淺談數(shù)學的設(shè)計
高中數(shù)學
數(shù)學課程問題一直是數(shù)學教學改革的中心問題，也是數(shù)學教育科學研究的中心問題之一。從1958年以來筆者參加了多次數(shù)學課程設(shè)計、教材編寫、實驗研究，從三十余年的實踐中形成了關(guān)于數(shù)學課程發(fā)展規(guī)律的一些認識。影響、制約、決定數(shù)學課程發(fā)展的因素主要是三個方面：社會、政治、經(jīng)濟方面的需求，數(shù)學發(fā)展和教育發(fā)展的需求。數(shù)學課程的發(fā)展決定于這三個方面需求的和諧統(tǒng)一，本文基于《中學數(shù)學實驗教材》（以下簡稱《實驗教材》)的實驗著重探討這三者如何和諧統(tǒng)一推動數(shù)學課程的發(fā)展。
一、我國社會發(fā)展對數(shù)學課程的要求
促進數(shù)學課程發(fā)展的眾多動力中，沒有比社會發(fā)展這一動力更大的了，社會發(fā)展的需要主要包括：社會生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟和科學技術(shù)發(fā)展的需要和政治方面的要求。
我國社會發(fā)展對數(shù)學課程提出了以下要求。
�。ㄒ唬┠康男�
教育必須為社會主義經(jīng)濟建服務(wù)。這就要求數(shù)學課程要有明確的目的性，即要為社會主義經(jīng)濟建設(shè)培養(yǎng)各級人才奠定基礎(chǔ)，為提高廣大勞動者的素質(zhì)做出貢獻。當今社會正由工業(yè)社會向信息社會過渡，在信息社會里多數(shù)人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術(shù)進步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應(yīng)日新月異的社會，必須把勞動者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學習的能力。
（二）實用性
數(shù)學課程的內(nèi)容應(yīng)具有應(yīng)用的廣泛性，可以運用于解決社會生產(chǎn)、社會生活以及其他學科中的大量實際問題；運用于訓練人的思維。應(yīng)該精選現(xiàn)代社會生和生活中廣泛應(yīng)用的數(shù)學知識作為數(shù)學課程的內(nèi)容。另外，還要考慮其他學科對數(shù)學的要求。數(shù)學課程還應(yīng)滿足現(xiàn)代科學技術(shù)發(fā)展的需要，加進其中廣泛應(yīng)用的數(shù)學知識，如計算機初步知識、統(tǒng)計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。
數(shù)學不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓練人的思維，培養(yǎng)有數(shù)學素養(yǎng)的社會成員，要使學生懂得數(shù)學的價值，對自己的數(shù)學能力有信心，有解決數(shù)學問題的能力，學會數(shù)學交流，學會數(shù)學思想方法。
（三）思想性和教育性
我們培養(yǎng)的人應(yīng)該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業(yè)，具有國家興旺發(fā)達而艱苦奮斗的精神；應(yīng)當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數(shù)學課程適當介紹中國數(shù)學史，以激發(fā)學生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內(nèi)容，有意識地體現(xiàn)數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點。體現(xiàn)運動、變化、相互聯(lián)系的觀點。
《實驗教材》用“精簡實用”的選材標準來滿足這些要求。
二、數(shù)學的發(fā)展對數(shù)學課程的要求
（一）中學數(shù)學課程應(yīng)當是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當配合的整體
數(shù)學研究對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式�；A(chǔ)數(shù)學的對象是數(shù)、空間、函數(shù)，相應(yīng)的是代數(shù)、幾何、分析等學科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的。現(xiàn)代數(shù)學中出現(xiàn)了許多綜合性數(shù)學分支，都是在它們的基礎(chǔ)上產(chǎn)生并發(fā)展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數(shù)、幾何、分析在相鄰學科和解決各種實際問題中都有廣泛應(yīng)用，所以中學數(shù)學課程應(yīng)當是它們恰當配合的整體。曾經(jīng)出現(xiàn)過的把中學課程代數(shù)結(jié)構(gòu)化（如“新數(shù)”）的設(shè)計方案。“以函數(shù)為綱”使中學數(shù)學課程分析化的設(shè)計方案都不成功，正是沒有滿足這一要求。
（二）適當增加應(yīng)用數(shù)學的內(nèi)容
應(yīng)用數(shù)學近年來蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的分支和領(lǐng)域，應(yīng)用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學數(shù)學課程中有所反映。從“新數(shù)運動”開始，各國數(shù)學課程內(nèi)容中陸續(xù)增加了概率統(tǒng)計和計算機的初步知識。這一方面說明概率統(tǒng)計和計算機知識在社會生產(chǎn)和社會生活中的廣泛應(yīng)用，另一方面也說明數(shù)學的發(fā)展擴大了它的基礎(chǔ)，對中學數(shù)學課程提出了新的要求。
由于計算機科學研究的需要，“離散數(shù)學”越來越顯得重要。因此，中學數(shù)學課程中應(yīng)當增加離散數(shù)學的比重。
（三）系統(tǒng)性
