高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)的相天性

    一般人認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相差甚遠(yuǎn)，事實(shí)上它們之間不僅在內(nèi)容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯(lián)系。如果站在高等數(shù)學(xué)的高度來(lái)理解小學(xué)數(shù)學(xué)，會(huì)使人感到小學(xué)數(shù)學(xué)的博大和精深；如果能把小學(xué) 數(shù)學(xué)的內(nèi)容放在高等數(shù)學(xué)這一背景中理解，從某種意義上講小學(xué)數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。如果小學(xué)數(shù) 學(xué)教師都能站在高等數(shù)學(xué)的高度來(lái)進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，那將會(huì)對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念起到非常積極的意 義。本文將從內(nèi)容和思維形式兩個(gè)方面來(lái)揭示小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。
    一、內(nèi)容的互補(bǔ)性
    高等數(shù)學(xué)中的一些概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中一些量的抽象，而小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容則是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的實(shí)例。 如果站在抽象后的高度對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行解釋?zhuān)�那么小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學(xué)數(shù)學(xué)主要的教學(xué)內(nèi)容之一，在高等數(shù)學(xué)中則是映射（代數(shù)運(yùn)算）的幾個(gè)特例而已。如果沒(méi)有小 學(xué)數(shù)學(xué)這些實(shí)例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數(shù)運(yùn)算的概念；如果在掌握了一般的代數(shù)運(yùn)算的概念的 基礎(chǔ)上講解加、減、乘、除，就會(huì)把這些概念講活講完整。一般來(lái)講，高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上是從以下 四個(gè)方面進(jìn)行互補(bǔ)的。
    １．個(gè)別和一般
    小學(xué)數(shù)學(xué)中有平均數(shù)的計(jì)算，平均數(shù)在高等數(shù)學(xué)中就是數(shù)學(xué)期望值的特例。如果站在數(shù)學(xué)期望的高度來(lái)講 解平均數(shù)，教師就會(huì)著重強(qiáng)調(diào)平均數(shù)和各個(gè)數(shù)之間差異，學(xué)生就會(huì)知道全班數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和每個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)， 雖然都是分?jǐn)?shù)，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學(xué)生只會(huì)計(jì)算平均分?jǐn)?shù)，而沒(méi)有把平均分?jǐn)?shù)和每個(gè) 學(xué)生的分?jǐn)?shù)加以區(qū)別，那么學(xué)生只是多做了一些四則運(yùn)算的習(xí)題。這樣不僅不能活躍學(xué)生的思維，而且也不利 于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。再如小學(xué)數(shù)學(xué)中求自然數(shù)的正約數(shù)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，則是高等數(shù)學(xué)中代數(shù)基本定理的應(yīng)用 ，并且求解任一正整數(shù)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，在高等數(shù)學(xué)中也有論證。
    ２．有限和無(wú)限
    在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一般是在有限的范圍內(nèi)討論問(wèn)題，有些問(wèn)題則需要利用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行解釋。如小學(xué) 數(shù)學(xué)中數(shù)的認(rèn)識(shí)，內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但是其中數(shù)“數(shù)”及用“對(duì)等”的方法比較兩個(gè)集合之間元素個(gè)數(shù)關(guān)系問(wèn)題 必須讓學(xué)生理解。這是因?yàn)閿?shù)“數(shù)”的方法是高等數(shù)學(xué)中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對(duì)等”的方 法則是比較兩個(gè)集合（有限集、無(wú)限集）之間元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的基本方法。又如，小學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于“自然數(shù)是無(wú) 限的”這一結(jié)論，只有用極限的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行解釋?zhuān)瑢W(xué)生才能正確地理解這一結(jié)論。