小學(xué)數(shù)概念的發(fā)展及其教學(xué)的階段性

     
小學(xué)數(shù)概念是小學(xué)生正確進(jìn)行列式、計算、判斷、推理等教學(xué)活動的基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容，其主要任務(wù)是要使學(xué)生獲得科學(xué)、完整的數(shù)概念，但是小學(xué)生掌握數(shù)概念是一個主動的、復(fù)雜的過程，不能一次完成，而是隨著知識經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展，對已掌握的概念不斷加以充實(shí)和改造，于是對于某一種概念，教材對小學(xué)各年級學(xué)生要求掌握的廣度和深度是不一樣的，正如列寧所說：“認(rèn)識是思維對客體的永遠(yuǎn)的、沒有止境的接近�！睘榇吮疚脑噺男�學(xué)數(shù)概念發(fā)展規(guī)律和小學(xué)生掌握數(shù)概念的特點(diǎn)來闡述其教學(xué)中的階段性。

一、小學(xué)生數(shù)概念的逐步深刻化

小學(xué)生數(shù)概念的深刻化是他們思維發(fā)展的重要方面，小學(xué)生只有正確而深刻地掌握數(shù)概念，才能順利地進(jìn)行抽象概括，形成判斷、推理，理解客觀事物，并發(fā)展分析問題和解決問題的能力。根據(jù)我國心理學(xué)家丁祖蔭的研究：小學(xué)生概念掌握表現(xiàn)了階段特征。

1、小學(xué)低年級學(xué)生，較多應(yīng)用“具體實(shí)例”、“直觀特征”型式掌握概念，也就是說獲得數(shù)學(xué)概念的主要方式是“概念形成”，他們獲得數(shù)概念的過程，往往是個反復(fù)感知，辨認(rèn)同類事物不同例子，分不同層次抽象概括其本質(zhì)特征的過程。

一年級學(xué)生是這樣形成10以內(nèi)數(shù)概念：數(shù)實(shí)物（使實(shí)物與數(shù)目相聯(lián)系）——撥算珠（抽象出事物的數(shù)量特征，用有形的算珠代表事物）——讀寫數(shù)字（用抽象的數(shù)字代替算珠）——形成數(shù)概念。

隨著數(shù)概念范圍逐步擴(kuò)展，在學(xué)習(xí)20以內(nèi)數(shù)、100以內(nèi)數(shù)，萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識過程中獲得數(shù)概念的方式是基本相同的，但每個階段具體要求是不同的，體現(xiàn)了從易到難，從簡單到復(fù)雜不同層次水平，從具體到抽象的順序不斷發(fā)展深化，下面就數(shù)數(shù)和讀寫數(shù)為例加以說明：

教學(xué)20以內(nèi)認(rèn)數(shù)時，在數(shù)實(shí)物的過程中突出“十”為單位的基礎(chǔ)上一個個地數(shù)，孕伏計數(shù)單位“十”和“一”；在讀寫數(shù)的過程中要憑借實(shí)物圖，從圖、數(shù)的對應(yīng)地讀，寫做起，以便突出20以內(nèi)數(shù)的組成。

教學(xué)100以內(nèi)認(rèn)數(shù)時，數(shù)實(shí)物要分層進(jìn)行：第一層從二十起一根根地數(shù)到100，弄清100以內(nèi)數(shù)的順序，第二層十根十根地數(shù)，數(shù)到100掌握整十?dāng)?shù)的順序并感知10個十是一百，第三層接近整十?dāng)?shù)往下數(shù)，突破認(rèn)識100以內(nèi)數(shù)的順序難點(diǎn)，第四層在數(shù)數(shù)的過程中憑借實(shí)物感知100以內(nèi)數(shù)的組成，在讀、寫教學(xué)中不再依靠實(shí)數(shù)而是借助計數(shù)器。在感知數(shù)位的基礎(chǔ)上形成讀、寫一般表象“都從高位起”。

