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《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程的設(shè)計與開發(fā)
駱魁敏 江西省樂平中學(xué)摘要:教師依托“高中數(shù)學(xué)虛擬實驗室”、“TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室”、《高中數(shù)學(xué)探究》專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站等數(shù)學(xué)技術(shù)平臺，設(shè)計與開發(fā)《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)“探究性課題學(xué)習(xí)”，有利于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新精神，敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣，初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，從而親身體驗數(shù)學(xué)探究的激情和愉悅，實現(xiàn)國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)。
關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)技術(shù)平臺，網(wǎng)絡(luò)校本課程，設(shè)計與開發(fā)，數(shù)學(xué)探究
一、引言
“進(jìn)入21世紀(jì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育行動綱領(lǐng)（1997—2010）”中有一個基本思想，也是我國多年數(shù)學(xué)教育改革實踐的主要經(jīng)驗：教師主導(dǎo)取向的有意義接受學(xué)習(xí)與學(xué)生自主取向的探究學(xué)習(xí)的取中、平衡，并按本國傳統(tǒng)來進(jìn)行整合。上述兩種學(xué)習(xí)方式的比較詳見下表：
表1 兩種學(xué)習(xí)方式的比較
比較項目 有意義接受學(xué)習(xí) 探究學(xué)習(xí)
特點 舊經(jīng)驗引導(dǎo)新學(xué)習(xí)；
教師系統(tǒng)傳授教材內(nèi)容；
及時練習(xí)與反饋校正。 從問題出發(fā)引出探究學(xué)習(xí)；
在合作學(xué)習(xí)中追求新知；
寓求知于生活實踐活動。
理論
基礎(chǔ) 行為主義理論、認(rèn)知心理學(xué)、奧蘇貝爾的有意義接受學(xué)習(xí) 人本主義理論、建構(gòu)主義理論與布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)
優(yōu)勢 目標(biāo)是基礎(chǔ)知識，有利于系統(tǒng)掌握知識與技能，學(xué)科測驗成績較高 目標(biāo)是能力和氣質(zhì)，解決問題、創(chuàng)造能力、人際關(guān)系、動機(jī)態(tài)度較優(yōu)
時至現(xiàn)代，我們從大量數(shù)學(xué)教育改革實踐的經(jīng)驗中悟出，以本國文化為底蘊，重新整合上述兩教學(xué)取向，不僅可能，而且必要。尋找中西方教育教學(xué)的中間地帶，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育以及整個國際數(shù)學(xué)教育改革與發(fā)展的大趨勢，也是整個國際教育改革的大策略。[1]
高中教學(xué)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，在保證筆算訓(xùn)練的前提下，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種教育技術(shù)平臺，加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學(xué)生運用計算機(jī)、計算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)。我們應(yīng)把信息技術(shù)不僅僅作為學(xué)習(xí)的對象，而應(yīng)當(dāng)作為學(xué)習(xí)的工具，努力實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合，實現(xiàn)教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的根本變革，充分發(fā)揮信息技術(shù)在學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究、合作交流等方面的優(yōu)勢。充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。[2]
二、《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程教學(xué)目標(biāo)分析
數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。該過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。
高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣。