基礎(chǔ)數(shù)學，包括代數(shù)、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎(chǔ)。到本世紀30年代法國布爾巴基學派用公理化方法，使整個數(shù)學結(jié)構(gòu)化。任何一個數(shù)學系統(tǒng)都可以歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)的復(fù)合。經(jīng)過用公理化方法的整理，使數(shù)學成為一個邏輯嚴密、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。因此，作為符合數(shù)學知識結(jié)構(gòu)要求的中學數(shù)學課程就必須具有一定的系統(tǒng)性和邏輯嚴密性。
（四）突出數(shù)學思想和數(shù)學方法
現(xiàn)代數(shù)學進行著不同領(lǐng)域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認為沒有任何共同之處的數(shù)學分支，現(xiàn)在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎(chǔ)上了。
數(shù)學思想和方法把數(shù)學科學聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的有結(jié)構(gòu)的整體。所以，我們應(yīng)該體現(xiàn)突出數(shù)學思想和數(shù)學方法。
《實驗教材》以“反璞歸真”的指導(dǎo)思想來滿足數(shù)學學科發(fā)展的要求。
三、教育、心理學發(fā)展對數(shù)學課程的要求
教育、心理學的發(fā)展，對教學規(guī)律和學生的心理規(guī)律有了更深入的認識。數(shù)學課程的設(shè)計要符合學生認知發(fā)展的規(guī)律。認知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認知的發(fā)展呈現(xiàn)一定的規(guī)律。基于這些規(guī)律，要求數(shù)學課程具有：
（一）可接受性
教學內(nèi)容、方法都要適合學生的認知發(fā)展水平。獲得新的數(shù)學知識的過程，主要依賴于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段。因此，作為數(shù)學課程內(nèi)容要同學生已有的數(shù)學基礎(chǔ)有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發(fā)展水平。這樣才能使數(shù)學課程內(nèi)容被學生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。
（二）直觀性
皮亞杰的認知發(fā)展階段的理論認為，中學生的認知發(fā)展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經(jīng)達到了抽象運算的水平，在每個新數(shù)學概念的學習過程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們在學習新的數(shù)學概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數(shù)學課程應(yīng)向?qū)W生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向?qū)W生提示抽象概念的來龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發(fā)性
蘇聯(lián)心理學家維果斯基認為兒童心理機能“最近發(fā)展區(qū)”的水平。表現(xiàn)為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務(wù)，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務(wù)。數(shù)學課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導(dǎo)那些正待成熟的心理機能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區(qū)”的矛盾得到轉(zhuǎn)化，而進入更高一級的數(shù)學認知水平。
要使數(shù)學課程真
正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過于簡單，缺乏思考余地。沒有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學生思維，甚至不能滿足學生學習愿望。第二，內(nèi)容過于復(fù)雜、抽象。超過了學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學生將會由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學習數(shù)學。
布魯納曾指出，向成長中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導(dǎo)下，他的數(shù)學課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內(nèi)容啟發(fā)性的體現(xiàn)。
《實驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導(dǎo)思想來體現(xiàn)以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統(tǒng)一
