數(shù)學課堂的觀察與思考

數(shù)學課堂的觀察與思考
◇ 福建省普通教育教學研究室 王 永
　　北師大版數(shù)學實驗教材為我國新一輪基礎教育教學改革提供了良好的課程環(huán)境：它大大加強了數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，使數(shù)學成為兒童對其經(jīng)驗、常識的提煉與升華的有力工具；它采取“問題情境——數(shù)學模型——解釋與應用”的敘述方式，使枯燥乏味的數(shù)學變得既有趣又有用；它以實現(xiàn)兒童的發(fā)展為宗旨，為他們提供了大量的觀察、猜想、思考、操作、驗證、自主探索與合作交流的機會，使學生收獲自信，感受自尊。我們高興地看到，學生喜歡學這樣的數(shù)學，教師也喜歡教它。
　　為了改變學生的學習方式，實驗老師們正在努力探索新的教學策略。先進的教育理念要轉(zhuǎn)化為教學實踐，不能沒有相應的教學策略作為中介。一種教學策略的優(yōu)劣，要看它是否考慮到學生的個體差異，是否確能使每個學生都得到充分的發(fā)展。教學研究的真諦，就在于尋找這樣的教學策略。能夠運用新的教學策略的課堂也確實在發(fā)生著可喜的變化：一言堂變成了群言堂，多了動感、生機和活力，還時有孩子的真知灼見，語驚四座，讓人欣喜不已。但是，問題依然尖銳地擺在我們的面前：學生的個體差異該怎樣得到關注?教學的個體化該如何得以加強?弱勢學生群體的獨立性、自主性的培養(yǎng)和發(fā)展，需要什么樣的教育環(huán)境?如何才能實現(xiàn)“不同的人學習不同的數(shù)學”的課程目標?這些深層的、棘手的課題，我們還沒有多少破解的良策。于是在對數(shù)學課堂的觀察與反思中，不斷生發(fā)出以下的追問。
　　一、是“說數(shù)學”重要，還是“做數(shù)學”重要
　　一位初中老師告訴我，他教初一時，有個一直為學不好數(shù)學而苦惱的女孩問他什么叫自然數(shù)。他沒有說教，只寫了一些數(shù)讓這個孩子把自然數(shù)找出來，看她全找對了，就肯定她——已經(jīng)懂了。這女孩既高興又驚異地問他：“老師，難道不用背自然數(shù)的定義嗎?”老師又肯定地回答：“不用。”接著，這個女孩要求老師給她補習一下分數(shù)的加減法，直到學會了才罷休。后來，這個女孩判若兩人，仿佛治好了心病似的，對數(shù)學的恐懼感消失了，不到一年，她的數(shù)學成績從不及格上升到優(yōu)等生行列。我想，這位老師對學生最重要的也是最有價值的引導，就是“會做數(shù)學”比“會說數(shù)學”更重要。
　　從對數(shù)學課堂的大量觀察中，發(fā)現(xiàn)一種普遍的現(xiàn)象：讓學生說數(shù)學比做數(shù)學的機會多得多。這是否本末倒置?存在這種現(xiàn)象的主要原因，是不是在于我們的數(shù)學教學過于迷戀集體作業(yè)的方式了?呈現(xiàn)一個問題情境后，經(jīng)�？吹降氖抢蠋熀芸炀驼垖W生起來作答，這幾個學生把問題解決了，似乎就相信全班學生都會了。這就是所謂集體作業(yè)的教學方式。老師們之所以喜歡這種教學方式，也許是它既能活躍課堂又便于控制教學節(jié)奏和進程吧。可是，蘇霍姆林斯基曾經(jīng)指出：這種方式容易造成“表面的積極性”和“一切順利”的假象。在這樣的方式下，那些中等學生和思維遲鈍的學生是否也有獨立思考、獨立解決問題的體驗，我們?nèi)圆坏枚�知，我們有理由為他們感到不安。為此，蘇霍姆林斯基的重要建議是：要把學生的獨立的、個別的作業(yè)作為學習數(shù)學的基礎。