數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。
學(xué)生在數(shù)學(xué)探究的過程中，應(yīng)學(xué)會查詢資料、收集信息、閱讀文獻(xiàn)。學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中，應(yīng)養(yǎng)成獨立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣，同時也應(yīng)學(xué)會與他人交流合作，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神。在數(shù)學(xué)探究中，學(xué)生將初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過程，體驗數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，提高發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)新精神。
三、《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程學(xué)習(xí)者特征分析
實驗對象為我校（省優(yōu)秀重點高中）高一年級學(xué)生232人，高二年級402人, 高三年級學(xué)生57人。學(xué)生具體情況為：高一（6）班59人，高一（7）班57人，高一（10）班62人，高一（14）班54人；高二（3）班57人，高二（4）班57人，高二（5）班55人，高二（6）班54人,高二（9）班59人，高二（10）班59人,高二（14）班61人;高三（7）57人。由于組成課題組采取自愿報名與負(fù)責(zé)人挑選的雙向選擇的方式，所以受試的選取事實上是采用隨機(jī)抽取現(xiàn)存自然教學(xué)班的方式完成。
四、《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程知識內(nèi)容分析
1、確立《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程內(nèi)容選擇的基本原則
數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。課題的選擇要有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)研究的過程，有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識，有助于鼓勵學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造性。因此，《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程內(nèi)容選擇應(yīng)滿足以下幾條基本原則。
4.1.1可接受性原則
數(shù)學(xué)探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，應(yīng)該特別鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能、方法、思想的過程中發(fā)現(xiàn)和提出自己的問題并加以研究。
4.1.2開放性原則
課題應(yīng)具有一定的開放性，課題的預(yù)備知識最好不超出學(xué)生現(xiàn)有的知識范圍。
4.1.3多樣化原則
數(shù)學(xué)探究課題應(yīng)該多樣化，可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深入，不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，也可以是發(fā)現(xiàn)和探索對自己來說是新的數(shù)學(xué)結(jié)果。
4.1.4整合性原則
將高中數(shù)學(xué)探究課程與信息技術(shù)進(jìn)行全面整合，編著網(wǎng)絡(luò)探究課程，建立《高中數(shù)學(xué)探究》專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站。
4.1.5 實踐性原則
關(guān)注知識形成的過程，盡可能多地為學(xué)生提供實踐操作的機(jī)會。
4.1.6 校本化原則
將高中數(shù)學(xué)探究課程作為校本課程，根據(jù)具體情況進(jìn)行選編。
4.1.7 交互性原則
《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程具有較強(qiáng)的交互功能，使用者依托《高中數(shù)學(xué)探究》專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，與基于網(wǎng)絡(luò)的《高中數(shù)學(xué)探究》校本課程研究課題組的指導(dǎo)專家、實驗教師、各實驗班學(xué)生等進(jìn)行同步或異步交流，合作探究，并實現(xiàn)資源共享。
4.2 精心設(shè)計《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程主要內(nèi)容
