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讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)化歸的思想方法數(shù)學(xué)思想和方法的滲透
化歸思想的核心，是以可變的觀點(diǎn)對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變形，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行 直接進(jìn)攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過(guò)變形把要解決的問(wèn)題，化歸為某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題。從而求得原問(wèn)題的 解決�；瘹w思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”或“變換”。它的基本形式有：化未知為已知，化難為易，化繁為 簡(jiǎn)，化曲為直。在小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏著各種可運(yùn)用化歸的方法進(jìn)行解答的內(nèi)容，教師應(yīng)重視通過(guò)這些內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生初 步學(xué)會(huì)化歸的思想方法�，F(xiàn)舉例如下：
例1.計(jì)算1/2+1/3。（五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)第96頁(yè)例1，原是應(yīng)用題）
學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加法，怎樣求出它們的和，是一個(gè)所要解決的未知問(wèn)題，為了解決這個(gè)問(wèn)題， 必須把它化歸為學(xué)生能解決的已知問(wèn)題，即通過(guò)通分，把異分母分?jǐn)?shù)加法化為同分母分?jǐn)?shù)加法，使之達(dá)到原問(wèn) 題的解決。即：
┌─────────┐（化歸 ┌──────────┐
│ 1/2÷1/3=? │ ——→ │ 3/6-2/6=? │
└─────────┘ └──────────┘
┌─────────┐ ┌──────────┐
│ 1/2÷1/3=5/6 │ ←—— │ 3/6÷2/6=5/6 │
└─────────┘ └──────────┘
例2 怎樣計(jì)算圓的面積呢？（五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第7頁(yè)）
這里要推導(dǎo)出圓面積公式，在推導(dǎo)過(guò)程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo) 出圓的面積公式。這里把圓剪拼成近似長(zhǎng)方形的過(guò)程，就是把曲線形化歸為直線形的過(guò)程。
┌─────────┐（化歸） ┌──────────┐
│求圓面積S[,圓] │———→ │ 求長(zhǎng)方形面積S[,長(zhǎng)] │
│ │（剪拼） │ │
└─────────┘ └──────────┘
┌──────────┐ ┌──────────┐
│S[,圓]＝πr×r │ ←—— │S[,長(zhǎng)]＝長(zhǎng)×寬 │
│ ＝πr[2,] │ │ ↓ ↓ │
└──────────┘ │ c/2 r │
└──────────┘
從以上兩例看出，利用化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，可以以下圖來(lái)表示：
┌───────────┐（化歸） ┌──────────┐
│所要解決的問(wèn)題 │———→ │ 已經(jīng)解決的問(wèn)題 │
└───────────┘ └──────────┘
┌───────────┐ ┌──────────┐
│ 原問(wèn)題的解決 │ ←——— │ 問(wèn)題的解決 │
└───────────┘ └──────────┘
數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是密不可分的�；瘹w思想是化歸方法的理論根據(jù)，化歸方法是化歸思想的具體實(shí)施。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有多種化歸方法�，F(xiàn)舉下面幾種常用的方法：
1.分割法。這是通過(guò)對(duì)未知成分進(jìn)行分割，以實(shí)現(xiàn)由未知向已知化歸的一種方法。
例：計(jì)算右面圖形的面積。（五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)第115頁(yè)例4）
（附圖 {圖}）
這個(gè)圖形是任意五邊形，無(wú)法直接計(jì)算它的面積，可以把它分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)梯形，并分別計(jì) 算出面積，再求兩個(gè)圖形面積的和，就求出了這個(gè)五邊形的面積。