　　有一節(jié)小學一年級數(shù)學課，讓我難以忘懷。課題是：在學過二位數(shù)減一位數(shù)不退位減法的基礎上，進一步學習二位數(shù)減一位數(shù)的退位減法。這位老師設計了一個人人都能做數(shù)學的情境，開始了師生共同探索的歷程。課前，教師為每張課桌都準備了5張卡片，每張卡片上面分別寫著2，3，7，-，=。上課伊始，教師就請同桌的兩位同學分工合作：一位用這五張卡片擺出所有可能的二位數(shù)減一位數(shù)的算式，另一位動筆記下所擺的算式，準備匯報。孩子們都動起來了，而且興致勃勃、熱烈地討論著，緊張地擺著、寫著。然后，老師才根據(jù)學生的匯報和補充，在黑板上寫下所有可能的六道算式：
　　27-3= 37-2= 73-2=
　　23-7= 32-7= 72-3=
　　老師由衷地贊賞學生所進行的探索，接著又提出挑戰(zhàn)：我們班是不是每個同學都能獨立地心算出這幾道算式的結(jié)果?請大家把這些算式都抄在自己的本子上，并寫出心算的結(jié)果；能夠算出所有算式的，還要想想該怎樣用口頭語言表述你的算法步驟；遇到障礙的要找出難點，力爭自己克服，或者翻閱課本尋求幫助。顯然，老師是在激勵孩子發(fā)揮自己的學習潛能，并讓有差異的孩子去意識、去發(fā)現(xiàn)自己的學習目標，使每個學生都有事做。幾分鐘過去了，老師巡視了全班學生獨立學習的情況后，回到講臺，拿起粉筆在黑板上醒目地寫下以下兩個算式：
　　32-7=35 32-7=25
　　“同一個算式，在我們同學中為什么會得出這樣兩個不同的結(jié)果?它們都對?都錯?還是一個對一個錯呢?”老師把全班學生的目光吸引到黑板上，以一連串的追問激發(fā)他們的認知沖突�！敖裉斓奶魬�(zhàn)是二位數(shù)減一位數(shù)，如果遇到個位數(shù)字不夠減時該怎么算?”老師挑明了探索的重點之后，要求小組展開討論：辨別上述兩種計算結(jié)果的正誤，對的要說出算理，錯的要找出錯因，課堂頓時又活躍起來。
　　到了小組匯報時，孩子們踴躍而自信。老師把學生關于32-7=25的多種算法，一一展示在黑板上；并針對32-7=35的錯誤，請用豎式算法計算這道題的同學說一說豎式算法要注意哪些問題。
　　老師對課題作了簡要的小結(jié)后，就讓學生用自己喜歡或擅長的算法當堂練習……
　　這節(jié)課始終以做數(shù)學為主旋律貫串始終，老師少教學生反而多學，讓人感到踏實、放心。老師不斷創(chuàng)設有意義的問題情境或數(shù)學活動，激勵學生自己去做數(shù)學，從做中學。在做數(shù)學中，人人都必須獨立思考，都能夠自主探究；在做數(shù)學中，人人都可能發(fā)現(xiàn)問題，產(chǎn)生合作交流的愿望。在這里，“做數(shù)學”真正成為師生互動的基礎和紐帶，成為課堂發(fā)展的原動力。從這里，我們還能體驗到：改變“重教輕學”、“重說輕做”的傾向，采取“先學后教”、“先做后說”的教學策略是必要的、有效的。
　　二、數(shù)學課本，讓不讓學生自己先學
　　有位在小學、初中數(shù)學成績蠻好的孩子，到了高中卻感到學習數(shù)學有些困難，成績在不斷下降，于是來找我指點迷津。我猜測他對數(shù)學課本可能十分陌生，果然，他說數(shù)學課本他從來就沒有讀過。還說：“學數(shù)學就靠聽課、記筆記、做習題。”他的問題在于沒有學會獨立學習，沒有擺脫對老師的依賴。蘇霍姆林斯基說過：學會學習首先要學會閱讀，一個閱讀能力不好的學生，就是一個潛在的差生。如果在小學里沒有教會他閱讀，他日后在學習中就會遇到無法克服的困難。
