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取之規(guī)律 用之創(chuàng)造--《幾何畫板》教學(xué)方法研討
取之規(guī)律 用之創(chuàng)造--《幾何畫板》教學(xué)方法研討
[內(nèi)容摘要] 在信息技術(shù)課中開設(shè)《幾何畫板》的選修活動(dòng)課程，其教學(xué)目標(biāo)是：用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)，激活大腦，激發(fā)興趣，激起靈感，構(gòu)建問題，探討規(guī)律，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，勇于創(chuàng)造。在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，全身心地投入到對(duì)問題的求解上，通過認(rèn)識(shí)、實(shí)踐的不斷變化過程中，悟出規(guī)律，構(gòu)建模型，掌握創(chuàng)造性思維方法。打破定勢(shì)思維，讓觸角伸向四面八方，從數(shù)學(xué)知識(shí)中要方法，要規(guī)律，要模型。啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維。為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的環(huán)境。在鍥而不舍的探求中解決問題，引發(fā)創(chuàng)新的線索。
[關(guān)鍵詞] 幾何畫板任務(wù)驅(qū)動(dòng)探討規(guī)律構(gòu)建模型發(fā)散思維創(chuàng)新精神 《幾何畫板》作為電子尺規(guī)，是研究幾何圖形的關(guān)系，動(dòng)態(tài)地觀察幾何圖形運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，探索數(shù)學(xué)信息的有力工具。是一個(gè)很適合用于幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)的工具軟件平臺(tái)，同時(shí)又以CAI創(chuàng)作工具的形式出現(xiàn)，應(yīng)用于代數(shù)、立體幾何、解析立體幾何、物理等其它學(xué)科的教學(xué)和學(xué)習(xí)中。在信息技術(shù)課中開設(shè)《幾何畫板》的選修活動(dòng)課程，其教學(xué)目標(biāo)是：用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)，發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，構(gòu)建問題，探討規(guī)律，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，勇于創(chuàng)造。
1. 熟，能，生巧
進(jìn)入幾何畫板，打開幾何世界之窗。教會(huì)學(xué)生用電子尺規(guī)工具熟練地作基本的幾何圖形。并能運(yùn)用幾何關(guān)系完成相對(duì)位置關(guān)系的幾何圖形，例如布置學(xué)生完成"作平行線族"，"從圓外一點(diǎn)向圓引切線"，"最少的步驟作一正方形"，見圖1，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，充分發(fā)揮自己的想象力，在短時(shí)間內(nèi)，盡可能多地運(yùn)用畫板中提供的功能，完成好課堂作業(yè)。幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形猶如一枚石子，在學(xué)生平靜的心湖激起層層創(chuàng)造性思維的漣漪。有人巧妙地應(yīng)用標(biāo)識(shí)向量和平移實(shí)現(xiàn)"可控的"平行線族；運(yùn)用兩次的旋轉(zhuǎn)變換作出了準(zhǔn)確的正方形；連接圓心與圓外的一點(diǎn)的線段為直徑作輔助圓，兩圓交點(diǎn)即是所求的切點(diǎn)。以此類的例子作為授課的線索，拉開幾何畫板基本操作學(xué)習(xí)的序幕，旨在激活大腦，激發(fā)興趣，激起靈感。
2. 任務(wù)驅(qū)動(dòng)，尋求規(guī)律
在學(xué)生充分感知、興趣盎然之時(shí)，為學(xué)生提供有代表性、規(guī)律性、創(chuàng)造性的范例，來(lái)誘發(fā)學(xué)生的觀察力、判斷力、想象力，使學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，全身心地投入到對(duì)問題的求解上，通過認(rèn)識(shí)、實(shí)踐的不斷變化過程中，悟出規(guī)律，構(gòu)建模型，解決問題，掌握創(chuàng)造性思維方法。
(1) 從實(shí)踐認(rèn)識(shí)中摸索規(guī)律
任務(wù)一：模擬"活塞運(yùn)動(dòng)"過程。
作如圖2所示的模型（容易想到），但讓它運(yùn)動(dòng)起來(lái)無(wú)論如何都不是"活塞運(yùn)動(dòng)"過程，而是l的伸縮運(yùn)動(dòng)。怎么辦？通過反復(fù)的實(shí)踐比較，學(xué)生們會(huì)摸索出讓定線段l運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，作出如圖3的模型。
往下的任務(wù)是對(duì)圖3進(jìn)行加工美化，使之逼真地模擬"活塞運(yùn)動(dòng)"過程。
(2) 從數(shù)學(xué)知識(shí)中悟出規(guī)律
任務(wù)二：以參數(shù)p，作y2=2px的拋物線軌跡。
完成任務(wù)二可以給定p的實(shí)數(shù)值，通過測(cè)算變換畫出拋物線來(lái)，那是真正意義上"畫" 拋物線了，對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)研究用處不大。這里要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)拋物線定義和幾何性質(zhì)的鉆研，因勢(shì)利導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，悟出拋物線點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。作出如圖4的模型。