教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，教師要成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者、合作者。因此，我們編著的《高中數(shù)學(xué)探究》校本課程共分為十章：第1章.高中數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)的方法與思路；第2章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（1）：活動型課題；第3章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（2）：構(gòu)造性課題；第4章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（3）：猜想型課題；第5章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（4）：推廣型課題；第6章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（5）：總結(jié)型課題；第7章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（6）：重現(xiàn)型課題；第8章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（7）：統(tǒng)計型課題；第9章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（8）：概率型課題；第10章.高中數(shù)學(xué)探究課題類型（9）：滲透型課題。
五、組建高中數(shù)學(xué)探究的技術(shù)平臺
1、高中數(shù)學(xué)虛擬實驗室
高中數(shù)學(xué)虛擬實驗室網(wǎng)站由相互有機(jī)聯(lián)系的信息資源層（它包括策略庫、資料庫、題庫、積件庫、課件庫、軟件庫、教案庫、課題研究檔案等欄目）、教學(xué)工具平臺層（它包括高中代數(shù)、立體幾何、三角函數(shù)、平面解析幾何等Z+Z智能教育平臺，幾何畫板，測試與評估，BBS論壇等欄目）和超級鏈接層（它包括幾何畫板世界、圖形計算機(jī)世界、Google搜索引擎、數(shù)學(xué)奧林匹克俱樂部等網(wǎng)站）三部分組成，該網(wǎng)站掛靠在樂平中學(xué)網(wǎng)站.信息資源層的每一部分內(nèi)容依據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和教材分為高一年級、高二年級、高三年級、綜合等四個一級子目錄，一級子目錄下按教材各章順序分為若干個二級子目錄，二級子目錄下按教材各章的單元順序分為若干個三級子目錄，教師點擊三級子目錄即可閱讀有關(guān)的具體內(nèi)容。
教師在教學(xué)中要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)展現(xiàn)思維過程的情境，加強(qiáng)學(xué)生雙邊活動中的主體參與，讓每個學(xué)生都有動腦、動嘴、動手的機(jī)會，注重學(xué)生在認(rèn)知過程中的主體作用。使他們大膽地想、充分地問、多方位交流，教師要在教學(xué)活動中從一個知識傳播者自覺轉(zhuǎn)變?yōu)榕c學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的組織者、引導(dǎo)者、合作者�！案咧袛�(shù)學(xué)虛擬實驗室網(wǎng)站”恰恰在這方面為師生營造了一個他們共同需要的氛圍，使之成為學(xué)生探究數(shù)學(xué)真理、合作交流的工具。[3]
2、TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室
“TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室”是由TI圖形計算器、TI圖形計算器顯示屏、TI視頻轉(zhuǎn)換器、投影儀（光學(xué)/實物/電子）、臺式計算機(jī)、校園網(wǎng)等組成的一個有機(jī)的網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)環(huán)境，使各種教學(xué)信息和數(shù)據(jù)在他們之間自由傳輸，幫助教師和學(xué)生解決教與學(xué)中的問題。為學(xué)生搜集、處理數(shù)據(jù)提供有力的技術(shù)支持，增強(qiáng)學(xué)生動手操作、實踐的能力。使學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”的過程，理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；使學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究的過程，感受到數(shù)學(xué)與實際生活及其他學(xué)科之間聯(lián)系的緊密性，從而把更多的時間花在數(shù)學(xué)活動的創(chuàng)新探索中，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效果。它具有以下特色：
1、流動性
一方面表現(xiàn)在它可在固定的實驗室內(nèi)，更可以在任何一個普通的教室利用普通的投影儀進(jìn)行操作、演示教學(xué)，并還可以利用實物投影儀、電視、計算機(jī)等多種設(shè)備輔助教學(xué)；另一方面表現(xiàn)在師生方便的攜帶，老師隨時隨地備課，學(xué)生在教室、家庭、野外、運動場等各種場合進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，通過探索科學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)和掌握規(guī)律。
