教學(xué)心理學(xué)原理》，北京師范大學(xué)出版社1998年版。③周玉仁主編《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》，中國人民大學(xué)出版社1999年版。
《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2001年第10上一頁 [1] [2]
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