相反，如果教師沒(méi)有扎實(shí)的 高等數(shù)學(xué)根底，而是采用一些不正確的方法進(jìn)行解釋?zhuān)�不僅不能幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解“自然數(shù)是無(wú)限的”這一 結(jié)論，而且會(huì)影響學(xué)生今后對(duì)極限概念的理解。再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)限循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的互化問(wèn)題，這 一問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中級(jí)數(shù)概念的應(yīng)用，教師在教學(xué)中通過(guò)“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關(guān)系的 解釋?zhuān)�就�?huì)讓學(xué)生再一次體會(huì)極限的概念。
    ３．靜止和運(yùn)動(dòng)
    小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念如果只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，則是靜止的。如２＋３這一表達(dá)式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個(gè)表達(dá)形式，則是運(yùn)動(dòng)的。這是因?yàn)椋喝簦玻剑常�１，３＝１＋２，……那么這個(gè)表達(dá)式變?yōu)椋?３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號(hào)房間和３號(hào)房間里人數(shù)之和，那么這個(gè)表達(dá)式的意義又不同了 。通過(guò)這一次次的變化，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數(shù)思想的雛型。而代數(shù)思 想是研究數(shù)學(xué)的最根本的思想之一。
    ４．推算和預(yù)測(cè)
    小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類(lèi)問(wèn)題是已知現(xiàn)在的值，求原來(lái)的值。例如：現(xiàn)對(duì)甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間的人員進(jìn)行三次調(diào) 整。第一次丙車(chē)間不動(dòng)，甲、乙兩個(gè)車(chē)間中的一個(gè)車(chē)間調(diào)出８人給另一車(chē)間；第二次乙車(chē)間不動(dòng)，甲、丙兩車(chē) 間中的一個(gè)車(chē)間調(diào)出８人給另一車(chē)間；第三次甲車(chē)間不動(dòng)，乙、丙兩車(chē)間中的一個(gè)車(chē)間調(diào)出７人給另一車(chē)間。 三次調(diào)整后甲車(chē)間有７人，乙車(chē)間有１２人，丙車(chē)間有４人。問(wèn)各車(chē)間原來(lái)有多少人。
    此題若按調(diào)整先后順序來(lái)推算，將很繁瑣，而用列表進(jìn)行推算則十分簡(jiǎn)單。
    人 數(shù) 甲車(chē)間 乙車(chē)間 丙車(chē)間
    第三次調(diào)整后 ７ １２ ４
    第二次調(diào)整后 ７ ５ １１
    第一次調(diào)整后 １５ ５ ３
    原來(lái) ７ １３ ３
    求解這一類(lèi)問(wèn)題的方法是用列表（或作圖）進(jìn)行的，一般稱(chēng)這種方法為倒退法。而高等數(shù)學(xué)中更多的是已 知過(guò)去和現(xiàn)在的值，求未來(lái)，這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為預(yù)測(cè)，也是通過(guò)列表（或作圖）利用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行求解的。
    二、思維形式的相通性
    常用的思維方法有分析和綜合、比較和分類(lèi)、歸納和演繹、系統(tǒng)等方法。研究和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必須以科學(xué) 的思維方法作指導(dǎo)，這已達(dá)成共識(shí)，而很多人則把小學(xué)數(shù)學(xué)看成是以培養(yǎng)技巧為主。從小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看， 如果不強(qiáng)調(diào)思維的培養(yǎng)，只是一味地訓(xùn)練運(yùn)算技巧，那么小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)將會(huì)變得非常枯燥乏味。如果在小學(xué) 數(shù)學(xué)中強(qiáng)化科學(xué)思維的培養(yǎng)，那么將會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果，同時(shí)也會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面分別敘述四 種常用的思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
    １．分析和綜合
    分析，是將被研究對(duì)象的整體分為各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別加以考察，從而認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的 思維方法。綜合，是將已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面、因素和層次的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成對(duì)研究對(duì)象 整體性的新認(rèn)識(shí)的思維方法。
