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數(shù)學(xué)概括及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用
一、數(shù)學(xué)概括數(shù)學(xué)概括是一種特殊的概括，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的。數(shù)學(xué)概括是在數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量和空間關(guān)系、數(shù)學(xué)對(duì)象和運(yùn)算等方面的概括。它具有以下顯著的特點(diǎn)：
1．?dāng)?shù)學(xué)研究對(duì)象本身已是概括的產(chǎn)物我們知道，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。它取自于客觀世界，但卻不是現(xiàn)實(shí)中的真正原型，而是從現(xiàn)實(shí)世界中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)模型－－事物中的純數(shù)量關(guān)系和空間形式。例如自然數(shù)、點(diǎn)、線、面等原始概念，就是從現(xiàn)實(shí)世界中概括出來(lái)的。
2．?dāng)?shù)學(xué)概括具有層次性
數(shù)學(xué)概括是在概括基礎(chǔ)上所進(jìn)行的再概括，數(shù)學(xué)是從原始概念開始，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新的抽象，從而得到概括程度更高的新概念。在數(shù)學(xué)中往往要進(jìn)行一系列地、逐級(jí)地概括，由此可得到概括水平越來(lái)越高的概念、法則和方法。這恰是數(shù)學(xué)在抽象思維方面具有相對(duì)封閉性的原因所在。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾的生動(dòng)描述：“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞，唯獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在這古老的大廈上添加一層樓�！边@表明數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)為明顯的概括性質(zhì)：它的每一次發(fā)展都把原來(lái)的數(shù)學(xué)作為某種特例包含在新的數(shù)學(xué)中去。例如數(shù)系的擴(kuò)張；中學(xué)里對(duì)三角函數(shù)的概括；從數(shù)列極限到函數(shù)極限的概括。從定理內(nèi)容上也可體會(huì)出數(shù)學(xué)概括的層次性，例如數(shù)學(xué)歸納法定理。
3．?dāng)?shù)學(xué)概括用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述
數(shù)學(xué)概括的表述使用了特殊的語(yǔ)言體系－－特定的符號(hào)體系－－數(shù)學(xué)語(yǔ)言體系。而且這種表述形式貫穿于數(shù)學(xué)概括過(guò)程的始終。我們知道，語(yǔ)言是思維的載體。自然語(yǔ)言雖然可在一定程度上來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，但卻不能達(dá)到完美精確的程度，因此數(shù)學(xué)工作者在自然語(yǔ)言的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出了數(shù)學(xué)語(yǔ)言－－數(shù)學(xué)中特有的形式化符號(hào)體系。它是人類自然語(yǔ)言的進(jìn)一步概括。有了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)研究的思維過(guò)程和結(jié)果就可精確簡(jiǎn)練地表出。
二、數(shù)學(xué)概括在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)。
而所有這些學(xué)習(xí)都是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)，都離不開數(shù)學(xué)概括能力的支持與輔佐。
在此僅以數(shù)學(xué)能力的學(xué)習(xí)為例。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生具有正確迅速的運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。”
在運(yùn)算能力方面，欲達(dá)“正確迅速”目的，就需在各類運(yùn)算中概括出相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律，將其歸納為一般形式。
數(shù)學(xué)概括在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面的作用也十分重要。邏輯思維是人類揭示客觀世界的本質(zhì)和規(guī)律的極其重要的思維活動(dòng)，它幾乎滲透到人類獲取所有理論和新認(rèn)識(shí)的每一過(guò)程，而數(shù)學(xué)則是體現(xiàn)邏輯最徹底的一門學(xué)科。學(xué)生在學(xué)習(xí)中遵循著數(shù)學(xué)的邏輯規(guī)律，他們從最基儲(chǔ)最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，在這些基本概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，僅研究0°－360°間角的三角函數(shù)，到了高中，通過(guò)角概念的推廣和弧度制的引入，概括出任意角三角函數(shù)，并從集合和映射的觀點(diǎn)出發(fā)加以研究。即在數(shù)學(xué)思想方法上也采用了概括性更強(qiáng)的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，學(xué)生邏輯思維能力的形成和發(fā)展離不開數(shù)學(xué)概括，數(shù)學(xué)概括不僅影響著學(xué)生邏輯思維的形成和發(fā)展，而且決定著學(xué)生邏輯思維的水平和質(zhì)量，概括水平越高，其邏輯思維的能力就越強(qiáng)。
數(shù)學(xué)概括在培養(yǎng)和形成學(xué)生的空間想象能力大小更是不可或缺。因?yàn)榭臻g想象能力的形成不僅需要按部就班的邏輯推理過(guò)程，而且需要有猜想、想象、直覺(jué)等靈感思維的幫助，而直覺(jué)思維更離不開數(shù)學(xué)概括的支持，盡管它有時(shí)表現(xiàn)的并不那么直接，但卻是頭腦所積累的數(shù)學(xué)概括水平的綜合運(yùn)用，需要具備更高的數(shù)學(xué)概括能力。因?yàn)樵谌S立體空間（現(xiàn)實(shí)空間）或更高維的空間（非現(xiàn)實(shí)空間）中考察數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，它與空間的相關(guān)性增強(qiáng)了許多，它的位置關(guān)系，空間形式和數(shù)量關(guān)系都有了更豐富的內(nèi)涵（與二維相比），這勢(shì)必要求在數(shù)學(xué)概括上應(yīng)具有更高的水平。例如，在平面內(nèi)，對(duì)一個(gè)直角三角形的研究?jī)H限于邊、角關(guān)系的討論，但在立體空間，除此以外（這種關(guān)系已經(jīng)縮小到在同一平面討論問(wèn)題的范圍）還存在著它與空間平面、空間直線的各種位置關(guān)系、空間形式及數(shù)量關(guān)系等。比如立體幾何中的三垂線定理和逆定理，說(shuō)的就是直角三角形的斜邊與平面直線的位置關(guān)系，這種關(guān)系的尋找與確定就需要更廣泛的數(shù)學(xué)概括。
空間想象能力還表現(xiàn)在對(duì)現(xiàn)實(shí)空間中幾何物體的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)上。例如人們對(duì)蜂房的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至物理發(fā)現(xiàn)：蜂房底部菱形的銳角是70°，這個(gè)尺寸經(jīng)推算知，在體積一定的條件下它可使蜂房的表面積為最小，即用料（蜂蠟）最省，不僅如此，蜂房的特殊形：側(cè)面是六棱柱，底由三全等菱形組成的倒角錐面，其物理性能也十分的好，它抗壓、防震、輕巧而堅(jiān)固，所有這些結(jié)果都是將其概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題所取得的。
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