2、專業(yè)性
主要體現(xiàn)在作為“TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室”主體的TI圖形計算器是源于為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，后來又發(fā)展成為數(shù)理綜合性的應(yīng)用。
3、可擴(kuò)展性
TI圖形計算器的顯著特點還體現(xiàn)在它不僅僅在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用，還可以通過CBL和CBR，以及各種理化探頭，方便的進(jìn)行多種物理、化學(xué)、生物等學(xué)科實驗，甚至可進(jìn)行傳統(tǒng)的理化實驗尚不能完成的實驗。由于數(shù)學(xué)軟件的使用，還可以將實驗結(jié)果用適合的函數(shù)擬合，并用數(shù)學(xué)的方法分析，這樣數(shù)、理、化、生等課程成為一個綜合理科的實驗、教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新實踐的過程。
4、網(wǎng)絡(luò)化
TI圖形計算器不僅僅相互之間可以方便的傳輸數(shù)據(jù)和程序，更可以和相關(guān)的計算機(jī)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行通信，建立備份，綜合使用。同時，如今的TI圖形計算器已經(jīng)可以連接互連網(wǎng)，從網(wǎng)絡(luò)上下載應(yīng)用程序，更新操作系統(tǒng)，訂做用戶界面，甚至完成數(shù)學(xué)作業(yè)等。
“TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室”拓?fù)鋱D如下：
校園網(wǎng) TI-Presenter和電視機(jī)
計算機(jī) 教師計算器 顯示屏和投影儀
學(xué)生計算器
（CBR和CBL2為擴(kuò)展成數(shù)理實驗室時選用）
圖1:“TI現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育實驗室”拓?fù)鋱D
3、《高中數(shù)學(xué)探究》校本課程專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站
圖2：“《高中數(shù)學(xué)探究》專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站”的結(jié)構(gòu)設(shè)計流程圖
六、創(chuàng)建基于信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)模式體系
1、高中數(shù)學(xué)虛擬實驗探究教學(xué)模式
現(xiàn)代數(shù)學(xué)虛擬實驗是指教師根據(jù)數(shù)學(xué)思想發(fā)展脈絡(luò)，以數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺，充分運用信息技術(shù)，模擬實驗環(huán)境，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境，設(shè)計系列問題增加輔助環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、實踐、試驗，探索數(shù)學(xué)定理的證明、數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生親自體驗數(shù)學(xué)建構(gòu)過程�；诰W(wǎng)絡(luò)的高中數(shù)學(xué)虛擬實驗式教學(xué)模式概括為六個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境、確定主題、虛擬實驗、提出猜想、驗證猜想、成果交流。[4]
圖3 高中數(shù)學(xué)虛擬實驗探究式教學(xué)模式流程圖
2、高中數(shù)學(xué)TI實驗探究教學(xué)模式
我們構(gòu)建了基于TI手持技術(shù)的實驗探究教學(xué)模式：“創(chuàng)設(shè)情境——自主探究——猜想假設(shè)——推理論證——分析評價”。它主要適用于數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、例題等知識形成過程的教學(xué)，能充分體現(xiàn)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)歷程，注重對學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識策略和方法的培養(yǎng)。它應(yīng)當(dāng)成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的主要教學(xué)模式。我們在高中數(shù)學(xué)教改實驗中，指導(dǎo)學(xué)生運用TI-92或TI—92PLUS圖形計算器對高中數(shù)學(xué)課程中的“函數(shù)”（特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、無理函數(shù)、三角函數(shù)等）、“直線”、“圓錐曲線”、“立體幾何”等內(nèi)容進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。[5]