　　很多學生在小學沒有解決好這個問題，初中也沒有。在一堂初中的數(shù)學課上，老師講授了30分鐘新課后，留10分鐘給學生做練習。老師看到一個學生還在看書，沒做練習，就上前催他動筆。學生說：“剛才沒聽懂，想把書看懂了再做�！崩蠋焻s撂下一句：“聽都聽不懂，還想看懂?那簡直是奇跡�！笨梢�，在傳統(tǒng)觀念的禁錮下，老師還有意無意地強化著學生對老師的依賴。數(shù)學課本是學生了解世界的窗口和工具，可是，數(shù)學老師總是有意無意地擋住這個窗口，甚至整節(jié)課也沒讓學生翻過書，沒有意識到必須讓學生主動去接觸、使用這個工具。這樣，學會學習又從何談起?現(xiàn)代心理學研究表明：任何學習都是學習者自主建構(gòu)的過程。在這個過程中，離不開學習主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學習是自主建構(gòu)，有意義的發(fā)現(xiàn)學習也是自主建構(gòu)。前者的認知機制是同化，它引起認知結(jié)構(gòu)的量變；后者的認知機制是順應，它引起認知結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。在學習過程中，既沒有絕對的接受學習，也沒有絕對的發(fā)現(xiàn)學習，總是兩者相互交替、有機結(jié)合的。在這個過程中，建構(gòu)主義強調(diào)學習者主動接觸外界的信息(包括課本)并用自己已有的知識與經(jīng)驗去解讀這些信息，從而賦予認識對象以心理意義。因此，課本必須成為學生自己賴以學會學習的文本；一個好的數(shù)學老師不是在教數(shù)學，而是激勵學生自己去學數(shù)學。
　　許多老師都有這樣的疑問：課本讓學生先讀了，還有什么可探究的?其實，建構(gòu)與探究是學習過程中相輔相成的內(nèi)外不同的兩個維度：對外部世界的探究，在內(nèi)部精神世界則是建構(gòu)。探究性學習并不排斥對文本有意義的接受學習，相反，它很需要應用這種學習方式來擴充認知的背景，提高探究的起點，否則，像“四邊形”名稱之類的知識也要學生去猜想、發(fā)現(xiàn)，不僅浪費時間，而且毫無意義。在讀書的過程中，要找出疑問進行質(zhì)疑，對例題既要進行變式，還要解決問題，尋找新的算法，思考知識與知識之間、書本知識與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系等等，這些無一不是探究性、創(chuàng)造性的學習，也無一不是源于課本又高于課本的建構(gòu)活動。
　　讓學生先學課本，旨在把獨立學習引進教學過程，同時也意味著教師必須把“教”建立在學生“學”的基礎之上，不能再充當面面俱到、照本宣科的單純講授角色。在學生先學的基礎上，教師有針對性地創(chuàng)設問題情境或數(shù)學活動，引導學生在質(zhì)疑、操作、實驗、探索中消除假知，獲得真知，豐富體驗，求得發(fā)展，關鍵還是靠自身的教育底蘊與專業(yè)素養(yǎng)。例如，小學數(shù)學(人教版第六冊)“長方形與正方形面積的計算”一課，學生先學之后，雖然知道“長方形的面積=長×寬”，但他們還是難以理解：長方形的面積與它的長和寬為什么有這樣的關系?學生由此產(chǎn)生問題意識和解決這個問題的意向，渴望老師指導。