上面分別考查了三個方面對數(shù)學課程提出的要求，這些要求有時互為前題，互相補充，而有時卻是彼此矛盾的。這導(dǎo)致了數(shù)學課程設(shè)計的復(fù)雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統(tǒng)一呢？從《實驗教材》11年的實驗中形成了16字指導(dǎo)數(shù)學課程設(shè)計的思想，比較恰當?shù)慕y(tǒng)一了以上三方面的需求。這16字的指導(dǎo)思想是“精簡實用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡實用”是個基本的指導(dǎo)思想，它恰當?shù)乇憩F(xiàn)了理論和實際的正確關(guān)系。由實際到理論，就是由繁精簡，把實際中多樣的事物、現(xiàn)象，經(jīng)過分析、綜合，歸納出簡單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡的理論才能用來“以簡馭繁”。所以“精簡實用”在科學上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡明扼要的理論。要做到精簡，必須抓住重點。教材中普遍實用的最基礎(chǔ)部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點。中學數(shù)學課程內(nèi)容應(yīng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當配合的整體，這樣做既可滿足社會的需要、數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實用的最基礎(chǔ)部分是代數(shù)中的數(shù)系，最普遍有用的是數(shù)系的運算律（“數(shù)系通性”）；解代數(shù)方程；多項式運算；待定系數(shù)法。幾何中的重要內(nèi)容是教導(dǎo)學生研習演繹法，要點在于讓學生逐步體會空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結(jié)構(gòu)全面代數(shù)化的理論基礎(chǔ)。用向量把幾何學全面代數(shù)化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點。分析的重要內(nèi)容除函數(shù)、極限、連續(xù)等分析學的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著重于教學生以基礎(chǔ)數(shù)學的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數(shù)最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡單的數(shù)的運算律，它們是整個代數(shù)學的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統(tǒng)的代數(shù)教學從多項式的形式理論開始，學生不解其義，感到枯燥�！秾嶒灲滩摹贩磋睔w真，先講代數(shù)的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實際問題，學生自然地覺得應(yīng)該有一個多項式理論，然后再講多項式，這樣學生易于理解多項式的來源與本質(zhì)。“這就是反璞歸真”的一個實例。
基本的數(shù)學思想與數(shù)學方法是基礎(chǔ)數(shù)學的本質(zhì)，突出其教學是把知識教學與能力訓練統(tǒng)一起來的重要一環(huán)。把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學生的數(shù)學才能才發(fā)展起來，要學生“會學”數(shù)學，就必須讓學生掌握基本的數(shù)學思想和方法，會“數(shù)學地”提出問題，思考問題、解決問題。
《實驗教材》一開始就突出了用符號（字母）表示數(shù)的基本思想和方法。
集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視。經(jīng)常訓練學生從考慮具體的數(shù)學對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等問題。
函數(shù)的思考方法，考慮對應(yīng)，考慮運動的變化、相依關(guān)系，由研究狀態(tài)過渡到研究過程。分解和組合的方法。對數(shù)學問題的分析與綜合、轉(zhuǎn)化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類比、遞推、歸納等基本的數(shù)學思想與方法都分別得到強調(diào)。
“順理成間”就是要從歷史發(fā)展程序和認識規(guī)律出發(fā)，“順理成間”地設(shè)計數(shù)學課程。數(shù)學是一種演繹體系，有時甚至本末倒置。這正是數(shù)學本身的要求和學生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個矛盾，使這兩方面的要求和諧統(tǒng)一，課程設(shè)計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數(shù)學發(fā)展歷史，用數(shù)學概念的逐步進化演變過程作為明鏡，用基礎(chǔ)數(shù)學的層次與脈絡(luò)作為依據(jù)來設(shè)計數(shù)學課程。數(shù)學的歷史發(fā)展經(jīng)歷過若干重要轉(zhuǎn)折。學生的認識過程和數(shù)學的歷史發(fā)展過程（人類認識數(shù)學的過程）有一致性。數(shù)學教材的設(shè)計要著力于采取措施引導(dǎo)學生合乎規(guī)律地實現(xiàn)那些重大轉(zhuǎn)折，使學生的數(shù)學學習順理成章地由一個高度發(fā)展到另一個新的高度。在基礎(chǔ)數(shù)學范圍內(nèi)，主要經(jīng)歷過五個大的轉(zhuǎn)折。
由算術(shù)到代數(shù)是一個重大的轉(zhuǎn)折。實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)折，重要的是要向?qū)W生講清代數(shù)的基本精神是靈活運用運算律謀求問題的統(tǒng)一解法。由實驗幾何到論證幾何是第二個重大轉(zhuǎn)折。要對空間的基本概念與基本性質(zhì)加以系統(tǒng)的觀察、分析與實驗，建立“空間通性”的一個明確體系，達到“探源、奠基與啟蒙”三個目的，然后引進集合術(shù)語并以集合作工具，講清一些基本邏輯關(guān)系、推理格式，再轉(zhuǎn)入歐幾里得推理幾何。第三個轉(zhuǎn)折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對幾何問題謀求統(tǒng)一解法，出路在代數(shù)化，首先要把一個基本幾何量代數(shù)化，就得到向量的概念，然后運用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質(zhì)引起向量的加法、倍積與內(nèi)積這三種向量運算。