3、高中數(shù)學(xué)冒險活動方式
“數(shù)學(xué)冒險活動”即“選擇你自己的數(shù)學(xué)冒險活動”，最早是由美國夏威夷大學(xué)與當(dāng)?shù)氐闹袑W(xué)合作開發(fā)的項目，在該項目中學(xué)生自己決定要解決的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計并論證解決的策略，最終真正理解問題中的數(shù)學(xué)概念或思想。學(xué)生在這個主動學(xué)習(xí)的過程中，推理活動必須使分析、創(chuàng)造和實踐三方面的思維都得到充分的發(fā)揮。我們在此基礎(chǔ)之上構(gòu)建了基于網(wǎng)絡(luò)的的高中數(shù)學(xué)冒險活動方式,其流程圖如下：
圖4 “基于推理能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)冒險活動方式”流程圖
七、采取多種形式對高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)進(jìn)行評價
數(shù)學(xué)探究的結(jié)果以課題報告或課題論文的方式完成。課題報告包括課題名稱、問題背景、對事實的觀察分析、對結(jié)果的猜測、對結(jié)果的論證、合作情形、對探究結(jié)果的體會或評論、引證的文獻(xiàn)資料等方面。
可以通過小組報告、班級報告、答辯會等方式交流探究成果，通過師生之間和學(xué)生之間的討論來評價探究學(xué)習(xí)的成績，評價主要是正面鼓勵學(xué)生的探索精神，肯定學(xué)生的創(chuàng)造性勞動，同時也指出存在的問題和不足。
數(shù)學(xué)探究報告及評語可以記入學(xué)生成長記錄，作為反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的資料和推薦依據(jù)。對于學(xué)生中優(yōu)秀的報告或論文應(yīng)該給予鼓勵，可以采取表揚、評獎、推薦雜志發(fā)表、編輯出版、向高等學(xué)校推薦等多種形式。
八、基于信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)典型案例
——多媒體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)
我們以人教社全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本•必修）《數(shù)學(xué)》第二冊（下）第九章“直線、平面、簡單幾何體” 第九節(jié)“研究性課題：多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)為例，介紹這種“數(shù)學(xué)冒險活動”方式的操作特征。
教師首先通過多媒體電腦展示平臺，演示立方體、三棱柱、五棱柱、四棱錐、三棱錐、五棱錐、八面體、“塔頂”體（指正六面體上面是四棱錐的底）、截角立方體（截去立方體的一個角）等九個多面體。然后告訴同學(xué)們：“一個結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多面體有許多面、頂點、棱”。這種含糊的敘述幾乎任何人在立體幾何中都有接觸。然而多數(shù)人不是決心認(rèn)真努力去深挖這句話的意義，并在此基礎(chǔ)上去探求一些更精確的知識。正確的做法應(yīng)該是很清楚的識別其中包含的量，并提出一些明確的問題。
1、擬定冒險方案：寫出數(shù)學(xué)冒險的建議，與教師一起修改
每個學(xué)生都能與老師或同學(xué)討論問題的選擇，并給出相應(yīng)的建議，從而學(xué)生有機(jī)會清楚表白自己的想法，從事自己選擇的問題。通過師生之間的討論，一方面可以促進(jìn)學(xué)生對自己所選任務(wù)的理解，另一方面根據(jù)他人的建議，適當(dāng)修正選擇的問題。如經(jīng)過統(tǒng)計，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出的問題主要有四個：
問題1：頂點數(shù)目V是否都隨同面的數(shù)目F的增大而增大？
問題2：頂點數(shù)目V是否都隨同棱的數(shù)目E的增大而增大？
問題3：面的數(shù)目F是否都隨同棱的數(shù)目E的增大而增大？
問題4：面的數(shù)目F、頂點數(shù)目V、棱的數(shù)目E三者之間有何聯(lián)系？
學(xué)生在教師指導(dǎo)下初步擬定自己的數(shù)學(xué)冒險方案。
2、實施冒險活動：開始冒險活動，探索并記錄計算方法，如果遇到難題與同伴或教師討論
當(dāng)學(xué)生開始進(jìn)行問題解決時，教師鼓勵他們使用任何他們能夠想到的方法，使用任何輔助工具，如計算器（機(jī)），或用紙與筆運算，或利用數(shù)學(xué)模型，或與同學(xué)、家長、教師、專家，或通過電子郵件與有關(guān)大學(xué)、研究院的數(shù)學(xué)家聯(lián)系。在這一階段，學(xué)生必須記錄他們的真實想法，以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程，從而幫助他們明確自己的問題解決的中間過程。教師幫助學(xué)生會建立他們自己的學(xué)習(xí)檔案袋，及時對學(xué)生會的記錄手冊進(jìn)行評論，同時引進(jìn)數(shù)學(xué)語言，以幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)識自己的思想過程。
