小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯規(guī)律的引入

逐步發(fā)展學(xué)生初步的邏輯思維能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容科學(xué)地、有意識地將邏 輯規(guī)律引進(jìn)教學(xué)，在教學(xué)過程中加以滲透，既有利于小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，又能培養(yǎng)他們的初 步邏輯思維能力。
    一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系。
    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早 就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系�！倍�知識體系因?yàn)槠鋬?nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲 得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的。
    “數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點(diǎn)是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的 �！边@種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到 的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。如學(xué)習(xí)“能同時被2、5整除的數(shù)的特征”時，我們是通 過演繹推理得到的：
    所有能被2整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8；
    所有能被5整除的數(shù)的末尾是0、5；
    因此，能同時被2、5整除的數(shù)的末尾是0。
    數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識，他們又會運(yùn)用它在已有知識的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。
    學(xué)生知識的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新上 知識的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是 新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的 三類推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。推理，是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有：演繹推理（ 從一般性的前提推出特殊性結(jié)論的推理）；歸納推理（從特殊的前提推出一般結(jié)論的推理）；類比推理（從特 殊的前提推出特殊結(jié)論的推理或從一般前提推出一般結(jié)論的推理）。如：教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時，先在黑板上出 示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、29 9÷37=8.081081……等。觀察各式的商學(xué)生們直觀認(rèn)識到：小數(shù)有有限小數(shù)、無限小數(shù)之分。進(jìn)而從一組無限 小數(shù)中，發(fā)現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性，得到了循環(huán)小數(shù)的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333…的數(shù)字3依次不 斷地重復(fù)出現(xiàn)，2.14242…的數(shù)字42依次不斷重復(fù)出現(xiàn)等，得出一個新的全稱判斷（循環(huán)小數(shù)的定義）是歸納推 理的一種方法。
    在教學(xué)的過程中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地把邏輯規(guī)律引入教學(xué)，注意示范、點(diǎn)撥，顯然是有利于發(fā) 展學(xué)生的邏輯思維能力。
    二、邏輯推理在教與學(xué)過程中的應(yīng)用。
    1.如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬 于舊知識時，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。
    “演繹的實(shí)質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體 知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應(yīng)用于哪個對象。如：運(yùn)用乘法分 配律簡便運(yùn)算時，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎(chǔ)，才能得出：
    999×999+999=999×(999+1)=999000
    這里999×999+999=999×(999+1)是根據(jù)一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順 序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學(xué)會使用這樣的語言：
    只有兩個約數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；
    101只有兩個約數(shù)；
    101是質(zhì)數(shù)。
    那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。
    在知識層面中，這種類屬過程的多次進(jìn)行，就導(dǎo)致知識不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密，新的 知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹 推理的手段組織學(xué)習(xí)過程，不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力 ，縮短推理過程，快速找到解題途徑。
    在新舊知識建立下位聯(lián)系時，整個類屬過程可分化為兩種情況。
    (1)當(dāng)新知識從屬于舊知識時，新知識只是舊知識的派生物�？梢詮脑�有認(rèn)識結(jié)構(gòu)中直接推衍。新知識可以 直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。
    如學(xué)生已學(xué)過兩位數(shù)的筆算，清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計算法則，現(xiàn)在要學(xué)三、四位數(shù)的加法，只要讓 學(xué)生思考并回憶兩位數(shù)加法計算的表象結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則 ，學(xué)生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化，并使原有筆算法則得到充實(shí)新的知識獲得意義。雖然 這些知識的外延得到擴(kuò)大，但內(nèi)涵不變。