這樣就把窨的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運算。這樣就把空間的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運算這種代數(shù)體系，因而空間的基本性質(zhì)也就轉(zhuǎn)化成向量運算的運算律。換句話說，向量的運算律也就是代數(shù)化的幾何公理。這樣就實現(xiàn)定性幾何到定量幾何的轉(zhuǎn)折。向量是這個轉(zhuǎn)折的樞紐。第四個轉(zhuǎn)折是從常量數(shù)學到變量數(shù)學，這在概念和方法論方面都有相當大幅度的飛躍，需要早作準備。初中二年級已引入三角函數(shù)的初步概念，初三正式研究各種函數(shù)，到高一、高二的代數(shù)與解析幾何中，就逐步講座到連續(xù)性、實數(shù)完備性、切線等概念。數(shù)列、逼近的思想也早有滲透，到高三進一步突出逼近法研究極限、連續(xù)、微分、積分等變量數(shù)學問題。第五個轉(zhuǎn)折是由確定性數(shù)學到隨機性數(shù)學。在代數(shù)之后引起概率論初步。
上述數(shù)學課程設(shè)計，既遵循歷史發(fā)展的規(guī)律，又突出了幾個轉(zhuǎn)折關(guān)頭，縮短了認識過程。有利于學生掌握數(shù)學思想發(fā)展的脈絡(luò)，提高數(shù)學教學的思想性。
“深入淺出”就是要學到應(yīng)有的深度，才能淺出。許多事物和現(xiàn)象表面上各不相連，但是把它們提高到適當?shù)母叨葋砜矗@些事物和現(xiàn)象就會有一種統(tǒng)一的理論串連其間。因此，如果沒有掌握到這種樞紐性的理論，就無法回頭用理論來統(tǒng)一一系列繁復(fù)多樣的實際。所以數(shù)學課程的設(shè)計要用學生易于接受的形式引導(dǎo)學生去掌握樞紐性的理論�！罢碱I(lǐng)制高點”，才能居高臨下，一目了然。把數(shù)學課程搞得淺薄，砍掉具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論，把數(shù)學課程變成一本支離破碎的流水帳，一來難懂，二來無用，所以深入淺出的要點在于教好那些具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論。
《實驗教材》的實驗證明，16監(jiān)察院指導(dǎo)思想恰當?shù)靥幚砹死碚摵蛯嶋H的關(guān)系，數(shù)學科學與數(shù)學學科的關(guān)系，數(shù)學知識教學與數(shù)學能力培養(yǎng)的關(guān)系，數(shù)學課程完整性與發(fā)展性的關(guān)系等，充分滿足了三方面的要求，五個轉(zhuǎn)折都順利地實現(xiàn)了。《實
驗教材》內(nèi)容多、要求高、負擔重，有待進一步精簡。
《實驗教材》的實驗研究取得了效果和經(jīng)驗。但是數(shù)學課程發(fā)展的規(guī)律、指導(dǎo)發(fā)展的理論尚待探索和逐步建立，尚需使用歷史分析的方法，比較研究和實驗研究的多種方法，研究古、今、中、外的數(shù)學課程，從中探索出規(guī)律，建立數(shù)學課程發(fā)展的系統(tǒng)理論，以指導(dǎo)今后的數(shù)學課程改革和設(shè)計的實踐。
再談面向新世紀的數(shù)學課程
丁爾升（北京師范大學數(shù)學系 100875）
義務(wù)教育的新數(shù)學課程和教材從去年下半年開始已在全國普遍實施和使用。義務(wù)教育的數(shù)學課程有一個基本精神，就是要從應(yīng)試教育轉(zhuǎn)到素質(zhì)教育，這個轉(zhuǎn)變涉及到教育思想、教育目標、教學目的、教學內(nèi)容、教學方法和手段等各個方面。要實現(xiàn)這些轉(zhuǎn)變，絕不是編輯出版幾套新材料就完事的，何況新教材也只是一個階段性成果，隨著對新世紀挑戰(zhàn)的認識的提高還會有新的改革。所以實施義務(wù)教育的新數(shù)學課程是一個長期、艱巨的改革過程。今天我不打算全面闡述這個過程，也是我力所不及的，我只想提供一點“參考消息”，看看國外一些人是如何議論迎接新世紀挑戰(zhàn)問題的。我想綜合一些研究成果或有傾向性的預(yù)測，描述一下面向新世紀的數(shù)學課程。
1、條件的重大變化
我們從分析影響數(shù)學課程變革的條件的重大變化開始。
首先，數(shù)學的社會需要有很大改變。隨著經(jīng)濟適應(yīng)信息時代的需要，每個部門的工作人員——從飯店服務(wù)員到秘書，從汽車修理工到旅游代理人——都必須懂得計算機控制過程�，F(xiàn)在大多數(shù)職業(yè)都要求從業(yè)人員具有分析能力而不單純是機械的操作技能，所以絕大多數(shù)學生需要更多的數(shù)學能力作為普通職業(yè)的準備。同樣，在每天的報紙和公眾的政策討論中都廣泛使用圖表、統(tǒng)計數(shù)據(jù)。為了更有效地參加社會生活不能不要求普通公民具有更高標準的數(shù)量意識，市場經(jīng)濟需要人們掌握更多有用的數(shù)學。隨著承包制、股份制、租憑制的進一步推行，市場經(jīng)濟的逐步完善，無論是城市還是廣大農(nóng)村，生產(chǎn)者也將成為經(jīng)營者，因而，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貸款、效益、股份、市場預(yù)測、風險評估等一系列經(jīng)濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與倆券……幾乎每天都會碰到。相應(yīng)地，與這些經(jīng)濟活動相關(guān)的數(shù)學，如比和比例、利息與利率、統(tǒng)計與概率、運籌與優(yōu)化以及系統(tǒng)分析一決策……就應(yīng)成為中小學 要學的數(shù)學了。
科學技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數(shù)學修養(yǎng)，現(xiàn)代高技術(shù)越來越表現(xiàn)為一種數(shù)學技術(shù)。高科技的發(fā)展、應(yīng)用，把現(xiàn)代數(shù)學以技術(shù)化的方式迅速輻射到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾�領(lǐng)域，智能機器人、辦公自動化以及計算機儲蓄、售貨和個人胸等電子產(chǎn)業(yè)將高速發(fā)展，到下個世紀，理個普通老百姓要是“計算機盲”，將會像現(xiàn)在的文盲一樣不適應(yīng)現(xiàn)代生活。