    分析和綜合是數(shù)學(xué)中常用的思維方法，“曹沖稱(chēng)象”這則故事正是分析和綜合方法應(yīng)用的實(shí)例。七歲的小 曹沖以“稱(chēng)石頭代稱(chēng)象”，運(yùn)用的就是一種把整體分成若干較小而簡(jiǎn)單的問(wèn)題，逐個(gè)地加以解決，從而使原問(wèn) 題得以解決的方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用分析和綜合的方法求解的實(shí)例也很多。
    例如：某一項(xiàng)建筑工程，由甲、乙兩隊(duì)承包，１２／５天可以完成，需支付１８００元；由乙、丙兩隊(duì)承 包，１５／４天可以完成，需支付１５００元；由甲、丙兩隊(duì)承包，２０／７天可以完成，需支付１６００元 。在保證“一個(gè)星期內(nèi)完成這項(xiàng)工程”的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？
    解答這個(gè)問(wèn)題必須在“天數(shù)”和“錢(qián)數(shù)”上想辦法。由于同時(shí)兼顧二者難以下手，故采取把整體分成個(gè)體 分別求解。
    從天數(shù)考慮，甲、乙、丙三隊(duì)每天共做：
    （５／１２＋４／１５＋７／２０）÷２＝３１／６０
    甲隊(duì)每天做：３１／６０－４／１５＝１／４
    乙隊(duì)每天做：３１／６０－７／２０＝１／６
    丙隊(duì)每天做：３１／６０－５／１２＝１／１０
    即：?jiǎn)为?dú)承包這項(xiàng)工程，甲、乙、丙隊(duì)分別需要４天、６天、１０天。
    從錢(qián)數(shù)考慮，甲、乙、丙三隊(duì)合做一天共需支付工資：
    （７５０＋４００＋５６０）÷２＝８５５（元）
    甲隊(duì)每天所需：８５５－４００＝４５５（元）
    乙隊(duì)每天所需：８５５－５６０＝２９５（元）
    丙隊(duì)每天所需：８５５－７５０＝１０５（元）
    綜合列表如下：
    單獨(dú)承包需要天數(shù) 單獨(dú)承包每天工資 完成工程工資
    甲 ４ ４５５元 １８２０元
    乙 ６ ２９５元 １７７０元
    丙 １０ １０５元 １０５０元
    根據(jù)題意可知，在一個(gè)星期內(nèi)完成這項(xiàng)工程，選擇乙隊(duì)最理想。
    ２．比較和分類(lèi)
    比較，是從具有同一性的事物間尋找其差異性，或者從具有差異性的事物間尋找其同一性的思維方法。分 類(lèi)，是通過(guò)比較建立集合的思維方法。
    在高等數(shù)學(xué)中可以利用同態(tài)、同構(gòu)的方法把整數(shù)與多項(xiàng)式、矩陣與線性變換、多面體和平面圖等建立聯(lián)系 。這就是比較、分類(lèi)的方法。而小學(xué)數(shù)學(xué)中在學(xué)生掌握了自然數(shù)的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，也是通過(guò)比較的方 法使學(xué)生掌握小數(shù)的四則運(yùn)算的。
    ３．歸納和演繹
    歸納，是從已知個(gè)別的或特殊的知識(shí)出發(fā)，概括出一般性或普遍性結(jié)論的思維方法。演繹，是從已知一般 性的或普遍性的知識(shí)出發(fā)，推斷出個(gè)別或特殊的結(jié)論的思維方法。
    這一方法在小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是最為廣泛的，這里就不一一例舉了。
    ４．系統(tǒng)的方法
    系統(tǒng)的方法，就是把研究對(duì)象作為整體，從整體的部分與部分、整體與環(huán)境的相互聯(lián)系、相互作用中綜合 地考察對(duì)象的思維方法，即整體思考的思維方法。
    高等數(shù)學(xué)中的集合、向量空間、群等都是系統(tǒng)方法的應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，如果利用這一思想方法不僅可 以發(fā)展學(xué)生的思維，而且在解題時(shí)，可以化繁為簡(jiǎn)，由此及彼。
    例如：獵人甲帶著他的獵狗到１２０千米外的獵人乙家去做客，當(dāng)甲出發(fā)時(shí)，乙也正好走出家門(mén)迎接甲。 甲每小時(shí)走１０千米，乙每小時(shí)走２０千米，獵狗每小時(shí)跑３０千米。當(dāng)獵狗先與乙相遇后，又返回來(lái)迎接甲 ，與甲相遇后，再轉(zhuǎn)頭去迎接乙。這樣，獵狗在甲、乙之間往返奔跑。試問(wèn)：當(dāng)甲乙相遇時(shí)，獵狗共跑了多少 路程？
    本題可以從問(wèn)題的整體出發(fā)考慮，因?yàn)楂C狗從出發(fā)起到甲、乙相遇止，它就以每小時(shí)３０千米的速度整整 跑了１２０÷（１０＋２０）＝４（小時(shí)），所以一共跑了３０×４＝１２０（千米）。
    綜合所述，高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)之間確實(shí)存在著密切的聯(lián)系。如果在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中能科學(xué)地認(rèn)識(shí) 高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上的互補(bǔ)性，能有意識(shí)地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)在思維形式上的相通性，準(zhǔn)確地 把握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，融會(huì)貫通，并且積極發(fā)展學(xué)生的思維，那么將會(huì)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)水平的提高起 到一定的推動(dòng)作用。

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