2.疊加法。這種方法是為了解決一個(gè)普遍性問(wèn)題或求得一個(gè)適合各種情況的共同規(guī)律，必須從各個(gè)具體問(wèn) 題或各種具體情況中找出規(guī)律，然后得到共同規(guī)律，以實(shí)現(xiàn)由一般到特殊的化歸，求得問(wèn)題的解決。
例：怎樣計(jì)算三角形面積？
三角形有各種形狀，如果能找到各種形狀三角形的面積計(jì)算公式，就可以推導(dǎo)出一般三角形的面積計(jì)算公 式。教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生用已掌握的長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出三角形面積公式（見(jiàn) 上圖）
（附圖 {圖}）
3.交會(huì)法。這種方法是先分別求得滿足所求問(wèn)題的各個(gè)條件的解集，進(jìn)而求得解集的交集（公共解），從 而使問(wèn)題得到解決。
例：一路公共汽車(chē)每隔4分鐘開(kāi)出一輛；二路公共汽車(chē)每隔6分鐘開(kāi)出一輛；三路公共汽車(chē)每隔8分鐘開(kāi)出一 輛；當(dāng)?shù)谝淮稳龡l線路的公共汽車(chē)同時(shí)開(kāi)出后，至少隔多少分鐘三條線路的公共汽車(chē)又同時(shí)開(kāi)出？
這是一道思考題，學(xué)生較難理解“用求它們的最小公倍數(shù)”來(lái)解答，如果用交會(huì)法就比較容易理解。解法 是：
┌──────┬───────────────────┐
│ 分共汽車(chē) │ 各次開(kāi)出時(shí)間（分） │
├──────┼───────────────────│
│ 一 路 │4 8 12 16 20 24 28 32 36 40……│
│ │ │
│ 二 路 │ 6 12 18 24 30 36 42 …… │
│ │ │
│ 三 路 │ 8 16 24 32 40 …… │
│ │ │
└──────┴───────────────────┘
就是至少隔24分鐘，三條線路的公共汽車(chē)又同時(shí)開(kāi)出。
4.局部變動(dòng)法。這種方法適用于有多個(gè)變量的問(wèn)題，運(yùn)用此法求解時(shí)，可以先只把一個(gè)變量看作為變量， 而把其他所有變量暫時(shí)看作不變量，于是單獨(dú)研究這一變量的變化結(jié)果；接著又單獨(dú)研究另一個(gè)變量的變化結(jié) 果，而把其他所有變量暫時(shí)看作不變量。這樣下去，以實(shí)現(xiàn)由整體向局部的化歸，從而求得問(wèn)題的解決。
例：一個(gè)林場(chǎng)用噴霧器給樹(shù)噴藥，2臺(tái)噴霧器4小時(shí)噴了100棵。照這樣計(jì)算，5臺(tái)噴霧器6小時(shí)可以噴多少棵 ？（五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)第79頁(yè)例5）
此題的解法是先把時(shí)間看作不變量，求出每臺(tái)噴霧器4小時(shí)噴了多少棵(100÷2)；再把臺(tái)數(shù)看作不變量，求 出每臺(tái)噴霧器每小時(shí)噴了多少棵(100÷2÷4)；然后求出5臺(tái)噴霧器每小時(shí)可以噴多少棵(100÷2÷4×5)；最后 求出5臺(tái)噴霧器6小時(shí)可以噴多少棵(100÷2÷4×5×6)。這樣通過(guò)局部變動(dòng)的方法，使問(wèn)題得到解決。
5.映射法。此法是指在兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象之間建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)映射將原來(lái)的問(wèn)題化歸為新問(wèn)題，在求 得新問(wèn)題的同時(shí)，也就求得原問(wèn)題的解。
例：一條水渠，橫截面是一個(gè)梯形，上口寬2.4米，下底寬1米，水渠中的水深1.2米。如果水流的速度是每 分鐘5米，那么1 小時(shí)流過(guò)的水有多少立方米？
解答此題要學(xué)生在理解水渠內(nèi)的水流1小時(shí)，就是流了300(5×60)米的基礎(chǔ)上，求出1小時(shí)的流水量。這就 要把求流水量的問(wèn)題，映射為一個(gè)求橫截面是梯形的直棱柱的問(wèn)題，這個(gè)直棱柱的體積是(300×(2.4+1)×1.2 /2=)612立方米，即1小時(shí)流過(guò)的水有612立方米。
6.變形法。這種方法是適用于對(duì)所求問(wèn)題無(wú)法直接求得，必須通過(guò)對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行變形，使不可求問(wèn)題變 為可求，以實(shí)現(xiàn)由未知向已知的化歸，達(dá)到問(wèn)題的解決。
例：一個(gè)圓柱形水桶，底面半徑為2分米，桶內(nèi)水深3分米。把一塊不規(guī)則形的鐵塊放進(jìn)桶內(nèi)水中后，水面 上升到3.5分米。這塊鐵塊的體積是多少立方分米？
這道題中的鐵塊是不規(guī)則形，題中沒(méi)有告知鐵塊的其他已知條件，所以不能直接求出它的體積，必須通過(guò) 等積變形，把鐵塊的體積化歸為桶內(nèi)水上升的體積，求得與水上升等高的圓柱體積：π×2(2，)×(3.5－3)=6 .28（立方分米），也就求得了鐵塊的體積為6.28立方分米。
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