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幾何初步知識教學要求綜述
數(shù)學的內(nèi)容不外乎數(shù)與形兩大部分，小學數(shù)學教學的內(nèi)容也不例外。新頒布的《九年義務教育全日制小學數(shù)學教學大綱（試用）》（下稱“新大綱”）對幾何初步知識的教學作了一些重要的改革，教學要求更加明確�，F(xiàn)就我個人的體會，從“歷史的回顧”、“三點重要的改革”以及“具體的教學要求”三個方面分別闡述，和廣大老師們共同討論。一、歷史的回顧
我國對幾何學的研究有著悠久的歷史，翻開二千多年前已經(jīng)成書的《九章算術(shù)》看一看，書中對許多平面圖形及其面積的求法已有詳細的記載。首先，它把一些平面圖形稱之為“田”，如方田（指正方形）、直田（指長方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。這里充分說明人們是在一系列測田畝、定四時的農(nóng)業(yè)活動中，逐步形成一些幾何形體概念的。同時，書中還記載了三角形的面積是“半廣以乘正從”，這里講的“廣”是指矩形，“正從”是指高，意思是把三角形割補成矩形，取其底長的一半再乘高，便是三角形的面積；再看圓的面積，“半周半徑相乘得積步”，“積步”是當時的面積單位“平方步”，就是說圓周的一半與半徑相乘，用今日的圓面積公式表示，即。至于祖沖之的圓周率，更是早于印度半個世紀，早于歐洲一千多年。我國輝煌的幾何學成就，是我國寶貴的文化遺產(chǎn)之一。
然而，幾何作為一門學科開設，在我國基礎教育，尤其是小學教育中，則是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定學堂章程》（1903年）中，才明確在小學設算術(shù)課，其中有一章和幾何有關(guān)，就是“求積”，內(nèi)容是田畝的算。
解放以后，隨著科學技術(shù)的進步，幾何初步知識在小學算術(shù)中所占的地位也逐步明確。1952年的《小學算術(shù)教學大綱（草案）》規(guī)定的內(nèi)容是：直線、線段、直角、正方形和長方形（包括面積）、正方體和長方體（包括體積）。1956年的《小學算術(shù)教學大綱（修訂草案）》又增加了角、三角形的認識及其面積等內(nèi)容。1963年《全日制小學算術(shù)教學大綱（草案）》又增加了以下內(nèi)容：垂線和平行線，圓（包括周長與面積），平行四邊形和梯形（包括它們的面積），圓柱、圓錐、棱柱、棱錐（包括它們的面積）；同時還學習一些最簡單的作圖和測量。1963年的大綱是學習幾何知識最多的一個大綱。
經(jīng)過十年動亂后，1978年在調(diào)查研究基礎上，頒布了《全日制十年制學校小學數(shù)學教學大綱（試行草案）》，對1963年規(guī)定的內(nèi)容作了調(diào)整，刪去較難的棱柱、棱錐，增加了扇形�，F(xiàn)行教學大綱（指1986年由國家教委正式制訂的《全日制小學數(shù)學教學大綱》）規(guī)定的內(nèi)容與1978年的相同。
綜上所述，我們可以看到小學幾何初步知識的內(nèi)容是隨著科技的進步和基礎教育的發(fā)展而逐步增加、逐步完善的。因為學一些幾何知識是適應小學生以后進一步學習以及將來參加生產(chǎn)建設的需要的，這是一個方面。而另一方面，還可以看到，幾十年來，我國小學幾何初步知識的教學仍始終未能完全突破“以求積為中心”的傳統(tǒng)觀念，忽視了空間觀念的培養(yǎng)，而這個問題，則在新大綱中得到了較好的解決。
二、 新大綱中的三點改革
（一） 明確小學幾何初步知識的性質(zhì)——直觀幾何（實驗幾何）。