例如，學(xué)生甲選擇問題1，他研究了三棱錐、四棱錐、立方體、“塔頂”體多面體的面、頂點、棱的數(shù)目，用表2列出：
表2 學(xué)生甲研究過程表 表3 學(xué)生乙研究過程表
序號 多面體 面F 頂點V 棱E
1 三棱錐 4 4 6
2 四棱錐 5 5 8
3 立方體 6 8 12
4 塔頂體 9 9 16
序號 多面體 面F 頂點V 棱E
1 三棱錐 4 4 6
2 三棱柱 5 6 9
3 四棱錐 5 5 8
4 立方體 6 8 12
5 五棱錐 6 6 10
6 五棱柱 7 10 15
7 截角立方體 7 10 15
8 八面體 8 6 12
9 塔頂體 9 9 16
于是，他認(rèn)為自己已解決了問題1，他很高興的告訴老師，他成功地得到進(jìn)一步的結(jié)論：“頂點數(shù)目V與棱的數(shù)目E都隨同面的數(shù)目F的增大而增大！”
學(xué)生乙也選擇問題1，他起初研究了老師展示的全部九個多面體的面、頂點、棱的數(shù)目，用表3列出，于是，他認(rèn)為自己已解決了問題1得到進(jìn)一步的結(jié)論：“頂點數(shù)目V與棱的數(shù)目E都不是一致地隨同面的數(shù)目F的增大而增大！”。接著他將表3按E的增大的次序重新編排并進(jìn)行觀察，又發(fā)現(xiàn)：“頂點數(shù)目V與面數(shù)目F都不是一致地隨同棱的數(shù)目E的增大而增大！” 多面體的面、頂點、棱的數(shù)目之間究竟有何聯(lián)系？他一時間陷入困境之中。
3、設(shè)計解決方案：寫出解決方案，與教師討論，然后再修正
一旦某個學(xué)生認(rèn)為他解決了問題，就與教師進(jìn)行一次簡短的交流。其目的是保證學(xué)生進(jìn)行一次清晰的表達(dá)，其中包括合理使用必要的表格、圖例、說明等。通過交流，并不是檢驗學(xué)生是否獲得滿意的答案，針對這個問題留給其他同學(xué)去評價。完成問題，并不一定意味著學(xué)生得到最終結(jié)果。一些冒險活動可能需要很長時間，學(xué)生有時不能在規(guī)定時間內(nèi)全部完成，他們只進(jìn)行一些必要的算法和步驟。如，學(xué)生甲只研究了四個多面體，得出他認(rèn)為正確的結(jié)論。學(xué)生乙感覺到選擇的問題太難而無法解決，只能冒險到半路。一旦教師和學(xué)生都認(rèn)為他們盡力而為了，教師應(yīng)該允許學(xué)生詳細(xì)描繪自己的思路，肯定其中的可取之處，此時要特別強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)把數(shù)學(xué)作為一個過程，一個思考解決問題的途經(jīng)，一種培養(yǎng)學(xué)生論證推理（即演繹推理）與合情推理的手段，而不必是正確的答案。
例如，教師與學(xué)生乙交談，首先肯定他的成績，然后引導(dǎo)他修改原定的冒險方案。學(xué)生乙重新觀察自己統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：雖然頂點數(shù)目V與面數(shù)目F都不是始終如一地隨同棱的數(shù)目E的增大而增大，但“總的趨勢”似乎是增大的。于是他將表格2中的對應(yīng)的F和V相加并作為一項，與棱的數(shù)目E相比較，發(fā)現(xiàn)一個更準(zhǔn)確的規(guī)律：表格中的九種多面體的面、頂點、棱的數(shù)目全部滿足關(guān)系式：F+V=E+2 .
他感覺到這種規(guī)律似乎不太可能是偶然出現(xiàn)的。于是他提出一個猜想：對于任何多面體來說，面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加二。
這猜想一定正確嗎？他心理沒有底。于是，他分別用正二十面體與正十二面體實物模型檢驗猜想，發(fā)現(xiàn)這兩種情形都能證實猜想。這個猜想顯得更加合理，但并未被證明，他需要作更進(jìn)一步的實驗、更嚴(yán)格的檢驗。他在教師的指導(dǎo)下重新設(shè)計了解決方案：
⑴n棱錐在它n邊形面上增加一個“屋頂”或截去含n條棱的一個頂后，剛才的猜想是否成立？能證明嗎？
⑵這個猜想是否對于任何多面體都成立嗎？如果成立，能證明嗎？如果不成立，能舉出反例或?qū)Χ嗝骟w加一定的限制性的條件使之成立嗎？
4、展示討論答辯：從數(shù)學(xué)家角度展示問題解決成果，適時舉行論文答辯，進(jìn)一步討論并修正
扮演數(shù)學(xué)家討論問題，是班級活動中最活躍、最有動力、最激動人心的時刻，是數(shù)學(xué)冒險活動的高潮階段。學(xué)生聽眾終于有機(jī)會了解班級同學(xué)近一段時間以來的研究工作，當(dāng)學(xué)生希望聽到他的同學(xué)進(jìn)行的有趣的問題解決時，有一種激動的感覺，學(xué)生數(shù)學(xué)家在不受干擾的情況下陳述自己的工作。每個展示結(jié)束有15—30分鐘的討論，這些討論給師生機(jī)會就數(shù)學(xué)進(jìn)行有意義的對話。在報告中，學(xué)生經(jīng)常認(rèn)識到自己或他人作業(yè)中的錯誤，一旦出現(xiàn)這種情況，讓報告人完成介紹，并讓聽眾明白某一步是錯誤的或結(jié)論是錯誤的，需要加以修正。通過論文答辯、討論等形式的師生的交流，學(xué)生報告人進(jìn)一步修改自己的論文，就自己的數(shù)學(xué)冒險問題的解決作第二次甚至第三次報告，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的成功。