教學(xué)萬以內(nèi)認(rèn)數(shù)，有了100一以內(nèi)數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)同時由于數(shù)的再擴(kuò)展，所以通過計算器半軸象地進(jìn)行數(shù)數(shù)練習(xí)；在讀、寫數(shù)教學(xué)中要提高抽象概括的水平，如讀數(shù)第一步通過656、3812兩數(shù)讀法總結(jié)出“從高位起”，按照數(shù)位順序讀，千位上是幾千，……個位上是幾就讀“幾”，第二步通過703、5006兩數(shù)讀法總結(jié)出“中間有一個0或兩個0，只讀一個零”，第三步通過400、8000兩個數(shù)的讀法總結(jié)出“末尾不管有幾個0，都不讀”，第四步通過3040讀法，最后總結(jié)性概括讀法。

2、小學(xué)中年級是處于直觀概括水平到抽象概括水平的過渡階段。學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)和認(rèn)識發(fā)展水平已逐步具備概念同化的條件，數(shù)概念的學(xué)習(xí)可以運(yùn)用已掌握的萬以內(nèi)數(shù)的概念去理解新的多位數(shù)的概念，把萬以內(nèi)數(shù)的概念與多位數(shù)的新概念進(jìn)行聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識遷移，使多位數(shù)概念的本領(lǐng)特征在學(xué)生頭腦中得到類化，從而得到融會貫通。

在多位數(shù)的讀法和寫法教學(xué)時，我們可以引導(dǎo)把10個一是十……10個一千是一萬的數(shù)法類推到10個一萬是十萬，……10個一千萬是一億……的數(shù)法，通過計數(shù)器上多次操作后概括出“10個較低的單位等于1個較高的單位，每個相鄰的單位之間的進(jìn)率都是10”的十進(jìn)制計數(shù)法；多位數(shù)的讀、寫法也可以從個級、萬級類推到億級，最后綜合概括。當(dāng)然在訓(xùn)練的過程中還應(yīng)該注意借助計數(shù)器，數(shù)位順序作為中介逐步獨(dú)立抽象地讀、寫過渡。

至此為止，在學(xué)生頭腦中，仍只認(rèn)識一些具體數(shù)，而不知道什么叫“數(shù)”，即使以后引進(jìn)小數(shù)初步認(rèn)識，學(xué)生也不知道數(shù)的各種類別，因此只要能讀會寫就可以了，沒有必要給出“整數(shù)”這個概念。

3、高年級的學(xué)生已初步形成數(shù)概念結(jié)構(gòu)，分化融合新概念的能力大大提高，常常能利用舊的概念對新概念進(jìn)行本質(zhì)分析、判斷，逐漸能夠根據(jù)非直觀的“重要屬性”、“實(shí)際功能”、“種屬關(guān)系”掌握概念。在“數(shù)的整除”這單元中要經(jīng)常用到自然數(shù)、整數(shù)這兩個概念，因此必須使學(xué)生理解掌握和正確區(qū)分它們。首先可以分別運(yùn)用舉例方法定義自然數(shù)概念，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、……叫自然數(shù)。因?yàn)橐粋�物體也沒有無需數(shù)數(shù)，“自然數(shù)和0都是整數(shù)”，而且簡要說明整數(shù)不僅是自然數(shù)和零，還包括其它的數(shù)，以增強(qiáng)概念科學(xué)性。

