用猜想驗(yàn)證的方法化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)
把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，可以用移動(dòng)循環(huán)節(jié)的過程來推導(dǎo)，也可以用無限遞縮等比數(shù)列的求和公式計(jì) 算得到。下面我們運(yùn)用猜想驗(yàn)證的方法來推導(dǎo)。（一）化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)
大家都知道：一個(gè)有限小數(shù)可以化成分母是10、100、1000 ……的分?jǐn)?shù)。那么，一個(gè)純循環(huán)小數(shù)可以化成 分母是怎樣的分?jǐn)?shù)呢？我們先從簡(jiǎn)單的循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)開始。如：＠①、＠②……化成分?jǐn)?shù)時(shí) ，它們的分母可以寫成幾呢？
想一想：可能是10嗎？不可能。因?yàn)?/10＝0.1〈＠①，3/10＝0.3〉＠②；可能是8嗎？不可能。 因?yàn)?/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0.375〉＠②；那么，可能是幾呢？因?yàn)?/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分 母可能是9。 下面我們來驗(yàn)證一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝ ＠②。
計(jì)算結(jié)果說明我們的猜想是對(duì)的。那么，所有循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是9的分?jǐn)?shù)嗎 ？讓我們根據(jù)自己的猜想， 把＠③、＠④化成分?jǐn)?shù)后再驗(yàn)證一下。
＠③＝4/9 驗(yàn)證：4/9＝4÷9＝0.444……
＠④＝6/9＝2/3 驗(yàn)證：2/3＝2÷3＝0.666……
經(jīng)過上面的猜想和驗(yàn)證，我們可以得出這樣的結(jié)論：循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用一個(gè) 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用9 作分母；然后，能約分的再約分。
循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分?jǐn)?shù)時(shí)，它們的分母又可以寫 成多少呢？
想一想：可能是100嗎？不可能。因?yàn)?2/100＝0.12〈＠⑤，13/100＝0.13〈＠⑥�？赡苁�98嗎？不可能。 因?yàn)?2/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0.1327〉＠⑥；可能是多少呢？因?yàn)?2/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥ 〈13/98，所以分母可能是99。是否正確，還需驗(yàn)證一下。
12/99＝12÷99＝0.121212……＝＠⑤；
13/99＝13÷99＝0.131313……＝＠⑥。
驗(yàn)證結(jié)果說明我們的猜想是正確的。那么，所有循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是99的分 數(shù)嗎？讓我們?cè)龠\(yùn)用猜想的方法，把＠⑦、＠⑧化成分?jǐn)?shù)后，驗(yàn)算一下。
＠⑦＝15/99＝5/33，驗(yàn)算：5/33＝5÷33＝0.151515……
＠⑧＝18/99＝2/11，驗(yàn)算：2/11＝2÷11＝0.181818……
經(jīng)過這次猜想和驗(yàn)證，我們可以得出這樣的結(jié)論：循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用一個(gè)循 環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用99作分母；然后，能約分的再約分。
現(xiàn)在，你能推斷出循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法嗎？
因?yàn)檠h(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用9作分母， 循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù) 時(shí)，用99作分母，所以循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，我們猜想是用999作分母， 分子也是一個(gè) 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。讓我們?cè)賮眚?yàn)證一下，如果這個(gè)猜想也是正確的，那么，我們就可以依次推下去了。
附圖{圖}
實(shí)驗(yàn)證明：我們的猜想是完全正確的。照此推下去，循環(huán)節(jié)是四位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，就要用 9999作分母了。實(shí)踐證明也是正確的。所以，純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是：
用9、99、999……這樣的數(shù)作分母，9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同；用一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)作分子；最 后能約分的要約分。
二、化混循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)
我們已經(jīng)運(yùn)用猜想驗(yàn)證的方法研究過怎樣化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)，再用這種方法研究一下怎樣化混循環(huán)小數(shù) 為分?jǐn)?shù)。
還是先從較簡(jiǎn)單的數(shù)入手，如：
附圖{圖}
……這樣循環(huán)節(jié)只有一位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，分子、分母分別有什么特點(diǎn)呢？
這樣想：一個(gè)混循環(huán)小數(shù)有循環(huán)部分，還有不循環(huán)部分，能否將它改寫成一個(gè)純循環(huán)小數(shù)與一個(gè)有限小數(shù) 的和，然后再化成分?jǐn)?shù)呢？讓我們?cè)囋嚳础?
附圖{圖}
觀察以上過程，你能看出循環(huán)節(jié)只有一位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成的分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)嗎？很容易看出：它們 的分母都是由一個(gè)9與幾個(gè)0組成的數(shù)。再仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：0 的個(gè)數(shù)恰好與不循環(huán)部分的數(shù)字個(gè)數(shù)相同。它 們的分子有什么特點(diǎn)呢？不難看出：它們的分子都比不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)要小。到底小多少 呢？讓我們算一算：
（1）21－19＝2 （2）543－489＝54 （3）696－627＝69
細(xì)心觀察不難看出：分子恰好是一個(gè)比不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)少一個(gè)由不循環(huán)部分的數(shù)字 所組成的數(shù)。這個(gè)規(guī)律具有普遍性嗎？讓我們運(yùn)用以上的規(guī)律把
附圖{圖}
化成分?jǐn)?shù)，驗(yàn)證一下它的正確性。
附圖{圖}
驗(yàn)證：352/1125＝352÷1125＝0.312888……
驗(yàn)證的結(jié)果是完全正確的。那么，循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)化成的分?jǐn)?shù)，分子、分母是否也有這樣 的規(guī)律呢？分子是由一個(gè)比小數(shù)的不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)少一個(gè)不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù) ；分母是由9和0組成的數(shù)，0 的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字個(gè)數(shù)相同，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)相同。 讓我們按照猜想的方法試把
附圖{圖}
化成分?jǐn)?shù)，然后再驗(yàn)證一下。
附圖{圖}
實(shí)踐證明，我們的猜想是正確的。那么，循環(huán)節(jié)是三位數(shù)、四位數(shù)……的混循環(huán)小數(shù)是否也能按照這樣的 方法化分?jǐn)?shù)呢？讓我們把
附圖{圖}
化成分?jǐn)?shù)后，再驗(yàn)證一下
附圖{圖}
驗(yàn)證的結(jié)果也是正確的，說明我們的猜想可能是正確的。這個(gè)方法也確實(shí)是正確的。當(dāng)然，我們?cè)谶\(yùn)用猜 想驗(yàn)證的方法時(shí)，并不一定每次的猜想都是正確的。如果不正確，就需要根據(jù)具體情況進(jìn)行修改，然后再驗(yàn)證 ，直至正確為止。
猜想驗(yàn)證的方法是人類探索未知的一種重要方法，很多科學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，都是先有猜想，而后被不斷的驗(yàn) 證、再猜想、再驗(yàn)證才被認(rèn)識(shí)。猜想驗(yàn)證也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們應(yīng)在向?qū)W生講解具體知識(shí)的同時(shí) ，也要求他們從小就學(xué)習(xí)運(yùn)用這種思想方法。
字庫(kù)未存字注釋：
＠①原字為0.1，1上加.
＠②原字為0.3，3上加.
＠③原字為0.4，4上加.
＠④原字為0.6，6上加.
＠⑤原字為0.12，12上加.
＠⑥原字為0.13，13上加.
＠⑦原字為0.15，15上加.
＠⑧原字為0.18，18上加.
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