生活中需要越來越多的數(shù)學語言。各種圖統(tǒng)計圖表，數(shù)學符號向各行各業(yè)普通老百姓傳遞著大量信息。
其次，數(shù)學及其應(yīng)用有很大變化。最近二三十年數(shù)學的性質(zhì)及其應(yīng)用的途徑發(fā)生了巨大變化。不僅發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學領(lǐng)域而且應(yīng)用數(shù)學的問題類型以空前的速度增長了。當然，最顯著的是計算機的發(fā)展和計算機應(yīng)用的爆炸性的增長。這些計算機應(yīng)用的絕大多數(shù)都要求發(fā)展新的數(shù)學，在計算機出現(xiàn)以前不可能在這些領(lǐng)域應(yīng)用的數(shù)學，雖不顯著，但同樣重要的是在用廣泛應(yīng)用性的統(tǒng)一概念聯(lián)系起來的幾個主要數(shù)學分支中產(chǎn)生的大量思想財富。學生必須學習在這些應(yīng)用中使用的數(shù)學以便掌握數(shù)學的威力去解決實際問題。
數(shù)學的發(fā)展使人們對“數(shù)學是什么”的認識有變化。數(shù)學是一門科學。觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想等數(shù)學的實踐部分和任何自然科學是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調(diào)研，以及度量和分類是數(shù)學家常用的部分技巧，學校應(yīng)當教。實驗室作業(yè)和實習作業(yè)對于理解數(shù)學是什么及其如何使用不但是適宜 而且是必需的。在數(shù)學實驗室里計算器和計算機是必需的工具。實際數(shù)據(jù)（科學實、人口統(tǒng)計、民意測驗等的數(shù)據(jù)），觀察和度量的對象（骰子、方塊、球）是作圖工具（尺子、細繩、量角器、膠泥、坐標紙）都是必需的。 像生物是有機體的科學，物理是物和能的科學一樣，數(shù)學是模式的科學。這種表述至少可以回朔到笛卡兒，他把數(shù)學稱作“序的科學”，后來物理學家斯梯文·溫伯格（Steven Weinberg）用它去解釋數(shù)學預(yù)測自然的神奇能力時作了改進。類似地把數(shù)學看成“模式與關(guān)系”的科學，形成了在《美國大眾科學》(Science for All Americans)中表述數(shù)學的基礎(chǔ)。通過它們的所有表現(xiàn)形式——數(shù)、數(shù)據(jù)、形、序、甚至模式本身來劃分、解釋和描述模式，數(shù)學確信科學家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數(shù)學實踐的組成部分。
模式在數(shù)學的每個方面都是明顯的。學生學到算術(shù)如何依靠數(shù)的規(guī)則性；他們能夠看到乘法表中的次序，而且驚奇素數(shù)模式中的無次序。多面體的幾何展示了規(guī)則性，在自然和建筑中它經(jīng)常出現(xiàn)。甚至統(tǒng)計這門研究是無序的學科，也依靠把模式展示成估價不確定性的碼尺。 數(shù)學也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數(shù)學不僅是一門科學，而且數(shù)學也是一種語言。不僅是自然所說的語言，而且也是商業(yè)、貿(mào)易的合適語言。
數(shù)學科學現(xiàn)在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎(chǔ)。由于計算機和世界范圍的數(shù)字式交流的支持，商業(yè)和工業(yè)都越業(yè)越依靠不僅是傳統(tǒng)的而且是現(xiàn)代數(shù)學的分析方法。數(shù)學可以作商業(yè)和科學的語言準確地是因為數(shù)學是描述模式的語言。用它的符號和句法、詞匯和成語，數(shù)學語言是交流關(guān)系和模式的通用工具。它是一種每個人都必須學習使用的語言。 如果說數(shù)學是模式的科學和語言，那么要學懂數(shù)學就是要去研究和表示模式之間的關(guān)系：在復(fù)雜、模糊的環(huán)境中能夠辨明模式；理解并變換模式間的關(guān)系；對模式分類、編碼、描述；用模式的語言讀寫；并使用模式的知識運達到各種實際目的。要掌握模式的多樣性，數(shù)學課程需要介紹和發(fā)展多種不同類型的數(shù)學模式。數(shù)學要研究的模式不限于算術(shù)法則，所以中學數(shù)學里研究的模式必須打破人為的限制。 一個搞數(shù)學的人，他搜集、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造或表達關(guān)于模式的事實和思想。數(shù)學是一種創(chuàng)造性的、活躍的過程和被動地掌握概念和程序很不相同。事實、公式和信息有多價值只有看它在多大程度上支持有效的數(shù)學活動。雖然有些基礎(chǔ)的概念和程序所有學生都必須知識只是 是教學應(yīng)當堅定地強調(diào)，學數(shù)學是要追求去理解、去交流，而不僅僅是去計算，通過展開模式的基本原理，數(shù)學可以使腦子成為處理現(xiàn)實世界問題的有效工具。從這些觀點能夠為下一個世紀導(dǎo)出有效的、能動的中學數(shù)學課程。
第三，新技術(shù)的作用有很大變化。計算器和計算機已經(jīng)深刻地改變了數(shù)學世界。它們不僅影響到什么數(shù)學是重要的，而且也影響到如何做數(shù)學，現(xiàn)在袖珍計算器上能夠做幾乎所有幼兒園到兩年制大學教的數(shù)學技術(shù)，僅只這一事實（巴斯卡的夢在我們這個時代實現(xiàn)了）就必定會大大影響數(shù)學課程。雖然學科的最前沿的發(fā)展一般不會對早期的教育產(chǎn)生主要影響，但是由計算機和計算器帶來的數(shù)學中的變化如此深刻，需要重新調(diào)整中學數(shù)學中各課題的處理方法和它們之間的平
衡。
