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論學(xué)具操作問題
近年來，世界各國在教學(xué)方法改革的過程中都比較重視通過學(xué)具操作等活動促使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。本文試就 學(xué)具操作在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，學(xué)具操作的理論依據(jù)，運(yùn)用學(xué)具操作應(yīng)注意的問題等作一簡要論述。一、學(xué)具操作在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用
所謂學(xué)具操作，實(shí)質(zhì)上是把掌握特定的概念、命題等應(yīng)有的智力活動方式“外化”為動手操作的程序，通 過學(xué)生的操作，把這一外部程序“內(nèi)化”為兒童的智力活動方式，從而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。學(xué)具操 作有助于學(xué)生全面理解和掌握數(shù)學(xué)概念、法則等抽象知識，在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用。
1.通過學(xué)具操作，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。小學(xué)數(shù)學(xué)里的很多概念，對學(xué)生來講是非常抽象的，學(xué) 生理解時存在一定的困難，尤其是一些起始概念，往往很難找到與之有適當(dāng)聯(lián)系的已知概念作為基礎(chǔ)。在這種 情況下，可以通過學(xué)具操作，把抽象的概念具體化，幫助學(xué)生理解和掌握。如教學(xué)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識時，讓學(xué)生 對圓形、長方表和正方形的紙片進(jìn)行折疊，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較，從而形成對幾分之一和幾分之幾 的初步認(rèn)識。
2.通過學(xué)具操作，推導(dǎo)抽象的法則和公式。數(shù)學(xué)教學(xué)不只是數(shù)學(xué)活動結(jié)果的教學(xué)，而且是數(shù)學(xué)活動過程的 教學(xué)。當(dāng)前要實(shí)現(xiàn)由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)軌，就要徹底改變重結(jié)論輕過程的做法。因此，不僅要使學(xué)生記 住數(shù)學(xué)的法則和公式，更重要的是要讓學(xué)生理解法則和公式的來源及推導(dǎo)過程，學(xué)具操作是達(dá)到這一目的的有 效途徑。如長方體體積公式的教學(xué)，要讓學(xué)生用24塊代表體積單位的小正方體拼擺出長、寬、高不同的長方體 ，在操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察、比較，總結(jié)概括出長方體的體積公式。
3.通過學(xué)具操作，幫助學(xué)生理解應(yīng)用題。應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，適當(dāng)?shù)膶W(xué)具操作，可以幫 助學(xué)生形成應(yīng)用題的情景，理解題意，為應(yīng)用題的正確解答創(chuàng)造條件。不僅在教學(xué)簡單應(yīng)用題時，由于低年級 學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，需要利用學(xué)具幫助其理解題意，即使中高年級應(yīng)用題教學(xué)中的許多內(nèi)容也需要通過適當(dāng)?shù)?操作，使抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，如行程問題、求平均數(shù)應(yīng)用題等。
4.通過學(xué)具操作，幫助學(xué)生理解幾何知識，形成初步的空間觀念。小學(xué)數(shù)學(xué)里的幾何知識屬于直觀幾何， 學(xué)生通過剪、拼、折、擺等動手操作活動，不僅掌握了形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，而且有助于 形成學(xué)生的初步的空間觀念。
二、學(xué)具操作的理論依據(jù)
學(xué)具操作的方法之所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛地采用，有其深刻的理論依據(jù)。