從幾何發(fā)展的歷史中可以看到，人們對幾何圖形的認識首先根據(jù)生活、生活實踐的經(jīng)驗，依靠直覺觀察、反復實驗而形成的（這一點在第一個問題中已經(jīng)涉及）。很明確，不是靠后來人們整理時所運用的邏輯推理而形成的。再看一下，小學生的思維又正處在由直觀表象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段，他們對幾何圖形的認識還相當于人類早期認識幾何的階段。因此，在小學階段學的應該屬于直觀幾何，就是要通過他們自己的拼拼擺擺、折折疊疊、量量畫畫等實際操作，認識圖形的某些特性，積累一定的空間觀念。這樣，可以為今后升入中學逐步學習論證幾何作好準備。這里我想舉一個例子說明。小學里學習“三角形的內(nèi)角和”時，總是用“撕角”拼成一個平角，或是用量角器量出三個角的度數(shù)，以此說明其內(nèi)角和等于180°。這些方法看來是極為簡單或者說是比較“低級”的，因為它的準確度是有限的。如果采用邏輯證明，便可使人確信無疑。如下：
∠1+∠2+∠3=180°
證明：過A點作BC的平行線DE，
∠1=∠4 ∠2=∠5（內(nèi)錯角相等）
∠4+∠3+∠5=180°
所以∠1+∠2+∠3=180°
但是，像上面這種推理方法，小學生是不能夠接受的，只是通過孩子們自己動手撕撕、拼拼、量量、畫畫，直觀地“證明”或“發(fā)現(xiàn)”它們的關(guān)系，積累比較豐富的感性認識，這樣才有可能為將來學習論證幾何打下良好的基礎。
為此，新大綱一再指出：“通過直觀學習一些幾何初步知識……”，強調(diào)“幾何初步知識的教學，要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導學生通過對物體、模型的觀察、測量、拼擺、畫圖、制作、實驗等活動，掌握形體的基本特征和面積、體積的計算方法，并注意在實際中應用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念。
（二）突破“以求積為中心”的框子，加強空間觀念的培養(yǎng)。
前面已經(jīng)提到1963年的大綱是幾何初步知識學得最多的，但是即使如此，這一大綱在加強“雙基”的指導思想之下，提出了“以四則計算為中心”，與其相應的幾何初步知識是“以求積為中心”，因此，對空間觀念的培養(yǎng)仍是比較忽視。直到新大綱頒發(fā)前，雖然每個教學大綱都談到“初步的空間觀念”，但是什么是空間觀念？應該怎樣培養(yǎng)？這些問題都是含糊不清的。每次畢業(yè)考試中有關(guān)幾何的題目，也都是停留于求面積和體積。
新大綱首先回答了什么是空間觀念？空間觀念是在空間知覺基礎上形成起來的，它是形體的大小、形狀及其相互位置關(guān)系在人腦中的表象。新大綱又第一次比較恰當而明確地指出了在小學階段培養(yǎng)初步空間觀念的“標高”。這里包括三點要求：一是要求學生聽到某一圖形的名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它的形象；二是能夠獨立地看懂所畫出的已學過的平面及立體圖形，正確掌握它們的名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要的圖形，恰當?shù)匕阉鼈兎诸�。最后，新大綱又指出要充分利用各種條件，讓學生通過各種觀察、實際操作等活動，獲取和運用幾何初步知識，并在運用過程中培養(yǎng)初步空間觀念。這樣，既明確了目標，又指出了途徑，使初步空間觀念的培養(yǎng)落實在實處。
（三）幾何形體的認識從低年級起合理安排。
這也是新大綱的一大特點。小學生學習幾何知識要由淺入深，空間觀念也靠逐步積累。從一年級起，每一年級都編排一些幾何初步知識，這是符合小學生的認識規(guī)律，又有利于數(shù)形結(jié)合的，同時，算術(shù)與幾何交替學習，動手又動腦，也可更好地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。
三、具體的教學要求
新大綱對幾何初步知識教學的具體要求，仔細分析起來可分為以下三個方面：
（一）空間觀念；
（二）求積計算；
（三）實際操作技能（指簡單的測量、畫圖等）。
現(xiàn)將各年級的具體教學要求列表如下：
要求
空 間 觀 念
求 積 計 算
實際操作技能
年級
一年級
直觀認識長方形、正方形、三角形和圓。（有知識點，但不提教學要求）
