從一個土豆大小談起

    這是一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課。同學(xué)們根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容——立體圖形的體積計算，早把學(xué)具一一作了準備。有的拿來 了長方體的鐵盒，有的拿來了正方體的紙盒，有的拿來了圓柱形的鐵桶，有的拿來了圓錐形的量杯……誰知老 師卻提來半桶水和一包細砂土，還帶來一架稱重量的天平，弄得同學(xué)們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復(fù)習(xí)內(nèi)容了？”……這時，老師從兜里拿出一個土豆兒，高高舉起來，說：“今 天咱們復(fù)習(xí)立體圖形的體積計算，看誰能用學(xué)過的知識，計算出土豆兒的體積？”說著，神秘地看了看大家。
    頓時，教室里靜了下來。誰都知道，我們雖然學(xué)過正方體、長方體和圓柱體、圓錐體的體積計算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個不規(guī)則的形體，那怎么計算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時，誰也不知怎么辦？
    正當同學(xué)們困惑不解的時候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長方體的鐵罐內(nèi)，然后微笑著， 用期待的目光看著同學(xué)們。
    “老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺，他先用尺子從里面量出長方體鐵罐的長（a）、寬（b ）和高（h[,1]）， 然后將土豆兒放入罐內(nèi)，并用細砂把鐵罐填滿。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。
    這時，有人插話：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積�！�
    小昆看了看插話的同學(xué)，繼續(xù)有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內(nèi)取出，唯恐帶出砂子，接著 再用小三角板將罐內(nèi)的砂面刮平，并測出砂面的高度（h[,2]）， 然后對大家說：“罐內(nèi)砂面的高度由h[,1]降 到h[,2]，就是因為取出土豆兒的緣故，所以，土豆兒的體積可以這樣計算�！闭f著，就在黑板上板書起來。
    土豆兒體積＝長方體鐵罐容積－鐵罐內(nèi)砂子體積
    ＝V[,1]－V[,2]＝abh[,1]－abh[,2]
    “其實，小昆的計算方法可以改進”。還是剛才插話的那位同學(xué)，指著小昆的板書說：“abh[,1]－abh[, 2]，就是ab（h[,1]－h(huán)[,2]），也就是說，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了�！�
    “砂子面的高度差就是從罐內(nèi)取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計算土豆兒的體積，只要用長方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看——”大為同學(xué)不僅進一步改進了計算方法，而且還在黑 板上畫出示意圖。
    附圖{圖}
    土豆兒體積＝長方體鐵罐的底面積×砂面下降的高度
    V＝abh[,3]
    這時，教室里的氣氛熱烈起來了。
    “要是鐵罐不漏水的話，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計算出土豆兒的體積。”
    “用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計算土豆兒的體積�！保ㄒ妶D）
    附圖{圖}
    土豆兒的體積＝正方體容器的底面積×砂（水）面下降的的高度
    V＝a[2]h
    “只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個鐵盒也照樣可以。”二剛 說著，高高地舉起他帶來的口小底大的鐵皮盒。
    這時，老師一邊在黑板上畫示意圖，一邊鼓勵二剛：“可以。請你具體講一講�！�
    附圖{圖}
    “雖然這個容器的底兒是長方形，但是計算容積時，應(yīng)該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的長�！闭f著，他干凈利索地操作起來——放入土豆兒，填滿砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內(nèi)砂面 ，測量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長（f）。然 后，板書計算方法：
    土豆兒體積＝橫截面面積×容器的長度
    V＝1／2（a＋b）hf
    “測量橫截面的面積，也可以用中位線乘以高�！庇钟腥瞬逶�。
    “當然可以！”二剛指著容器內(nèi)，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現(xiàn)的梯形，胸有成竹地說，“只 要測出中位線（m）和高（h）就可以�！�
    土豆兒體積＝砂面下降橫截面面積×容器的長
    V＝mhf
    “剛才，同學(xué)們都利用計算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積的計算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著同學(xué)們帶來的其它學(xué)具，啟發(fā)大家。
    這次，小剛同學(xué)搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機玻璃桶，照樣可以計算土豆兒體積�！�
    “那你試試看�！崩蠋熣f。
    小剛自信地走上講臺，開始操作：他把圓柱形的有機玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進桶里。這時，桶內(nèi)的水沿著桶的邊沿流入缸內(nèi)，直到水滴停止。接著他從里面 測量了玻璃缸的底面直徑和缸內(nèi)的水面高度，然后，在黑板上板書：