1.通過學(xué)具操作能有效地解決數(shù)學(xué)的抽象性與小學(xué)生思維的形象性之間的矛盾。數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù) 量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有高度的抽象性。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然反映的是數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)知識，但同樣具有抽象性 的特點(diǎn)，任何一個數(shù)學(xué)概念、法則、公式的產(chǎn)生都是一系列抽象概括和判斷推理的結(jié)果。即使一年級小學(xué)生所 要掌握的最簡單的數(shù)概念也是從許多具體的事物中概括出來的。而小學(xué)生的思維是以具體形象思維為主，逐步 向抽象邏輯思維過渡。兒童思維的這種特點(diǎn)與數(shù)學(xué)的抽象性之間構(gòu)成矛盾，學(xué)具操作是解決這一矛盾的有效途 徑。小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，許多都可以設(shè)計(jì)成外顯可見的操作程序。如學(xué)習(xí)除法，讓學(xué)生動手“等分”某 些物體；又如學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和等腰梯形等面積公式時，讓學(xué)生運(yùn)用剪拼的“割補(bǔ)”方法，藉以內(nèi)化 為思維中的“割補(bǔ)”方法。從兒童思維的基本方法“分析與綜合”、“抽象與概括”來分析，“分析與綜合” 最初是源于動手的工具性操作的“分析與綜合”。操作的“分析”，如拆開一件東西，分開一組東西，把一堆 東西平均分成若干等份等等；操作的“綜合”，如把拆開的東西組合起來，把分開的東西拼湊起來，把等分的 東西相加起來等等。“抽象和概括”從語源或語義學(xué)上看，思維的“抽象”也意味著動手提取、提煉和同時拋 棄次要的東西；“概括”則意味著動手壓縮、包住、摘取要點(diǎn)等。可見，小學(xué)數(shù)學(xué)知識可以外化為外部動手操 作活動，而通過學(xué)生的操作，又可以內(nèi)化為內(nèi)部的智力活動。多年來所使用的直觀演示的方法，對幫助學(xué)生理 解起了一定的積極作用，但存在一定的局限性。近年來國內(nèi)外在數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的過程中，強(qiáng)調(diào)不僅教師要 有教具，而且學(xué)生要有學(xué)具，通過人人動手操作，幫助學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)知識，獲得解決問題的方法，培養(yǎng) 其探索精神。
2.學(xué)具操作的方法，符合兒童的心理特點(diǎn)，有助于激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)。小學(xué)生具有強(qiáng)烈的好奇心， 喜歡參加各種各樣的活動，利用學(xué)具操作，可以使每個學(xué)生都參與到教學(xué)過程中去，滿足他們好奇好動的特點(diǎn) 。他們在活動中動手操作，動口陳述操作過程，動腦思考新規(guī)律，總結(jié)新結(jié)論，始終處于積極的狀態(tài)。如教學(xué) 圓錐體體積公式時，有的教師設(shè)計(jì)了這樣一個環(huán)節(jié)：在推導(dǎo)出公式以后，拿出事先準(zhǔn)備好的幾組等底不等高、 等高不等底的圓柱和圓錐體形狀的鐵桶以及沙子等，讓學(xué)生操作。學(xué)生發(fā)現(xiàn)操作結(jié)果與公式相矛盾，圓錐體的 體積不等于圓柱體體積的三分之一。經(jīng)過充分的討論后，發(fā)現(xiàn)了一個經(jīng)常容易被忽視的問題：圓錐體的體積等 于等底等高的圓柱體體積的三分之一。學(xué)生通過自己的操作和思考，在獨(dú)立得出結(jié)論的同時，也體驗(yàn)到成功的 樂趣，而這種體驗(yàn)是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的最好的動力。與此同時，教師可以在學(xué)生操作的過程中，了解到學(xué) 生的思考過程。我們知道，學(xué)生獲得同一結(jié)果的思維過程或解題方法可能完全不同。有的學(xué)生是以較簡便靈活 的方法解答的，有的學(xué)生是以較笨拙的方法解答的，有的學(xué)生還可能是通過錯誤的方法得到了正確的答案。如 計(jì)算8+5時，有的學(xué)生從8開始數(shù)：9、10、11、12、13。有的學(xué)生把5分成2和3，體現(xiàn)了“湊十”的方法。因此 ，通過學(xué)生的操作，教師可以根據(jù)了解到的不同情況對學(xué)生的操作進(jìn)行評價，使學(xué)生得到及時的反饋信息，從 而進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。
