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探索，猜想，論證
小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，是一種復(fù)雜的、有規(guī)律的、在教師引導(dǎo)下的認(rèn)識過程。在教學(xué)中，可以結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)認(rèn)知發(fā)生原理，按照“實(shí)驗(yàn)探索——猜想論證——應(yīng)用推廣”這一人類掌握數(shù)學(xué)的思維活動序列設(shè)計(jì)教學(xué)程序。現(xiàn)以“方圓率”一節(jié)練習(xí)課為例，談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)。一、實(shí)驗(yàn)探索
愛因斯坦說過，提出一個問題，往往比解決一個問題更為重要。在教學(xué)中，教師首先應(yīng)該注意創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生帶著疑問積極思維，去“實(shí)驗(yàn)”、去“探索”、去“發(fā)現(xiàn)”……。例如在講授“方圓率”時(shí)，教師可設(shè)計(jì)以下步驟引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)。
1.設(shè)疑引思
（1）右圖正方形的面積是25平方厘米，求圖中陰影部分的面積。附圖{圖}
學(xué)生根據(jù)5×5＝25，可得知正方形邊長是5厘米，同時(shí)還知圓的直徑也是5厘米，于是圓的面積、陰影部分的面積均可求出。
（2）如果右上圖正方形的面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。
此題用上面的方法無法求出正方形的邊長（圓的直徑），也就是說在小學(xué)生現(xiàn)有的知識庫中，無法找到現(xiàn)成的解答方法。怎么辦呢？這時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑。
2.實(shí)驗(yàn)探索
組織學(xué)生按下面步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。
（1）計(jì)算全班分成四個小組，分別依次計(jì)算出邊長是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面積和直徑是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圓的面積，以及圓面積與正方形面積的百分比。
（2）匯報(bào)請各組選出代表匯報(bào)計(jì)算結(jié)果，并填好下表。
直徑12345圓形面積0.7853.147.06512.5619.625邊長12345正方形面積1491625圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直徑6789……圓形面積28.2638.46550.2463.585……邊長6789……正方形面積36496481……圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……
（3）觀察觀察比較上表，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么當(dāng)π取3.14時(shí)，圓面積占正方形面積的百分比均為78.5％。
二、猜想論證
數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者G.波利亞曾說過，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度。他認(rèn)為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。他說，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)還有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方面的什么事情可以做的話，就必須使學(xué)生有個提問題的機(jī)會，在這些問題中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實(shí)一個數(shù)學(xué)事實(shí)。然而普通教科書不提供那樣的機(jī)會。所以，在教學(xué)中當(dāng)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)問題后，還要按照“問題→反復(fù)思索→聯(lián)想、頓悟→提出假說→驗(yàn)證結(jié)論”這個數(shù)學(xué)猜想的思維模式進(jìn)行教學(xué)。例如教師在學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，可引導(dǎo)他們對上面的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行反復(fù)思索、分析概括，并由“圓周率”通過聯(lián)想、頓悟后提出有關(guān)“方圓率”的猜想：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么圓面積占正方形面積的比是一個固定的數(shù)。
最后再啟發(fā)學(xué)生對這一猜想進(jìn)行論證（直觀的驗(yàn)證或邏輯的證明），使他們真正理解“方圓率”。
a設(shè)正方形的邊長為a，則面積為S[,正]＝a[2]；圓的半徑為─，則2a圓的面積為S[,圓]＝（─）[2]π。2aa[2]（─）[2]π──πS[,圓]24πS[,圓]π因?yàn)椹ぉぉぃ僵ぉぉぉぉぉぃ僵ぉぉぉぃ僵ぃ冤ぉぉぃ僵�，證畢。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4
三、應(yīng)用推廣
“讀書是學(xué)習(xí)，使用也是學(xué)習(xí)，而且是更重要的學(xué)習(xí)�！苯虒W(xué)中，當(dāng)學(xué)生理解了所學(xué)的知識以后，教師還要引導(dǎo)他們將所學(xué)的東西用心消化，吸收到自己的知識系統(tǒng)中，吸收到學(xué)習(xí)者的整體智力結(jié)構(gòu)中，使得這些知識能在更廣泛的情境中得到應(yīng)用和擴(kuò)展。例如學(xué)生理解了“方圓率”以后，可設(shè)計(jì)出以下不同層次的練習(xí)題啟發(fā)學(xué)生回答，這樣可深化他們對知識的理解與掌握，培養(yǎng)了創(chuàng)造能力。
1.基本訓(xùn)練
已知右圖正方形面積是10平方厘米，求陰影部分面積。附圖{圖}
學(xué)生依據(jù)上面的規(guī)律，便可進(jìn)行如下計(jì)算。附圖{圖}
2.變式訓(xùn)練
（1）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的圓，再將圓剪成兩個半圓。
①引導(dǎo)學(xué)生用兩個半圓在正方形里擺各種圖形。如：附圖{圖}
②啟發(fā)學(xué)生討論，總結(jié)出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。
（2）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的1圓，再將圓剪成四個──圓。
①引導(dǎo)學(xué)生用四塊──圓在正方形內(nèi)擺各種圖形，如：附圖{圖}
②啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真觀察，討論總結(jié)出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。
3.拓展訓(xùn)練
（1）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形，并在正方形內(nèi)畫一個最大的圓。
①把這個正方形平均分成兩等份（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結(jié)出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}
②把這個正方形平均分成四等份（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結(jié)出每份圖中陰影部分面積的求法：附圖{圖}
（2）用硬紙做若干個邊長均為10厘米的正方形，并在每個正方形內(nèi)畫一個最大的圓。
①用這些小正方形擺成一個大正方形（如圖），啟發(fā)學(xué)生討論總結(jié)出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}
②用這些小正方形擺成一個長方形（如圖），啟發(fā)學(xué)生總結(jié)出求圖中陰影部分面積的方法：附圖{圖}
多年的教改實(shí)踐結(jié)果顯示：結(jié)合教材和學(xué)生實(shí)際，按照人的認(rèn)識進(jìn)化過程或發(fā)生過程，采用“再創(chuàng)造”的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，既有利于學(xué)生對知識的理解與掌握，又可使他們的形象思維、抽象思維和頓悟思維得到發(fā)展，在教學(xué)（學(xué)習(xí)）的全過程中學(xué)生還領(lǐng)悟到了創(chuàng)造科學(xué)的偉大智者們，在那條荊棘叢生的科學(xué)研究的道路上奮力攀登的風(fēng)采，從而培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造精神。
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