從拋物線的定義知，焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線l的距離相等的點(diǎn)M的軌跡。這就是我們作拋物線的依據(jù)，同時(shí)從中垂線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等中得到啟發(fā)，于是之，作拋物線的步驟歸結(jié)如下：
●在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)K，連結(jié)F ●作線段KF的中垂線 ●過K作X軸的平行線交中垂線于M
跟蹤M點(diǎn)，當(dāng)K點(diǎn)在l上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)軌跡即為拋物線。拖動(dòng)F點(diǎn)，改變參數(shù)p，觀察拋物線形狀，準(zhǔn)線的位置。
獲得的啟示：要盡可能打破由方程做軌跡的定勢(shì)思維，讓觸角伸向四面八方，從數(shù)學(xué)知識(shí)中要方法，要規(guī)律，要模型。啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維。
3) 從發(fā)散思維中總結(jié)規(guī)律
任務(wù)三：作一定長(zhǎng)的線段l的兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)過程的軌跡。
如圖5，讓定長(zhǎng)的線段l的兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上自由地滑動(dòng)，也不是一件容易的事。指導(dǎo)學(xué)生求異、求新、發(fā)散思維，進(jìn)行多角度聯(lián)想，充分借用已有知識(shí)與技巧，獨(dú)辟蹊徑，構(gòu)造線段滑動(dòng)變換的運(yùn)動(dòng)模型。使發(fā)散性思維的成果熠熠生輝。構(gòu)思巧妙，耐人尋味。
圖6的模型形成：以O(shè)為圓心，l為半徑作輔助圓；在輔助圓上任取一點(diǎn)p，過p分別向兩坐標(biāo)軸引垂線，交Y軸于M，交X軸于N。易證MN恒等于l的長(zhǎng)度。這樣點(diǎn)p繞輔助圓運(yùn)動(dòng)，而線段l就在坐標(biāo)軸上自由地滑動(dòng)。
學(xué)生在發(fā)散思維的誘導(dǎo)下，輕輕松松總結(jié)出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可真謂"四兩撥千斤"。通過多層次的刺激，激發(fā)學(xué)生積極地思維，創(chuàng)造性地思維，使學(xué)生創(chuàng)造思維能力不斷躍上一個(gè)個(gè)新的臺(tái)階。
3.發(fā)揮創(chuàng)造力的想象空間
《幾何畫板》為學(xué)生活用數(shù)學(xué)思想和方法創(chuàng)設(shè)了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的環(huán)境。它注重的是動(dòng)態(tài)觀察和分折計(jì)算，在鍥而不舍的探求中解決問題，引發(fā)創(chuàng)新的線索。
例題：在直線l：y=x+3的上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓方程。
通過幾何畫板解決這個(gè)問題，在探索性的教與學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的命題和成果。在求得橢圓的兩焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），探索P點(diǎn)在直線l:y=x+3上，做出長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a的動(dòng)態(tài)橢圓且求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a的最小值。
具體步驟如下：
（1）建立坐標(biāo)軸，畫出兩焦點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）以及直線l：y=x+3上的任一點(diǎn)P。 （2）畫線段PF1和PF2以P為圓心，線段PF1長(zhǎng)為半徑畫圓交PF2的延長(zhǎng)線于F3則PF3=2a。 （3）以F1、F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)F2F3=2a畫橢圓： ●以F1為圓心，F(xiàn)2F3=2a為半徑畫圓； ●在所作的圓上任取一點(diǎn)Q，連接QF1，如圖7； ●連接QF2，做QF2的中垂線，交QF1于N，如圖8；
圖7圖8
隨著Q在圓上運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)軌跡就是橢圓，如圖9（隱藏一些輔助線）。
（4）如圖10，拖動(dòng)P點(diǎn)，觀察橢圓的變化，當(dāng)l：y=x+3與橢圓相切于P0時(shí)，P0點(diǎn)即是最值點(diǎn)。于是，以直線l：y=x+3為標(biāo)識(shí)鏡面，做F1反射點(diǎn)F1'，連結(jié)F1'F2交直線l于P0點(diǎn)，連結(jié)P F1'，則P F1'＝P F1，于是有：
2a = |PF1| + |PF2 = | P F1'| + |PF2| ≥ | F1'F2|
圖9圖10
同學(xué)們?cè)跇?gòu)造橢圓的方法是很巧妙的,但同學(xué)們沒有停留在構(gòu)造橢圓上,而是通過改變決定橢圓形狀的參數(shù)，非常直觀、形象地了解這個(gè)圖形系統(tǒng)對(duì)軌跡（橢圓）的影響，發(fā)現(xiàn)其中的幾何關(guān)系,靠實(shí)驗(yàn)觀察和邏輯推理相結(jié)合去歸納總結(jié)，逐步向目標(biāo)狀態(tài)（問題的解決）逼近。使對(duì)數(shù)學(xué)問題的探討,通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納的方法去解決，起到事倍功半的作用。
《幾何畫板》提供了一個(gè)全新的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、提高了動(dòng)手能力，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)的探索與創(chuàng)造的能力。
[參考文獻(xiàn)]
《幾何畫板》潘懋德
[作者簡(jiǎn)介] 陳 光 男 師大數(shù)學(xué)本科畢業(yè)中學(xué)高級(jí)教師 福建省中青年學(xué)科帶頭人
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