比如對發(fā)展常規(guī)計算技能的重視程度應(yīng)降低，這就會有更多的時間來發(fā)展對數(shù)學過程的理解和推理能力；易于開發(fā)一種課程，可能加強近似計算和估算。一個學生能準確作2507×4131的乘法和能夠說出結(jié)果大約是一千萬,哪個更重要些呢?常常一個近似的答案不僅已經(jīng)足夠,而且比精確答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以給精確結(jié)果提供快速檢驗;可以開發(fā)強調(diào)各種數(shù)學方法的更廣的課程.
計算器和計算機不僅改變了什么數(shù)學重要,而且也改變了數(shù)學應(yīng)當如何教.它們把困難的變得容易,使不可行的變得可行.例如,計算機能夠顯示和操作像三維的形狀復(fù)雜的數(shù)學對象。使用計算機，學生能夠解決與他們?nèi)粘Ｉ钣嘘P(guān)的現(xiàn)實問題和能夠激發(fā)他們對數(shù)學產(chǎn)生持久的興趣。計算機能把教師解放出來去完成只有教師才能完成的任務(wù)。比如和學生一起去探索、猜想。計算機提供了一種動態(tài)的、畫圖的手段；它還提供了許多有效的途徑去表達數(shù)學思想。 新技術(shù)使數(shù)學更加現(xiàn)實，計算機出現(xiàn)之前，難以完成現(xiàn)實問題所要求的計算，有了計算機計算不再是障礙，只要問題能被學生掌握，就能解出。實驗中得到的現(xiàn)實數(shù)據(jù)可以得到分析處理。表達重要物理現(xiàn)象的方程可以解出。許多精深的概念用計算機比用其他任何更能做得易理解。
第四，對學生學習的理解有變化。學習不是一種被動地吸取知識，并通過反復(fù)練習，強化儲存知識的過程，而是學生原有知識處理每項新的任務(wù)，同化新知識，并構(gòu)建他們自己的意義，再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過去用的自然語言及遇到過的情況相聯(lián)系。這種對學習的積極的、構(gòu)造性的觀點必須在教數(shù)學的途徑中反映出來。 2、通向未來的轉(zhuǎn)變
美國數(shù)學科學家教育委員會、數(shù)學科學家委員會以及2000年數(shù)學科學委員會提出的《人人有份》（Everybody Counts）這份報告中預(yù)示這次數(shù)學課程改革要實現(xiàn)七個重大的轉(zhuǎn)變寫道：“為了迎接時代的挑戰(zhàn)，數(shù)學教育正要處理幾個困難的轉(zhuǎn)變，這些轉(zhuǎn)變將支配本世紀剩下這段時間的改革過程”。這七個轉(zhuǎn)變可以概括數(shù)學教育，特別是數(shù)學課程改革的趨向和前景。這七個轉(zhuǎn)變是：
第一，中學數(shù)學的目標應(yīng)從雙重使命（為多數(shù)人的數(shù)學很少，為少數(shù)人的數(shù)學很多）轉(zhuǎn)變到單一目標：為所有學生提供重要的、共同的核心數(shù)學。由于工業(yè)社會、信息社會對勞動力的需求是要他們有更高文化修養(yǎng)，所以要給所有學生提供更多的數(shù)學教育，所要要發(fā)展適合于每個年級所有學生的核心數(shù)學課程，即要面向大多數(shù)，甚至是所有學生，要大多數(shù)公民甚至是全體公民都學好數(shù)學；對能力強的學生還要用數(shù)學去激勵他們；在教學中用方法和進度而不是用課程目標來區(qū)分；選擇普遍有趣的課題和有效的教學方法。
第二，數(shù)學教學從“傳授知識”的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變到“以激勵學習為特征的，以學生為中心”的實踐模式，由學生被動聽講的課堂變成學生積極主動參與的像下面這樣的學習環(huán)境：鼓勵學生去探索；幫助學生表達自己的數(shù)學思想；讓學生看到許多數(shù)學問題不只一個正確答案；提供證據(jù)，證明數(shù)學是生動的，激動人心的；使學生體驗到深入理解和嚴格推理的重要性；使所有學生都建立起能夠?qū)W好數(shù)學的自信心。
第三，公眾對數(shù)學的態(tài)度從冷漠和敵意轉(zhuǎn)到承認數(shù)學在今日社會中的重要性。通過現(xiàn)代事件傳送的信息，使公眾認識：期望高的地方，數(shù)學要得也多；隨著科學技術(shù)作用的增大，數(shù)學的重要性也增加；對于有文化的公民發(fā)揮作用來說；數(shù)學文化同文化一樣重要。
第四，數(shù)學教學從熱衷于無數(shù)的常規(guī)練習轉(zhuǎn)到發(fā)展基礎(chǔ)寬廣的數(shù)學能力，學生的數(shù)學能力應(yīng)該要求達到能夠辨明關(guān)系、邏輯推理，并能運用各種數(shù)學方法去解決廣泛的、多種多樣的非常規(guī)問題，要求今天的學生必須能夠：進行心算和有效的估算；知道在某一特定條件下適于使用哪種數(shù)學運算；能夠正確、自信和恰當?shù)厥褂糜嬎闫�；會估計�?shù)量級以確認心算或計算器計算的結(jié)果：會使用表、圖、電子數(shù)據(jù)表 (Spreadsheet)和統(tǒng)計技術(shù)去組織、解釋和表示數(shù)值信息；能判斷別提供的數(shù)據(jù)的可靠性；會使用計算機軟件去完成數(shù)學任務(wù)；能從模糊的實際課題中去形成一些特別的問題；會選擇有效解決問題的策略。
第五，數(shù)學教學從強調(diào)為學習進一步的課程的需要轉(zhuǎn)到更多地強調(diào)學生今天和將來所需要的課題，大多數(shù)的數(shù)學內(nèi)容都要在它的運用的情境中來呈現(xiàn)，它的邏輯體系要隨年級的提高慢慢地建立起來。值得更加強調(diào)的課題和領(lǐng)域，作為例子，可以舉出：概率，它便于不確定性地說理和對風險的估價；探測數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計，它便于關(guān)于數(shù)據(jù)的說理；建模，它可以增進對復(fù)雜情形的系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)性的理解；運籌學，它便于復(fù)雜任務(wù)的計劃和行為目標的達成；離散數(shù)學，它便于對大多數(shù)計算機應(yīng)用的理解。這些課題和領(lǐng)域?qū)褂^察和實驗在未來數(shù)學大綱中占重要地位，將使數(shù)學和其他科目，特別是和自然科學科目更加靠近。
第六，數(shù)學教學從原始的紙筆計算轉(zhuǎn)到使用計算器和計算機，各級數(shù)學教師正使他們的教學方法和科目適應(yīng)于未來的課程。計算器和計算機使得新教學模式成為可行的同時給學習環(huán)境注入一種特別的驚異的感覺，它將伴隨數(shù)學能力的健康發(fā)展。
