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運(yùn)用等價(jià)變形題指導(dǎo)學(xué)生解題
有些數(shù)學(xué)應(yīng)用題，因?yàn)閿?shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手，這時(shí)，老師可運(yùn)用非等價(jià)變形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析并解答。
例1、一個(gè)面積為20平方厘米的正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓，求這個(gè)圓的面積是多少？
分析與解答：這題中正方形的面積是個(gè)非完全平方數(shù)，如果要讓學(xué)生求出圓的半徑，然后再求出這個(gè)圓的面積學(xué)生是無(wú)從下手的。
因此可先出示這樣一道比較題：“已知一個(gè)面積為1平方厘米的正方形內(nèi)有一個(gè)面積最大的圓，求這個(gè)圓的面積�！�
因?yàn)檎叫蔚拿娣e是1平方厘米，學(xué)生很快能理解這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)即為1厘米，因此面積為1平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積為：3.14×(1÷2)2＝0.785（平方厘米）。
在學(xué)生求解出面積為1平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積后，老師可再將此題同例1進(jìn)行比較，這樣學(xué)生就能很快求出面積為20平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積為：0.785×20＝15.7（平方厘米）。
例2、某校上學(xué)期共有學(xué)生1040人，本學(xué)期有學(xué)生1360人，其中男生比上學(xué)期增加48%，女生比上學(xué)期增加20%，求這所學(xué)校本學(xué)期有男女生各多少人？
分析與解答：這題中兩個(gè)百分率無(wú)直接關(guān)系，因此給解題帶來(lái)了一定的難度。
因此可先出示這樣一道比較題：“某校上學(xué)期共有學(xué)生1040人，本學(xué)期男女生都比上學(xué)期增加了20%，求本學(xué)期這所學(xué)校共有多少人？”
這題學(xué)生很快能求出答案：本學(xué)期學(xué)校有學(xué)生：1040×（1＋20%）＝1248（人）。
然后再將這題同原來(lái)的題目進(jìn)行比較，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)“男女生都比上學(xué)期增加了20%”與原題的“男生比上學(xué)期增加48%，女生比上學(xué)期增加20%”相差的人數(shù)則為：1360－1248＝112（人）。因此可求得，上學(xué)期的男生人數(shù)應(yīng)為：112÷（48%－20%）＝400（人），本學(xué)期的男生人數(shù)則為：400×（1＋48%）＝592（人）。本學(xué)期的女生人數(shù)則為：1360－592＝768（人）。
例3、某校學(xué)生步行去進(jìn)行郊游活動(dòng)，在離開(kāi)學(xué)校3千米處，張老師發(fā)現(xiàn)有物品遺留在學(xué)校，馬上騎自行車(chē)以每小時(shí)9千米的速度返回學(xué)校，拿了物品后又追趕學(xué)生隊(duì)伍，已知學(xué)生隊(duì)伍每小時(shí)行4千米，求張老師離開(kāi)隊(duì)伍幾小時(shí)又追趕上學(xué)生隊(duì)伍？
分析與解答：這題不明確張老師從何處追及，以及追及距離有多長(zhǎng)，學(xué)生會(huì)感到無(wú)法下手。
因此可設(shè)計(jì)以下一道比較題：“某校學(xué)生去進(jìn)行郊游活動(dòng)，每小時(shí)行4千米，隊(duì)伍離開(kāi)學(xué)校6千米后，張老師才騎自行車(chē)以每小時(shí)9千米的速度去追趕隊(duì)伍，問(wèn)張老師幾小時(shí)能追趕上隊(duì)伍？”
這題學(xué)生很快能求出答案：張老師追趕上隊(duì)伍的時(shí)間為：6÷（9－4）＝1.2（小時(shí)）。
然后再將此題與例3進(jìn)行比較，學(xué)生很快能看出，張老師在隊(duì)伍離開(kāi)學(xué)校3千米處再返回學(xué)校去拿取物品，然后再追及隊(duì)伍，追及的距離即為當(dāng)時(shí)隊(duì)伍與學(xué)校的距離的2倍。因此，學(xué)生很快能求出例3的答案，張老師追趕上隊(duì)伍的時(shí)間則為：3×2÷（9－4）＝1.2（小時(shí)）。