    教學(xué)中，掌握這些知識的內(nèi)涵的邏輯結(jié)構(gòu)，就會有一個清晰的教學(xué)思路，就會自覺地運(yùn)用演繹推理的手段 ，與學(xué)生一起愉快地順利地進(jìn)行下位學(xué)習(xí)。就不會在講三、四位數(shù)加法時，著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例 證，說明加法的計算法則。
    (2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中，但不能從原有上位觀念中直接派生出來，而需要對原有知識作 部分的改組，才能同化新知識。新知識納入原有知識后，原有知識得到擴(kuò)展、加深、限制、修飾和精確化。新 舊知識之間處于相關(guān)類屬。這時，運(yùn)用演繹推理之前，先要對原有知識作部分改組，請出一個“組織者”，再 步步演繹。（為新知識生長提供觀念上的“固定點(diǎn)”，增加新舊知識間的可辨性，充當(dāng)新舊知識聯(lián)系的“認(rèn)知 橋梁”，奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。）
    如學(xué)生已掌握了長方形面積計算公式：S=ab，現(xiàn)在要學(xué)習(xí)正方形的面積計算公式，這就要對長方形進(jìn)行改 組，把它的長改成與寬相等(a=b)，于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化，當(dāng)a=b時，S=ab=a ·a=a[2,]。又如教圓面積之前，向?qū)W生演示或讓學(xué)生動手操作，把圓適當(dāng)分割后拼成近似長方形，由長方形面 積公式導(dǎo)出圓面積計算公式。其間以直代曲，是由舊知識導(dǎo)向新知識的認(rèn)知橋梁，是由演繹推理構(gòu)建新知識時 ，找到的觀念上固定點(diǎn)。找到固定點(diǎn)后圓面積的計算被長方形面積同化，于是面積計算規(guī)則從直線封閉圖形的 計算，推廣到曲線封閉圖形的計算，擴(kuò)展加深了對原有面積計算規(guī)則的認(rèn)識內(nèi)容，使有關(guān)面積計算的認(rèn)識結(jié)構(gòu) 趨向精確化。
    2.如果原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知 識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要 研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納 推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗(yàn)，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結(jié)論、推論）。
    教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過歸納推理得到的。如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn) 識。在學(xué)習(xí)前，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有了分?jǐn)?shù)的某些具體經(jīng)驗(yàn)，加上教材提供的和教師列舉的生活實(shí)例和圖形。 如：一個蘋果平均分成兩份，每份是它的1/2，一根鋼管平均截成三段，每段是它的1/3，一張紙平均分成4份， 每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學(xué)生認(rèn)識到幾分之一這個概念。隨后，再認(rèn)識幾分之幾。這種 不完全的歸納推理，是在考察了問題的若干個具體特例后，從中找出的規(guī)律。（嚴(yán)格地說，由不完全歸納法推 理得到的結(jié)論還需要論證，才能判定它的正確性。）
    運(yùn)用歸納推理傳授知識時，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一 般性的結(jié)論。又要用這個“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教與學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的 ，它們緊密交織在一起。
    3.如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識同原有知識有某種吻合關(guān)系或類 比關(guān)系，則新舊知識間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運(yùn)用類比推理。
    教材中，商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分?jǐn)?shù)的乘法等，學(xué)習(xí)這類與舊知識處于 并列結(jié)合關(guān)系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理 。如五年級學(xué)習(xí)“一輛卡車平均每小時行40千米，0.3小時行了多少千米？”時，學(xué)生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意 義列出此題的解答等式。所以，教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系相類推。
    原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，整數(shù)乘法與小數(shù)乘法只是一般的非特殊的并列結(jié)合關(guān)系。新知識的學(xué)習(xí)，只能利用原 有知識中的一般的和非特殊的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行同化。
    由于學(xué)生們對事物間“相同程度”判斷不明確，有時因?yàn)殄e誤的類比，即“有害的”類比，而造成結(jié)論性 的錯誤。如學(xué)了“20朵黃花比18朵紅花多2朵”，也可以說成“18朵紅花比黃花少2朵”，就把：“甲數(shù)比乙數(shù) 多20%”就可以說成“乙數(shù)比甲數(shù)少20%”。教師應(yīng)當(dāng)及時指出這些類比錯誤，同時讓學(xué)生懂得，由類比得出的 結(jié)論必須加以驗(yàn)證，同時，經(jīng)常作一些類比上的選擇或判斷性的練習(xí)，幫助他們不要做錯誤的類比。
    新舊知識的三種聯(lián)系與三類推理相呼應(yīng)，不是一種巧合，是知識結(jié)構(gòu)本身科學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運(yùn) 用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識 的固定點(diǎn)、生長點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。

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