由于技術(shù)發(fā)展計算器和計算機的使用方法也要持續(xù)地迅速改變。應(yīng)當使用新技術(shù)不是因為它有魅力，而是因通過擴充每個學生的數(shù)學能力它通順提高數(shù)學學習，計算器和計算機不是去代替用功和嚴密思維，而是用作爭取好成績的武器。
第七，公眾對數(shù)學的理解從“隨心所欲的法則的不變教條”轉(zhuǎn)到“關(guān)于模式的嚴格而生動的科學”。數(shù)學是一門生動活潑的科目，它尋求蘊藏于周圍世界和我們頭腦中的模式。這個轉(zhuǎn)變要求課程內(nèi)容和教學方式兩個方面的變革：尋求解法，不僅是記住步驟；探索模式，不僅是學習公式；形成猜想，不僅是做練習，當教學開始反映這些重點的時候，學生將有機會像這樣去學習數(shù)學：作為探索性的、動態(tài)的、進展的科目，而不是作為僵死的、絕對的、封閉的一組被記住的定律去學習，學生將被鼓勵去把數(shù)學看作一門科學，而不是看作教規(guī)，并且認識到：數(shù)學是關(guān)于模式的科學而不僅是關(guān)于數(shù)的科學。
3、建立新數(shù)學課程的原則
前面已經(jīng)談到促使數(shù)學課程改革的條件變化和改革的方向。把數(shù)學看成模式的科學和語言的觀點為新數(shù)學課程奠定了基礎(chǔ)，改革仍可采取多種形式，但它應(yīng)該遵循一些基本原則。美國數(shù)學科學教育委員會在《重建中小學數(shù)學》（Reshaping School Mathematics）一書中提出了六條原則：
原則1：數(shù)學教育必須集中于發(fā)展數(shù)學能力
數(shù)學能力使學生理解數(shù)學概念和方法并且在各種情況下辨明數(shù)學關(guān)系。它幫助學生邏輯地推理，解決各種問題，常規(guī)的和非常規(guī)的問題。數(shù)學能力要求學生能夠用數(shù)學方法閱讀文獻，能夠用口頭和書面的形式表達數(shù)量的和邏輯的分析。
數(shù)學能力強的學生能夠在他的職業(yè)和日常生活中使用數(shù)學。他們將是數(shù)學思想的明智使用者，接受或者拒絕表面上有數(shù)學論證的主張，他們將會數(shù)學地看事情，知道什么時候數(shù)學的分析有助于解釋清問題。他們將有充分的數(shù)學知識去擇業(yè)和進一步學習要求精通數(shù)學的學科
。
數(shù)學能力不包括交流數(shù)學的才能。除了知道如何解決問題以外，學生還必須會閱讀并理解數(shù)學課本并且會口頭和書面地把數(shù)學研究和問題解決的結(jié)果向別人表達。所以，數(shù)學課程必須提供適當?shù)那榫�，讓學生能夠?qū)W習讀數(shù)學、寫數(shù)學、說數(shù)學。
原則2：數(shù)學課程從始至終都應(yīng)當使用計算器和計算機
學生只有把數(shù)學看成配稱現(xiàn)代的科目才能獲得數(shù)學能力。新課程教材必須設(shè)計得能從 科學技術(shù)的進一步發(fā)展預(yù)期不斷改革。在數(shù)學中，不積極參與數(shù)學的交際活動過程（猜想與爭論、探索和推理、問題提出和解決、計算和檢驗），一般不可能達到理解。計算器功能像“快筆”，所以能夠使數(shù)學過程比用紙筆更有用、更有效率。同樣，計算機能使學生算得快、畫得快，快速地模似過程，使用其他任何手段是難以作到的。所以使用計算器和計算機的教學比傳統(tǒng)教學更有潛力，更能使學生獲得深刻的理解。
原則3：恰當?shù)膽?yīng)用應(yīng)當是課程有的機組成部分
學生需要在自然地產(chǎn)生數(shù)學思想 的情境——從簡單的計算和度量到商業(yè)和科學中的應(yīng)用——中體驗數(shù)學思想。計算器和計算機使得在課程中能夠引進實際應(yīng)用。
一項應(yīng)用是否恰當重要的標準是看它是否能引起學生興趣。是否是激發(fā)他們的數(shù)學思維，有吸引力的應(yīng)用應(yīng)當取自兒童生活的世界，取自社會事件，或課程的其他部分，不僅取自自然科學，也要取自商業(yè)、地理、藝術(shù)和其他科目。
教學的基本目的應(yīng)當是讓學生學會在反映實際應(yīng)用的情境中使用數(shù)學工具。數(shù)學思想總是應(yīng)當在有意義的數(shù)學活動的情境中呈現(xiàn)和發(fā)展。
原則4：課程的每一部分都應(yīng)當由其本身的價值來證明其必要性。
數(shù)學提供了如此豐富、大量有趣、有用的思想，以至難以挑選。然而，課程中不能僅僅因為現(xiàn)在已經(jīng)有了的概念或技能就應(yīng)當保留。雖然在現(xiàn)在的課程中有許多是有效的，但是我們不能再把“課程中已經(jīng)有了”作為這個課題應(yīng)當保留的主要理由。我們需要“從零開始”，沒有一個思想不作仔細考查。
修訂課程不應(yīng)當只是增加更多的課題，而是確立重點，有些重點應(yīng)當取消，有消增加，有些保留。甚至對于確實要保留的重要重點，現(xiàn)代應(yīng)用或現(xiàn)代技術(shù)可以作十分不同的處理。常常一種新穎的處理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。 原則5：課程的選材應(yīng)當和中小學數(shù)學的現(xiàn)代化標準相一致。
新的“中小學數(shù)學課程和評價標準（NCTM，1989）提供了一類課程標準的范例，應(yīng)當用來作評定中小學數(shù)學課題的價值的標準。課程的選材應(yīng)當和這些課程標準相一致，改革的步子如此巨大，甚至現(xiàn)在的課程指南未適應(yīng)明天的需要。課程改革要求持續(xù)地努力，植限于學校的現(xiàn)實，目標堅定地指向未來。
原則6：各級的數(shù)學教學都應(yīng)當促進學生積極參與
恰當使用新技術(shù)要求有新的數(shù)學教學方法，使學生成為更積極的學習者。除了使用新技術(shù)之外，關(guān)于學生如何學習的研究提出了更多教數(shù)學的有效 方法。數(shù)學教學必須適應(yīng)這兩方面的發(fā)展，大多數(shù)的數(shù)學教學不再適于傳統(tǒng)的老師教學生被動地聽的模式。
沒有單獨的一種教學方法。也沒有單獨的一類學習經(jīng)驗?zāi)軌虬l(fā)展各種數(shù)學能力。需要的是各種活動，包括學生之間的討論，實習作業(yè)，重要技術(shù)的實踐。問題解決，日常的應(yīng)用，調(diào)研工作，以及教師講解。