例4、某計(jì)劃在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工一批零件，若每小時(shí)加工30個(gè)，則比規(guī)定時(shí)間晚完成1小時(shí)，若每小時(shí)加工48個(gè)，則比規(guī)定時(shí)間少用半小時(shí)，如果要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成，每小時(shí)要加工幾個(gè)零件？
分析與解答：這題中，有的學(xué)生對(duì)“比規(guī)定時(shí)間晚完成1小時(shí)”與“比規(guī)定時(shí)間少用半小時(shí)”這兩個(gè)條件不理解，因此會(huì)感到難以求解。
所以可出示下列一道比較題：“甲、乙兩人同時(shí)騎摩托車(chē)從A地到B地，甲每小時(shí)行48千米，乙每小時(shí)行30千米，經(jīng)過(guò)若干個(gè)小時(shí)，乙離B地還有36千米，甲已超過(guò)B地24千米，這時(shí)兩人如果立即掉頭往回走，如果兩人的速度不變，問(wèn)甲追上乙要幾小時(shí)？”
這題是一道追及應(yīng)用題，學(xué)生很快能列式解答：甲追上乙要用的時(shí)間為：（24＋30）÷（48－30）＝3（小時(shí)）。然后再將此題同例4進(jìn)行比較，學(xué)生即能發(fā)現(xiàn)，比較題中的追及時(shí)間即為例4中的加工這批零件的規(guī)定時(shí)間，因此學(xué)生很快求出加工這批零件的規(guī)定時(shí)間為：（30＋48÷2）÷（48－30）＝3（小時(shí)）。因此，可求得，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成這批零件，每小時(shí)要加工的零件個(gè)數(shù)為：30×（3＋1）÷3＝40（個(gè)）。
例5、幼兒園將一筐蘋(píng)果分給小朋友，如果分給小班，每人5個(gè)則余10個(gè)，如果分給大班，每人8個(gè)，則有一人分到6個(gè)，已知小班比大班多3 人。問(wèn)這筐蘋(píng)果有幾個(gè)？
分析與解答：這題比一般的盈余問(wèn)題多了“小班比大班多了3人”，因此有的學(xué)生會(huì)望而卻步，不知所措。
因此可出示這樣一道比較題：“幼兒園將一筐蘋(píng)果分給幼兒園大班的小朋友，如果每人5個(gè)，則余25個(gè)，如果每人8個(gè)，則少2個(gè)，問(wèn)這筐蘋(píng)果共幾個(gè)？”
這題學(xué)生很快能列式求解，大班人數(shù)為：（25＋2）÷（8－5）＝9（人）。這筐蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：9×8－2＝70（個(gè)）；或?yàn)椋?×9＋25＝70（個(gè)）。
再請(qǐng)學(xué)生將比較題同例5進(jìn)行比較，學(xué)生很快也能知道，小班比大班多5人，即為小班每人分5個(gè)，則要多余：5×3＋10＝25（個(gè)）。分給大班，每人8個(gè)，一人只分到有個(gè)，即為。每人分8個(gè)，則少：8－6＝2（個(gè)），因此，學(xué)生也能夠迅速求出這筐蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：8×[（25＋2）÷（8－5）]－2＝70（個(gè)）。
例6、一項(xiàng)工程，甲、乙兩人合作30天完成，如果甲單獨(dú)做24天后，乙再加入合作，兩人合作12天后，甲因有事離開(kāi)，由乙再單獨(dú)做了15天才完成這項(xiàng)工程。問(wèn)這項(xiàng)工程如果甲單獨(dú)做要用幾天才能完成？
分析與解答：這題中，因?yàn)榧�、乙兩人做的時(shí)間前后不同，學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策。
因此可出示這樣一道比較題：“一項(xiàng)工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙兩人合作27天后，甲再用了9天才完成，求甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用幾天才能完成？”
這題學(xué)生很快能求出甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用的時(shí)間為：9÷（1－ 1/30 ×27）＝90（天）。
然后，再引導(dǎo)學(xué)生將例6同比較題進(jìn)行比較，學(xué)生即能發(fā)現(xiàn)，例6同比較題相比較，只是轉(zhuǎn)換了一捉說(shuō)法，其實(shí)解題的思路是完全相同的。因此，學(xué)生也能很快求出甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用的時(shí)間為：（24－15）÷[ 1－ 1/30 ×（15＋12）]＝90（天）。
江蘇省江陰市青陽(yáng)鎮(zhèn)旌陽(yáng)小學(xué)：蔣儀
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