基于以上認(rèn)識小學(xué)整數(shù)概念深刻化分為“二十以內(nèi)”、“百以內(nèi)”、“萬以內(nèi)”、“多位數(shù)”、“整數(shù)”幾個階段循序漸進(jìn)，螺旋上升式地發(fā)展，每個階段各有重點(diǎn)，“二十以內(nèi)”以認(rèn)識基數(shù)、序數(shù)，掌握計數(shù)單位“一”為重點(diǎn)；“百以內(nèi)”以掌握計數(shù)單位“十”為重點(diǎn)；“萬以內(nèi)”以掌握計數(shù)單“百”、“千”和數(shù)位為重點(diǎn)；多位數(shù)以掌握十進(jìn)制計數(shù)法為重點(diǎn)；“數(shù)的整除”以定義整數(shù)概念為重點(diǎn)，經(jīng)過多次循環(huán)逐步完成小學(xué)階段整數(shù)的基本認(rèn)識并不斷深化。

二、小學(xué)生數(shù)概念的逐步豐富化

在數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)際生活的運(yùn)算過程中，小學(xué)數(shù)的數(shù)概念迅速地獲得發(fā)展，數(shù)概念的內(nèi)容不斷豐富，運(yùn)算能力逐步地提高，其發(fā)展和豐富的趨勢為：

1、數(shù)概念的廣度和深度不斷發(fā)展

根據(jù)教材的編排，數(shù)概念認(rèn)識是以整數(shù)為基礎(chǔ)按整數(shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的順序擴(kuò)展其范圍，為體現(xiàn)認(rèn)識的階段性，整數(shù)分五段逐步擴(kuò)展其范圍，小數(shù)和分?jǐn)?shù)又都分為兩個階段進(jìn)行。第一階段都是結(jié)合實(shí)際初步感知，不給出定義；第二階段已具備抽象理解的條件又有前一階段教學(xué)的基礎(chǔ)，把感性的認(rèn)識提高到理性，并不斷增加認(rèn)識的深度，比如分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識階段平均分的物件“一”與數(shù)量1所表示的意義是一致的（一個物體、一個圖形或一條線段）而在分?jǐn)?shù)理性認(rèn)識的第二階段對單位“1”的理解體現(xiàn)了一定深度（不僅可表示一個物體還可以表示一個計量單位，一類物體組成的一個整體）；在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識階段只從一個方面來認(rèn)識意義，而在理性認(rèn)識第二階段不僅要從定義上理解一般意義，還要就分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系方面加以理解。

2、數(shù)概念的內(nèi)涵逐漸豐富

小學(xué)數(shù)概念不僅按學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)擴(kuò)展不斷豐富，還將隨知識結(jié)構(gòu)發(fā)展規(guī)律逐漸豐富其內(nèi)涵完善數(shù)概念。如“0”的認(rèn)識，小學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)5以后就開始學(xué)了，這時“0”的意義有兩個：其一表示沒有；其二表示起點(diǎn)：在學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)數(shù)的讀寫以及被乘（除）數(shù)中間有0和末尾有0的乘除法以后，0起著占位的作用，表示一個單位也沒有，這是第一種意義的延續(xù)，到了學(xué)習(xí)用四舍五入法截取小數(shù)近似數(shù)這一內(nèi)容時，“0”的意義增添了新的內(nèi)涵，通過比較30與3，使學(xué)生明確小數(shù)末尾0，表示精確度（2.95 ~ 3.04）。當(dāng)然“0”的意義還不止這三個方面，其它的到中學(xué)再學(xué)。

三、小學(xué)數(shù)概念的逐步系統(tǒng)化

兒童概念的發(fā)展不僅表現(xiàn)在概念本身的不斷充實(shí)和改造上，而且表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的掌握上，因?yàn)樾�學(xué)生要掌握的概念不是各自孤立、互不相關(guān)的，任何一個概念總是與其他有關(guān)概念有一定區(qū)別又有一定聯(lián)系。因此教師要經(jīng)常不失時機(jī)地不斷引導(dǎo)學(xué)生掌握有關(guān)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，完成概念的系統(tǒng)化。

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，各個概念不是孤立存在，而是緊密聯(lián)系著的，要很好地掌握數(shù)概念和運(yùn)用數(shù)概念，就不僅要掌握每個概念的內(nèi)涵外延，還必須了解概念間的聯(lián)系，按邏輯角度引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)概念基本的幾種關(guān)系（如下圖所示）。