例如，學(xué)生乙自己發(fā)現(xiàn)了歐拉公式：任何一個簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間滿足以下特有的規(guī)律：V+F-E=2 .并了解到：歐拉研究多面體用了一種特別方法，即假定多面體的表面是用橡皮薄膜制作的，如果給它充氣，那么它就會連續(xù)（不破裂、不粘連）變形，把平面變成了曲面。歐拉公式的發(fā)現(xiàn)與證明得益于兩大創(chuàng)新，即“把多面體的表面看作用橡皮薄膜制作的”（觀念的創(chuàng)新）與“向它們內(nèi)部充氣；將底面剪掉，然后其余各面拉開鋪平”（方法的創(chuàng)新）；他作了題為“試論歐拉的兩大創(chuàng)新”的學(xué)術(shù)報告，介紹自己發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式的曲折思維過程、收獲、成果與體驗，受到師生的好評。
5、拓展交流評價：拓展研究成果，制作掛圖或網(wǎng)頁，成果交流與評價
當(dāng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)冒險活動，整個冒險過程要求用掛圖或網(wǎng)頁形式展示出來。這一階段，學(xué)生必需自己思考如何展示他的思想以及成果。通過網(wǎng)絡(luò)他們可以與他人（父母、兄弟姐妹、學(xué)校的其他師生、網(wǎng)頁游覽者等）一起討論熟悉項目，這樣一來討論就延伸到校外，他的研究成果將更加完善。最后由教師與學(xué)生代表組成的“專家評議組”進(jìn)行評比，分為一等獎、二等獎、三等獎、成功參與獎等四個層次對學(xué)生參與的數(shù)學(xué)冒險活動及其成果進(jìn)行評價與獎勵。我們特別注重學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與實踐活動的參與，讓每個學(xué)生獲得親自參與研究探索的積極體驗，讓每個學(xué)生體驗科研成功的喜悅，發(fā)展對社會的責(zé)任心與使命感；培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與科學(xué)道德等。
九、結(jié)論
《高中數(shù)學(xué)探究》網(wǎng)絡(luò)校本課程的設(shè)計與開發(fā)，《高中數(shù)學(xué)探究》專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站的建立與運行，有助于高中數(shù)學(xué)教師與教研人員全方位認(rèn)識國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)“探究性課題學(xué)習(xí)”的要求與特征；有助于高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)和幫助而不是代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出探究課題，特別應(yīng)該鼓勵和幫助學(xué)生獨立地發(fā)現(xiàn)和提出問題；組織和鼓勵學(xué)生組成課題組合作地解決問題；指導(dǎo)和幫助學(xué)生養(yǎng)成查閱相關(guān)的參考書籍和資料、在計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上查找和引證資料的習(xí)慣。
并初步構(gòu)建基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)“探究性課題”的學(xué)習(xí)策略體系。在實踐上能為高中數(shù)學(xué)教學(xué)第一線教師和教研人員提供基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)“探究性課題學(xué)習(xí)”內(nèi)容設(shè)計的理念與基本原則、內(nèi)容體系、操作方法、課程體系以及可供他們借鑒的典型案例，并提供交流、學(xué)習(xí)的平臺即專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，從而豐富和創(chuàng)新現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育科學(xué)的基礎(chǔ)理論。
十、參考文獻(xiàn)
[1]顧泠沅、易凌峰、聶必凱，《尋找中間地帶——國際數(shù)學(xué)教育改革大趨勢》，上海教育出版社，第1版,(2003);
[2]《國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》制訂組，《“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的框架設(shè)想》，《數(shù)學(xué)教學(xué)》，第2期, 2-6頁(2002);
[3]駱魁敏，《構(gòu)筑課程整合平臺系統(tǒng) 創(chuàng)設(shè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)情境》，《信息技術(shù)教育》，12月號, 52-54頁(2002)；
[4]駱魁敏，《高中數(shù)學(xué)虛擬實驗探究式教學(xué)模式》，《現(xiàn)代教育技術(shù)》,第3期,55-57頁(2003);
[5]駱魁敏，《在TI上搭建數(shù)學(xué)：基于TI的數(shù)學(xué)教學(xué)模式探索》，《信息技術(shù)教育》，第2期，54-56頁（2003）。
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