3.學(xué)具操作的方法，使學(xué)生多種感官協(xié)同活動，有助于學(xué)生思維的發(fā)展。巴甫洛夫高級神經(jīng)學(xué)說認(rèn)為，人 類具有第一、第二信號系統(tǒng)。第二信號（以語言、文字為表現(xiàn)形式的信號）系統(tǒng)是在第一信號（以感覺、知覺 為表現(xiàn)形式的信號）系統(tǒng)逐漸豐富、發(fā)展的基礎(chǔ)上產(chǎn)生發(fā)展起來的。第二信號系統(tǒng)只有通過第一信號系統(tǒng)并與 第一信號系統(tǒng)相聯(lián)系，才有意義。一個正常的人，只有他經(jīng)常地、正確地與第一信號系統(tǒng)保持聯(lián)系，即與現(xiàn)實(shí) 的最近通道保持聯(lián)系，他才能利用第二信號，才有可能進(jìn)行科學(xué)發(fā)明，自我完善等等。蘇聯(lián)早期教育家布朗斯 基認(rèn)為：“思維以極密切的方式跟肌肉——運(yùn)動機(jī)構(gòu)聯(lián)系著�！笨唆斊账箍▼I也認(rèn)為，學(xué)校應(yīng)當(dāng)從兒童最年幼 的時候開始，就加強(qiáng)和發(fā)展外部感覺、視覺、聽覺、觸覺等等，因?yàn)橹X的力量和多樣性都取決于這些感覺的 敏銳性、完善和發(fā)展程度。因此，必須讓兒童有可能經(jīng)常練習(xí)自己的外部感覺。由此可見，要發(fā)展和完善思維 能力，首先意味著要發(fā)展和完善它的“根基”，即開動感覺和知覺的所有形式——首先是視覺、動覺、聽覺進(jìn) 入積極活動。這就是學(xué)具操作不僅能幫助學(xué)生理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且能促使學(xué)生思維發(fā)展的理論依 據(jù)。而目前的學(xué)校教育的情況是，學(xué)生從進(jìn)入學(xué)校開始，第二信號系統(tǒng)就過分地開始加碼，而第一信號系統(tǒng)基 本上只完成一些輔助性職能，由于第一、第二信號系統(tǒng)的相對平衡遭到破壞，第二信號系統(tǒng)的發(fā)展也就受到阻 礙。尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，給學(xué)生帶來的困難更嚴(yán)重，導(dǎo)致學(xué)生死記硬背結(jié)論，機(jī)械套用公式等現(xiàn)象。
兒童心理的發(fā)展可劃分為直覺動作思維、具體形象思維和抽象邏輯思維三個階段。小學(xué)生的心理發(fā)展，處 于由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。但是兒童正在形成的一種新的思維并不排斥、也完全不能替代 前面形成的幾種思維。在教學(xué)過程中不論是抽象邏輯思維、具體形象思維，還是直覺動作思維，都應(yīng)得到發(fā)展 ，而且它們是在密切的互相作用中發(fā)展的。利用學(xué)具進(jìn)行操作，能使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的各個細(xì)節(jié)進(jìn)行充分的全 面的感知并形成表象，而形象思維的豐富性、條理性將直接影響概念的充實(shí)性和準(zhǔn)確性。可以說，學(xué)具操作使 直觀的和抽象的思維都在教學(xué)過程中得到了發(fā)展和完善。
三、學(xué)具操作時應(yīng)注意的幾個問題
1.注意操作材料的選擇。數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)和形的，而不是物體的外部特征和屬性。因此，選擇操作材 料的標(biāo)準(zhǔn)，是要看學(xué)生與操作材料建立的活動和構(gòu)成教學(xué)過程本質(zhì)的活動這兩種活動之間的關(guān)系，即操作活動 是否有利于促進(jìn)認(rèn)識活動，如果這兩種活動之間沒有聯(lián)系，那么直觀材料也就是無益的，有時甚至可能起到分 散注意力和妨礙學(xué)生思維的作用。由此可見，操作材料的選擇要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，并非越直觀形象越好， 也并非是多多益善。像我國許多學(xué)校采用的計(jì)數(shù)器，就是一種半具體半抽象的很好的學(xué)具。國外的奎遜納彩色 棒是一些長度不等的木條（長度從1厘米到10厘米不等，橫截面是邊長1厘米的正方形），涂上不同的顏色，分 別代表從1到10這10個數(shù)字。利用它可以幫助學(xué)生認(rèn)數(shù)、計(jì)數(shù)，進(jìn)行整數(shù)四則計(jì)算，還可以認(rèn)識分?jǐn)?shù)，進(jìn)行分?jǐn)?shù) 的四則計(jì)算，以及學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)的整除方面的知識。
2.要明確學(xué)具操作的目的。在教學(xué)過程的不同階段運(yùn)用學(xué)具操作有其不同的作用。在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)知識前 進(jìn)行的學(xué)具操作，目的是幫助學(xué)生獲得一定的感性認(rèn)識為理解知識作好準(zhǔn)備。如齒輪問題，學(xué)習(xí)前讓每個學(xué)生 對一組相互咬合的齒輪進(jìn)行轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)大齒輪轉(zhuǎn)得慢，小齒輪轉(zhuǎn)得快，轉(zhuǎn)動的快慢與齒數(shù)有關(guān)。 