    土豆兒體積＝排出的水的體積
    ＝玻璃缸的底面積×流入缸內(nèi)的水面高度
    V＝sh
    ＝πr[2]h
    ＝π（d／2）[2]h
    “這樣測量不準確！”
    “可不，桶的側(cè)面還粘有不少水呢！”不少同學(xué)提出了意見。
    老師走上講臺，親切安慰了小剛幾句，然后對大家說：“誰能做得準確一些呢？”
    話音剛落，小昆再次走上講臺。他先把土豆兒放進桶內(nèi)，然后小心地將桶注滿水，接著用兩把小尺子輕輕 地插入桶內(nèi)，去夾土豆兒。雖然動作很小心，但是桶內(nèi)的水還是溢出一點兒，不過量很少，而且他不再測量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對大家說：“剛才滿桶的水，現(xiàn)在桶內(nèi)水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積�！毙±ヒ娡瑢W(xué)們都在認真聽講，接著說：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和 取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了�！�
    正當小昆拿起尺子要測量時，大為高高地舉起右手發(fā)言：“我認為小昆的測量方法還是不夠準確�！�
    “那你來——”
    大為大大方方地走上講臺，先往圓柱形的空桶內(nèi)注進半桶左右的水，并用紅粉筆在桶的外側(cè)面做上水面高 度的記號，然后對大家說：“桶內(nèi)注水的多少，得估計能沒過整個土豆兒�！苯又�他輕輕地將土豆兒放地桶里 ，眼看著桶內(nèi)的水面很快上升，直到土豆兒整個浸沒在水中。這時，他拿起尺子測量桶內(nèi)水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直徑（d）。最后，大為轉(zhuǎn)過身去，在黑板上畫出示意圖，并寫出計算土豆兒體積的方法。
    附圖{圖}
    土豆兒體積＝桶內(nèi)水上升的體積
    ＝桶的底面積×水上升的高度
    V＝sh
    ＝πr2h
    ＝π（d／2）[2]h
    同學(xué)們都一致認為：大為的計算方法既簡單又準確，不過也有人說：“用大為的辦法，必須在放進土豆兒 之前，預(yù)先估計到先注入桶內(nèi)的水，能完全浸沒整個土豆兒，否則就更不準確了�！贝鬄槁犃�，連連點頭說“ 是”。
    “下面請二林同學(xué)發(fā)言�！彪S著老師的話音，二林高高地舉著圓錐形的玻璃容器，神氣地問：“你們能用 它來測量土豆兒的體積嗎？”
    “那你會嗎？”同學(xué)們反問。
    “請大家看——”二林先在黑板上畫了兩幅示意圖，然后指著左邊的圖對大家說：“這是照小昆方法，先 將土豆兒放入容器內(nèi)，用砂子把容器填滿，刮平砂面，再取出土豆兒；然后從里面測量圓錐形容器的底面直徑 （d[,1]）、高（h[,1]），測量取出土豆兒后容器內(nèi)砂面的直徑（d[,2]）、高（h[,2]）。這樣，就可以利用 圓錐體積計算公式，求出土豆兒的體積�！�
    附圖{圖}
    土豆兒體積＝圓錐形容器的容積－取出土豆兒后容器內(nèi)砂子體積
    V＝1／3s[,1]h[,1]－1／3s[,2]h[,2]
    ＝1／3πr[2][,1]h[,1]－1／3πr[2][,2]h[,2]
    ＝1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]－1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]
    接著，二林指著右邊的示意圖，說：“這是照大為的方法，先在容器內(nèi)注入一定量的水（能整個沒過土豆 兒），從里面量出水面高度（h[,1]）和水面的直徑（d[,1]），然后再放入土豆兒，待土豆兒完全被浸沒，再 從里面量出水面上升的高度h[,2]）和直徑（d[,2]）。這樣也可以計算出土豆兒的體積�！�
    附圖{圖}
    土豆兒體積＝放入土豆兒后容器內(nèi)的體積－容器內(nèi)原有的水的體積
    V＝1／3s[,2]h[,2]－1／3s[,1]h[,1]
    ＝1／3πr[2][,2]h[,2]－1／3πr[2][,1]h[,1]
    ＝1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]
    二林的話剛講完，二剛邊舉手邊站起來，說：“為什么不直接利用底面積乘以砂面下降或水面上升的高度 ，來計算呢？”
    二林指了指圖上——取出土豆兒后，砂子下降部分和放入土豆兒后，水面上升部分�！斑@——”一時不知 道說什么好。
    這時，老師走上前，在黑板上另行畫出二林所指的部分——
    附圖{圖}
    ，說：“大家還記得‘趣自旋轉(zhuǎn)來’一文中提到的圓臺嗎？現(xiàn)在我們能理解到二林的程度就可以了。不過 ，大家在計算1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]時，可以把1／3π提出來，使計算 簡便些。那么，下面請大家再想想，還有別的計算方法嗎？”說著，指了指講臺上的天平，對大家說：“我還 可以用它來計算土豆兒的體積呢！你們行嗎？”
    教室里暫時安靜下來。
    “老師，我行！”隨著一聲自信的回答，小玲走上講臺，先把土豆兒放在平天上稱出重量，然后用小刀切 出棱長1 厘米的小方塊土豆兒——修改了好幾次才切成，并稱出這小塊的重量，就在黑板上板書：
    土豆兒體積＝土豆兒重量÷每立方厘米的土豆兒重量
    “其實，用不著非切成小正方體�！贝鬄檠a充，“只要切成長方體的小塊，量出它的長、寬、高，稱出它 的重量就可以�！�
    附圖{圖}
    老師對同學(xué)們的發(fā)言非常滿意，不時地點頭稱好。
    最后，老師作總結(jié)：“同學(xué)們，剛才我們通過計算土豆兒的體積，系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了立體圖形的體積計算。課 下，請大家思考下面兩個問題：
    （1）柱體（棱柱和圓柱）的體積計算與哪兩個基本因素有關(guān)？
    （2）物體的體積大小與它的形狀變化有沒有關(guān)系？ 與它的重量之間有沒有關(guān)系？

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