直觀認識長方體、正方體、圓柱和球。（有知識點，但不提教學要求）
初步認識直線和線段。
會量線段的長度（限整厘米）。
二年級
初步認識角和直角，知道角的各部分名稱。
初步掌握長方形、正方形的特征，知道周長的含義。
直觀認識平行四邊形。
會計算長方形和正方形的周長。
會用三角板判斷直角和畫直角。會在方格紙上畫長方形和正方形。
三年級
知道面積的含義。
認識面積單位（平方米、平方分米、平方厘米，公頃、平方千米）。
初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念。
掌握長方形和正方形的面積計算公式。
四年級
認識射線和角（直角、銳角、鈍角）。
知道角的大小。
初步認識垂線和平行線。
掌握三角形、平行四邊形和梯形的特征。
△ 知道三角形內(nèi)角和。
△ 認識組合圖形。
掌握長方體、正方體的特征。知道體積的含義。
認識常用的體積單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）。
掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式。
掌握長方體和正方體的體積計算公式。
會計算長方體和正方體的表面積。
初步學會用測量工具在地面上測定直線和測量較短的距離。
會用量角器量角和按照指定的度數(shù)畫角。
會用直尺和三角板畫垂線、平行線、長方形和正方形。
五年級
認識圓。
認識扇形。
認識圓柱和圓錐。
△ 初步認識球的半徑和直徑。
掌握圓周長和圓面積的計算公式。會算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
*通過介紹圓周率的史料，使學生受到思想教育。
會畫圓。
（注）①△指選學要求，*指思想品德教育。
②六年制的要求總的與五年制相同，只是分為六年安排。
根據(jù)上表，分析如下：
（一）空間觀念
小學生對幾何圖形的認識都基本屬于表象階段，因此，一般只描述其某些特征而不下定義。為了便于教師掌握其教學要求，新大綱中把它們由低到高分為“直觀認識”、“初步認識”、“認識“和“掌握特征”四個層次。
直觀認識——看到有關(guān)圖形、實物或模型，能初步認識其外形，說出名稱。
初步認識——較前者略高一些，能略知圖形的一、兩個簡單的特征。
認識（知道）——較“初步認識”又略高一些，知道圖形一般特征。
掌握特征——知道圖形某些本質(zhì)特征。這是認識的最高層次，但仍不要求對概念下定義。
新大綱中對大多數(shù)的平面及立體圖形都分幾個層次逐步要求，目的是加強空間觀念的培養(yǎng)。例如：
1．直線、線段
一年級要求“初步認識”，即知道把一根長線拉緊，就成為直線；直線中的一段就是線段。四年級在認識射線同時，再進一步認識直線和線段，知道直線沒有端點，可以無限延長；線段有兩個端點；射線只有一個端點，另一端可以無限延長。
2．角
二年級“初步認識”，要求知道角有兩條邊和一個頂點，知道哪些實物的哪些部分是角。四年級要求“認識”，知道從一點引出兩條射線，組成一個角，知道角的大小，知道角可分成直角、銳角、鈍角、平角和周角。
3．長方形和正方形
一年級有直觀認識長方形和正方形的內(nèi)容，但不提要求，不作考核。二年級要初步掌握長、正方形的特征，到三年級已學了計算它們的周長和面積時，則要求進一步掌握它們的特征。
4．平行四邊形
二年級要求“直觀認識”，由于當時還不認識平行線，不可能知道平行四邊形的特征，只要求通過實物直觀地知道哪些是平行四邊形，哪些不是，如解放軍的領(lǐng)章是平行四邊形；也可以從擺弄七巧板中，挑出平行四邊形。這樣，到四年級便要求“掌握特征”，知道兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。
5．三角形
三角形是兒童在日常生活中最常見的圖形之一。一年級只能“直觀認識”，以后不斷發(fā)展，四年級要求“掌握特征”，知道三角形的穩(wěn)定性、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和。
6．長方體和正方體