通過這樣的操作活動，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“兩個互相咬合的齒輪，它們所轉(zhuǎn)的總齒數(shù)一定，齒數(shù)與轉(zhuǎn)數(shù)存在著 反比例關(guān)系”這一知識提供了具體的感性經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)習(xí)某些新知識的過程中，進(jìn)行學(xué)具操作的目的是揭示概念 的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生形成新概念或抽象概括出新的規(guī)律。如學(xué)習(xí)“圓周率”和“三角形的內(nèi)角和”時，就是 讓學(xué)生準(zhǔn)備幾個直徑不等的圓形紙片和大小不同的三角形紙片，通過學(xué)生的量、剪、拼、折等實(shí)踐活動，邊操 作邊思考，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論。在鞏固和復(fù)習(xí)時進(jìn)行學(xué)具操作，目的是深化所學(xué)的知識 ，弄清知識間的區(qū)別和聯(lián)系，如學(xué)習(xí)了“比多”、“比少”應(yīng)用題后，往往會形成“比多”就加，“比少”就 減的錯誤認(rèn)識。可以通過操作，讓學(xué)生對這樣一些易混易錯的知識加以區(qū)別，加深理解。
3.要重視語言在學(xué)具操作中的作用。語言是思維的工具，在學(xué)具操作時要充分發(fā)揮語言的作用。讓學(xué)生表 述操作的過程，根據(jù)操作過程說出思考過程，并把操作的結(jié)果用準(zhǔn)確、精煉的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。加里培林認(rèn) 為：“可以毫不夸大地說，沒有言語范疇里的練習(xí)，物質(zhì)的活動根本不能在表象中反映出來，要離開實(shí)物的直 接依據(jù)首先要求有言語的依據(jù)，要求對新活動作言語的練習(xí)”，“言語活動的真正優(yōu)越性不在于脫離與實(shí)物的 直接聯(lián)系，而在于它必然為活動創(chuàng)造新的目標(biāo)——抽象化”。也就是說，在教學(xué)中要避免只動手，不動口，把 動手與動口結(jié)合起來。離開語言，就難以實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的過渡。
4.操作中要注意進(jìn)行表象的訓(xùn)練。表象是學(xué)生由操作形成抽象知識的必不可少的中介環(huán)節(jié)，缺少這一環(huán)節(jié) ，就會影響理解知識的深度，影響抽象和概括的進(jìn)行。所以，必須重視表象的橋梁作用。許多優(yōu)秀教師在教學(xué) 中非常注意抓表象訓(xùn)練。如：“現(xiàn)在有12個梨，要平均放在3個盤子里，每盤放幾個？”要求學(xué)生閉上眼睛，一 邊想，一邊不出聲地說，想好后講給大家聽。一個學(xué)生說：“我先在腦子里擺好3個盤子，然后在每個盤子里放 上1個梨，再把剩下的梨按這種方法一個一個地分，最后數(shù)數(shù)每個盤子里有幾個�！庇械慕處熢诮虒W(xué)“長方體和 正方體的認(rèn)識”時，讓學(xué)生閉上眼睛，按照腦子里出現(xiàn)的長方體的形狀，說一說長方體有哪些特征。表象的形 成需要有意識的專門訓(xùn)練，忽視表象的訓(xùn)練，抽象就失去了依據(jù)，操作也就失去了意義。
5.要注意引導(dǎo)學(xué)生及時進(jìn)行抽象，并回到具體中進(jìn)行檢驗(yàn)。在學(xué)具操作過程中，要引導(dǎo)學(xué)生積極地思考， 發(fā)展學(xué)生的思維能力。學(xué)具操作不是為了活躍課堂氣氛，而是要引導(dǎo)學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察、分析、比 較、抽象和概括，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，否則會妨礙學(xué)生思維的發(fā)展。同時還要注意從抽象回到具體， 具體化和抽象概括是相反的過程。在抽象概括出事物的本質(zhì)的一般特征之后，引導(dǎo)學(xué)生回到具體的個別的事物 上去，對抽象、概括出的結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用和檢驗(yàn)。如學(xué)習(xí)乘法的初步認(rèn)識后，可以出現(xiàn)算式3×4，讓學(xué)生用小圓 片擺出這個算式表示的是幾個幾。學(xué)過分?jǐn)?shù)的意義后，可以通過舉例的方法檢驗(yàn)學(xué)生的理解程度。
值得一提的是，在操作中要注意體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，探索結(jié)論。有的教師沒有真正 理解學(xué)具操作對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，因而教學(xué)中，以自己的演示代替學(xué)生的親手操作；也有的教師代替學(xué)生 思考，我們稱之為“教師的腦，學(xué)生的手”，即學(xué)生只是按照教師的思路，模仿性地動手?jǐn)[一擺，表面上是學(xué) 生在操作，實(shí)質(zhì)上并未達(dá)到操作的真正目的。
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