 

 

無限小數(shù) 自然數(shù)

 

質(zhì)數(shù) 整

素數(shù) 數(shù)

 

同一關(guān)系 交叉關(guān)系 矛盾關(guān)系 對立關(guān)系

 

“質(zhì)數(shù)”和“素數(shù)”兩個概念在外延上完全重合，是同一關(guān)系；“自然數(shù)”的全部外延包含在“整數(shù)”和外延之中是從屬關(guān)系“偶數(shù)”和“質(zhì)數(shù)”兩個外延只部分重合是交叉關(guān)系；“循環(huán)小數(shù)”和“不循環(huán)小數(shù)”兩個外延互相排斥而它們的外延相加的和又等于鄰近的種概念“無限小數(shù)”的外延是矛盾關(guān)系；“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”這兩個概念的外延互相排斥，而它們的外延相加的和小于鄰近的種概念“自然數(shù)”的外延是對立關(guān)系……

除此之外對于確定的概念從非邏輯的各種角度考慮還會有各種不同的關(guān)系；如20和5，從數(shù)字大小考慮是20＞5；把20看作單位“1”則是部分與整體關(guān)系；從“整除”的角度考慮又是約數(shù)和倍數(shù)關(guān)系……所以這些都是教師在教學(xué)中應(yīng)該注意的。

由小到大地建立數(shù)概念系統(tǒng)。

數(shù)概念之間，前后之間，縱向之間的聯(lián)系，每個相對獨(dú)立數(shù)概念都是整個數(shù)概念之間的組成部分，教師在教學(xué)中要重視揭示這些概念之間的共通性。

（1）進(jìn)行縱向疏理，前后溝通組建數(shù)概念小系統(tǒng)。如：

純小數(shù)

帶小數(shù)

有限小數(shù)

無限小數(shù)

 

 

（2）注意橫向溝通，套成數(shù)概念鏈。

如： 整 除

 

倍 數(shù) 約 數(shù) 奇數(shù)與偶數(shù)

 

公倍數(shù) 質(zhì)數(shù)和合數(shù) 公約數(shù)

 

最小公倍數(shù) 分解質(zhì)因數(shù) 最大公約數(shù)

 

互質(zhì)數(shù)

 

（3）縱橫綜合，融會貫通，形成數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)。

揭示了概念縱橫聯(lián)系后，還要逐步引導(dǎo)學(xué)生尋找小系統(tǒng)與小系統(tǒng)之間“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，穿線結(jié)網(wǎng)，聯(lián)結(jié)成概念較大系統(tǒng)并能化成學(xué)生頭腦中概念的認(rèn)識結(jié)構(gòu)。

零 質(zhì)數(shù)—質(zhì)因數(shù)—分解質(zhì)因數(shù)

合數(shù)

整數(shù) 自然數(shù) 整除

奇數(shù)

偶數(shù)

數(shù) 按整數(shù)部分

小數(shù) 有限小數(shù)

無限小數(shù)

真分?jǐn)?shù)

假分?jǐn)?shù)—帶分?jǐn)?shù)

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，為幫助小學(xué)數(shù)概念系統(tǒng)化，要注意：必須按照概念系統(tǒng)本身的邏輯順序去掌握，做到循環(huán)漸進(jìn)，因?yàn)橹�識本身是有序的；必須幫助學(xué)生學(xué)會對材料進(jìn)行分類和系統(tǒng)化工作，也就是對許多有關(guān)概念進(jìn)行抽象概括。

綜上所述，在教學(xué)中小學(xué)生從掌握表象到掌握概念，從掌握概念到深化發(fā)展概念，最后到概念系統(tǒng)化是小學(xué)數(shù)思維發(fā)展一般道路，也是我們進(jìn)行概念教學(xué)應(yīng)遵循的規(guī)律。