有位老師就處理得很好，他讓每個學生都參與到如下的活動中去：由同桌兩位學生合作，從課前準備的12個小正方形(每個都表示1平方厘米面積單位)中，任意取出幾個，把它們拼成一個長方形后，記下它的面積、長、寬等一組數(shù)據(jù)。要求每桌先至少拼出5個大小或形狀不同的長方形，記下相應的每一組數(shù)據(jù)；接著集中觀察這幾組數(shù)據(jù)，看能否從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律；然后再向小組或全班匯報、交流所得到的結(jié)論。經(jīng)歷這樣的數(shù)學“再創(chuàng)造”和交流活動，不但抽象的長方形的面積公式已經(jīng)具體地根植在兒童的經(jīng)驗之中，無需死記硬背了，而且兒童對發(fā)現(xiàn)真理的歸納方法也多了幾分體驗。
　　又如，小學五年級“長方體的初步認識”一課，有必要引導學生探究長方體的面、棱、頂點的個數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，思考從長方體面的個數(shù)與形狀特征出發(fā)，如何算出長方體的棱(或頂點)的條(或個)數(shù)。尋找這個算法，既有挑戰(zhàn)性，又有意義，更是學生經(jīng)過努力或小組合作能夠解決的，只有在探索事物內(nèi)部規(guī)律性的活動中，學生的抽象思維能力才能得到培養(yǎng)和發(fā)展；只有抽象思維能力發(fā)展了，學生才能探究更復雜的規(guī)律，解決更復雜的實際問題。
　　數(shù)學的讀寫能力作為數(shù)學的一種基本能力，已經(jīng)成為現(xiàn)代社會每個公民必須具備的基本素養(yǎng)；沒有這種素養(yǎng)，便不可能自由地分享公共媒體與網(wǎng)絡世界的豐富資源，也不可能進行有效的交流。讓每個學生先對課本進行獨立閱讀、思考，進而對課本進行質(zhì)疑、重組、超越，必須成為數(shù)學教學不可或缺的有機組成部分。實踐證明：這么做了，不但能滿足學生想成為探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者的強烈需要，而且正如一個學生說的“自從看懂了數(shù)學書，才發(fā)現(xiàn)自己并不差，所以又重新鼓起了學習的希望”那樣，學生發(fā)現(xiàn)自己的學習潛能，找回自信與自尊，開啟學習的內(nèi)驅(qū)力，也有了更多的成功機會和可能。
　　三、不同的學生，怎樣才能學習不同的數(shù)學
　　學生的差異是顯著的。一位農(nóng)村初中教師曾作過一次嘗試：為了檢驗一個學期培養(yǎng)學生自主學習的實驗成果，進一步了解學生的學習潛力，他布置初一學生的寒假作業(yè)，就是要求學生在家超前自學初中代數(shù)第二冊的第一章——二元一次方程組(包括完成課本中的習題)。短短3周假期結(jié)束了，結(jié)果令他喜出望外：所教兩個班共百余人，90％左右的學生都完成了任務，其中50％左右的學生超額完成，自學了兩章，10％左右的學生已經(jīng)學完了整本書；也有10％左右的學生自學還很困難，沒有完成任務。這個結(jié)果表明：學生蘊藏著極大的學習潛能，也存在著巨大的個體差異�？上攵�知，學生對課堂教學的需要與期待也不會一樣，甚至很不相同。在一所農(nóng)村中學初二的數(shù)學課堂上，我遇到十幾位落伍得無可救藥的、因而教師干脆對他們放棄不管的學生。