由于小學生在入學前接觸過長、正方體的實物，如積木等，為此，一年級只能“直觀認識”，從外形能分辨什么樣的物體是長方體，什么樣的物體是正方體，四年級再要求“掌握特征”。這樣逐步形成“體”的觀念。
7．圓和圓柱
圓和圓柱在孩子們?nèi)粘Ｉ钪幸踩菀滓姷�，但長期以來到高年級才認識，低于學生現(xiàn)有的認識水平。現(xiàn)改為一年級先“直觀認識”，如認識圓盤面是圓形、罐頭筒是圓柱體；到五年級再正式“認識”，知道圓心、半徑和直徑，知道同一圓內(nèi)的半徑、直徑都相等；知道圓柱體上下兩底面是相等的圓形，側(cè)面展開是長方形。但這種認識都沒有或沒有真正地揭示其本質(zhì)特征。
8．球
球體的認識是新大綱所增加的內(nèi)容。分為兩個階段：一年級直觀認識球，與直觀認識圓同時進行，以便從外形上使兒童能開始體會一個是面，一個是體。到五年級則直觀認識球的半徑和直徑，其目的也為以后學習打下一個最起碼的基礎。這部分作選學內(nèi)容。
此外，還有一些圖形是只在一個年級內(nèi)集中一次編排，如四年級要求初步認識垂線和平行線，掌握梯形的特征；五年級要求認識圓錐。
（二）求積計算
幾何求積是幾何初步知識教學的重要內(nèi)容之一，也有利于數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮其相互為用的功能。新大綱對這部分的教學要求是：
1．必須在建立相應的空間觀念基礎上進行幾何量的計算。例如，首先要求知道周長、面積、體積的含義，認識相應的計量單位（長度、面積、體積），有的還要建立相應的觀念，如初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念，才能開始求積計算。
2．求積計算分兩個層次：一是“會計算”，二是“掌握……計算公式”。顯然，后者要求較高，而前者一般可不出現(xiàn)公式，學生根據(jù)圖形的特征便可直接推知計算方法。
屬于第一層次的有：會計算長、正方形的周長，長方體和正方體的表面積、圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
屬于第二層次的有：掌握長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；掌握長方體和正方體的體積計算公式；掌握圓周長和圓面積的計算公式。
3．整個求積計算的數(shù)據(jù)不應過繁。組合圖形也一般控制在兩個圖形的組合。
（三）操作技能（主要指測量與畫圖）
測量與畫圖都從低、中、高年級由淺入深地進行訓練。
1．測量：
（1）量線段的長度
一年級測量時限整厘米，以后隨著學習輔助的長度單位，測量時不受這種限制；
四年級初步學會用測量工具在地面上測定直線和測量較短的距離。
（2）量角的大小
二年級先用直角板會判斷直角；
四年級會用量角器量角。
2．畫圖：
（1）畫角
二年級會用三角板畫直角；
四年級會用量角器和直尺按指定角度畫角。
（2）畫垂線和平行線
四年級會用直尺和三角板畫垂線和平行線。
（3）畫長方形、正方形和圓
二年級會在方格紙上畫長、正方形；
四年級會用直尺和三角板畫長、正方形；
五年級會用圓規(guī)畫圓。
（四）進行思想教育
新大綱明確規(guī)定要通過圓周率的史料，介紹我國古代輝煌的數(shù)學成就，介紹我國古代的數(shù)學家祖沖之，有目的地向小學生進行愛國主義思想教育。有機而恰當?shù)亟Y(jié)合數(shù)學史實進行思想教育是新大綱的特色之一。
小學幾何初步知識的三項具體教學要求是密切聯(lián)系，相輔相成的。在教學前，我們要明確它們各自的教學目標；而在教學中，又應充分發(fā)揮它們相互促進的作用。這樣才能收到較好的效果。
改革幾何初步知識的教學，是貫徹新大綱精神中的一個重要課題，只要我們能領(lǐng)會新大綱的指導思想，把握各項具體的教學要求，不超前也不滯后，運用各種行之有效的教學方法和手段，不久的將來，幾何初步知識的教學改革一定會呈現(xiàn)出新的面貌。
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