他們呆坐在教室的最后兩排，顯得一臉無奈和冷漠。我問其中一位學生：“聽得懂嗎?”“書能看懂嗎?”他都搖了搖頭。我的心情很沉重，因為對于他們的困境，我無能為力，愛莫能助。教育是成全每一個完整的人生的，可他們卻只能在課堂上虛度時光，浪費生命。這一次經(jīng)歷，使我更加關注學生中弱勢群體的學習狀態(tài)。我注意到，即使在小學一年級的數(shù)學課堂里，學生參與學習的程度差異也是很明顯的：一部分學生爭先恐后地應答，表現(xiàn)得很出眾，很活躍；但更多的學生或缺乏勇氣，或不善言辭，或沒有機會，而淪為聽眾或觀眾。一次，我悄悄地鼓勵坐在身邊的一個小女孩子舉手爭取發(fā)言，沒想到鄰座的男孩搶先說道：“她說她一舉手，心臟就跳得厲害�！焙髞�，這女孩終于舉起了手，可惜老師沒有看到。我突然悟到，這女孩此刻最需要的也許不是知識，而是一次戰(zhàn)勝膽怯、超越自己的機會。
　　讓不同的學生學習不同的數(shù)學。首先，要為每一個學生創(chuàng)造平等的參與學習的機會。我們之所以認為“先學后教”、“先做后說”很重要，是因為這些教學策略的實施，更可能為所有學生提供平等和有效的學習機會。其次，要創(chuàng)造人人都有自尊、都有安全感的課堂教學氛圍，重要的是教師必須學會寬容和善待“差生”。為師者要懂得，就在這些“差生”中，很難保證不會產(chǎn)生出未來的牛頓、愛因斯坦、普希金、華羅庚、錢鐘書……在有安全感的課堂里，所有的學生才能敞開心扉，發(fā)揮潛能，顯露個性和才華。一位年輕的國家課程改革實驗區(qū)的實驗教師來信，高興地告訴我，他任教的班，數(shù)學成績?nèi)匀贿b遙領先。在期末問卷調(diào)查中，有75％的學生認為數(shù)學學習是快樂的，這其中還有一個數(shù)學才考30多分的學生。我也特別為這位學生感到高興和慶幸，因為保護一顆健康、好學、進取的心比什么都重要。
　　我們深感憂慮的是基礎教育學業(yè)失敗現(xiàn)象的嚴峻性。美國教育家布盧姆早就尖銳地揭露過，造成學業(yè)失敗現(xiàn)象的深層原因，就在于以成績的正態(tài)分布曲線為工具，對學生反復進行分等的教學制度本身。在這種分等的制度下，總有大約三分之一的學生因年復一年屢遭學業(yè)的挫折、失敗，而厭學、逃學或輟學；他們不但心靈被傷害、性格被扭曲，甚至還會被逼到犯罪的邊緣，導致嚴重的社會問題。這決不是危言聳聽。某地為了改變教育的落后面貌，曾出臺“末位下崗”的奇招：期末統(tǒng)考凡所教班級合格率不達標的教師一律被亮黃牌，被亮過兩次黃牌的教師就得下崗。弄得人心惶惶，舞弊成風，結(jié)果適得其反。其實，因單純追求合格率而衍生出弄虛作假現(xiàn)象，在前蘇聯(lián)早有前車之鑒，它曾是前蘇聯(lián)1984年規(guī)模巨大的教育改革要克服而沒有克服的問題之一。要實現(xiàn)“不同的人學習不同的數(shù)學”這一“大眾數(shù)學”的目標，必須同步進行考試改革，取消國家選拔和水平考試以外的一切統(tǒng)考及其評比，把考試權(quán)還給學校；要加強平時教學過程中，對不同學生的學習情感、態(tài)度、價值觀與學習方式、策略、水平的個性化的考查與評價；對知識、技能、能力的考試，可以設目標水平不同的幾種試卷，供學生自主選擇，變考試為學生自我挑戰(zhàn)、主動進取的機會。
　　蘇霍姆林斯基通過對數(shù)學課堂的大量觀察、分析，得出有如下五種不同的學生。第一種是無需任何幫助就能很容易地解答任何應用題，教師剛剛讀完條件就舉手要求回答。對于這些學生，教師還要挑選一些“超綱”的習題，給這些學生以力所能及的、但并不輕松的、要求緊張地動腦的工作；有時候，需要給這些學生布置這樣的習題，使其不能獨立地解答出來，但是教師給予的幫助是以稍加指點和提示為限。第二種能很好地完成作業(yè)，他們是靠付出勞動和用功學習而取勝的學生。第三種能在沒有幫助的情況下完成中等難度的習題，但是對復雜的習題有時解不出來。第四種學生對應用題的理解很慢，解答也很慢。他們在一節(jié)課上所能完成的作業(yè)，要比第二種、第三種學生所做的少一半到三分之二，但是教師無論如何不要催促他們。第五種學生沒有能力完成中等難度的習題。教師要為他們專門另選一些題目，始終只能指望他們在一節(jié)課上有所進步，哪怕一點點進步也好。“如果教師善于把學生引進一種力所能及的、向他們預示著并且使他們得到成功的腦力勞動中去，就連那些調(diào)皮搗蛋的學生也能多么勤奮地、專心致志地學習啊!這些學生在緊張的勞動中顯示他們那積極活動的精神，他們變得跟以前完全兩樣了，因為他們的全部注意力都集中在如何更好地完成作業(yè)上�！�(蘇霍姆林斯基語)凡是給人以成功的樂趣的腦力勞動，總會收到發(fā)展學生能力的結(jié)果的。每一個學生都在盡量靠自己的努力去達到目的，不同的學生才能真正學到不同的數(shù)學。
　　我們實驗數(shù)學的課堂教學，正在認真實踐“算法多樣化”的教學思想，把算法最優(yōu)化與思維的個性化結(jié)合起來。但是，對不同的學生所需不同的學習時間，還很缺乏個別對待的共識和態(tài)度。教師預設的教案仍像幽靈一樣操縱著教學同步劃一的進程，尤其是肩負著一個地區(qū)、一所學校榮辱的觀摩課，更容易異化為教案劇的表演；在平時課堂練習的時候，很少見到教師為不同的學生提供不同的習題，更多的是教師對每一道習題進行一般化的評點、反饋，又把學生獨立練習的時間搞得支離破碎，最缺少的則是教師對需要幫助的學生進行針對性的個別指導。
　　有位實驗教師很有創(chuàng)意地把學習者分為四種角色，即追趕者、跟隨者、奔跑者和飛翔者，請學生自己給自己定位。開始全班都是追趕者或跟隨者，一年后就誕生20位奔跑者和飛翔者了。在民主、開放的教育環(huán)境中，學生所煥發(fā)的潛能和展現(xiàn)的差異，令人吃驚。無論潛能還是差異，我們深切地體會到，它們都是亟待開發(fā)利用的教育資源。越是人數(shù)多的班級，越需要小組合作學習。請飛翔者或奔跑者擔任小組的領頭雁與援助者，讓每一個學生都有歸屬感，不再無助；小組學習既拓展了課堂教學的時空，又加強了教學的個別化；因小組的精誠合作，課堂才不會再有被冷落或遺忘的角落�！霸谶@種情況下，教師和學生的相互關心與相互信任相結(jié)合。學生就不會把教師單純地看成嚴厲的監(jiān)督者，也不會把評分當成一種棍棒。他可以坦率地對老師說：某某地方我沒有做好，某某地方我不會做。他的良心是純潔的，他不可能去抄襲別人的作業(yè)或者考試時搞夾帶。他想樹立起自己的尊嚴�！�(蘇霍姆林斯基語)
　　待到不同的學生真正能夠?qū)W習不同的數(shù)學的時候，也許才能說：數(shù)學學習的主動權(quán)真正屬于學生。到那時候，也許不會再有令人揪心的學業(yè)失敗現(xiàn)象，把教師弄得心情焦躁、精疲力竭，而是感到更多的成就感，更深切地體驗到自己在跟學生一起進步，一起發(fā)展。

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