教師應(yīng)當是催化劑，他幫助學生學會自己思考，他們不應(yīng)當只扮演教育者，其作用只是告訴學生“正確方法”。此外，課堂活動應(yīng)當給學生提供充分的機會用書面和口頭的數(shù)學語言彼此交流。
一個有用的比喻是，教師是一個明智的輔導(dǎo)員，不同的時間，要求教師充當以下不同角色：
模特兒角色，他不僅演示正確途徑，而且也演示錯誤的開端和高級思維技能，引導(dǎo)去解決問題；
顧問，他幫助個人、小組、全班決定他們的工作是否保持了主題，進展得是否合理；
仲裁人，他提出總是讓學生考慮，但把決定留給全班去做；
對話者，他支持學生在班上發(fā)表意見，鼓勵他們靠自己的活動去做出反應(yīng)，靠自己去探索數(shù)學；
詢問者，他鞭策學生弄清他們做什么才是合理的、有目的的，使學生確信他們能夠捍衛(wèi)自己的結(jié)論。（未完，待續(xù)）
4、新數(shù)學課程目的
數(shù)學教學有幾個非常不同的目的，它們是數(shù)學在社會中的作用的反映。它們是：
實用目的：幫助個人解決日常生活問題。
公民目的：使公民能夠明智地參加公民事務(wù)。
職業(yè)目的：為學生找工作、就業(yè)、或?qū)W業(yè)備作準備。
文化目的：傳遞人類文化的主要因素。
為達到這些目的所必需的數(shù)學知識在二十世紀已有了巨大變化。以后還將比以前變得更快。前面在討論條件的重要變化時已涉及，這里不再贅述。
這里要談的目的是前面的一般原則的具體化。它們可以為新的數(shù)學課程提供一個構(gòu)造性的框架。
第一，小學數(shù)學的基本目的是發(fā)展數(shù)的意識(Number Sense)
學生用數(shù)值住處去有效地說理的能力要求有以下的體驗：
表達——用數(shù)表達數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的能力。
操作——熟練一位新的算術(shù)；決定適當?shù)乃阈g(shù)程序的能力；熟練估算；選擇適當方法進行復(fù)雜計算的經(jīng)驗。
解釋——從數(shù)據(jù)中抽取結(jié)論的能力和為了準確性和合理性去檢驗數(shù)據(jù)和結(jié)論的能力。
小學教學應(yīng)當使用具體材料、計算機軟件和計算器。應(yīng)當強調(diào)心算，特別是估算多位數(shù)計算和結(jié)果，同時應(yīng)當大大削減教多位數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的傳統(tǒng)筆算方法的時間。用這種觀點處理算術(shù)的小學課程將同今天教的普通算術(shù)顯著不同。今天的小學數(shù)學的中心任務(wù)是發(fā)展整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的各種運算的手工技巧。要根本改革教學，不再強調(diào)這些課題，而增加說理、發(fā)現(xiàn)模式、辨明正確程序以及抽取結(jié)論的機會，這樣安排著重點的小學數(shù)學課程會使數(shù)量推理的水準獲得驚人的進步。 第二，小學數(shù)學應(yīng)當為數(shù)學打好一切方面的基礎(chǔ)
如果學生為就業(yè)和日常生活作更好的數(shù)學準備，小學數(shù)學就必須包括比算術(shù)更多的科目：
幾何，包含二維、三維對象的性質(zhì)，對稱和全等，幾何圖形的作圖和幾何圖形的變換；
度量，包括度量單位，報時，量溫，算錢；
數(shù)據(jù)分析，包括搜集、整理、表示和解釋數(shù)據(jù)；制作統(tǒng)計圖表；以及用數(shù)據(jù)去作分析和預(yù)測；
概率，介紹簡單實驗和數(shù)據(jù)搜集；
離散數(shù)學，包括基礎(chǔ)組合思想和用圖作問題模型。
每個這樣的課題都能夠起到使小學數(shù)學課程更有趣、更適合學生的顯著作用。幾何提供了看物理世界的明顯窗戶，現(xiàn)在通過計算機畫圖更提高了明顯程度，在數(shù)學里和
在生活中一樣，一圖值千言，度量即使很年輕的兒童也能提供有意義的應(yīng)用。并加強數(shù)的概念。數(shù)據(jù)分析提供了有趣、合適的問題的源泉，概率也如此，它還能和熟悉的游戲聯(lián)系。代數(shù)的一些概念能把學生引向簡單的抽象，而離散數(shù)學提供一些課題，使數(shù)學能與許多領(lǐng)域聯(lián)系，特別是和計算機聯(lián)系。 另外，教學應(yīng)當是綜合的，使得不同領(lǐng)域間的關(guān)系得以領(lǐng)悟和加強。比如，教師應(yīng)當加強算術(shù)在幾何和概率中的應(yīng)用，以及幾何概念在數(shù)據(jù)表示中的使用。
第三，在一切教學和評估中都應(yīng)當使用計算器
計算器在學校數(shù)學中從幼 兒園開始就應(yīng)當作為設(shè)備使用。兒童用來發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系和解決問題。把大多數(shù)紙筆計算訓練換成用計算器的教學本身不是萬應(yīng)藥。不動腦子的訓練用紙筆和用計算器是一樣的，但是用計算器可以讓學生進行加強發(fā)現(xiàn)和探索的活動。用紙筆計算是作不到的。
學會什么時候如何使用加減乘除對學生總是重要的。但是標準算法的反復(fù)訓練并不顯然會導(dǎo)致理解。數(shù)學教師必須利用計算器教學的好處作為工具去幫助學生獲得理解。
第四，學生應(yīng)當使用現(xiàn)實事物和現(xiàn)實數(shù)據(jù)學習數(shù)學
觀察對數(shù)學和對科學一樣是基本的。兒童學習數(shù)數(shù)和算術(shù)時需要擺弄現(xiàn)實的東西。學習數(shù)學的兒童要發(fā)展長度、面積、體積和形狀的正確直覺必須畫、切、折、注、量。
各年齡段的學生都必須經(jīng)常探索學校數(shù)學中學到的比較原始的模式間和紊亂的現(xiàn)實世界實際資料數(shù)據(jù)間 的關(guān)系�，F(xiàn)實數(shù)據(jù)比編造的更可信，搜集數(shù)據(jù)的行為，不管是測量的、數(shù)出的、民意測驗的、實驗的，不是計算機模擬的數(shù)據(jù)，可以豐富兒童的學習活動。而且度量出的數(shù)據(jù)和計算出的數(shù)據(jù)之間，即實驗的和理論的數(shù)據(jù)之間的不可避免的交流會獲得數(shù)學的完整科學。 第五，中學數(shù)學應(yīng)當強調(diào)實踐的數(shù)學能力
如果說教學是要給學生數(shù)學能力，那么在各年級都必須始終強調(diào)問題解決。學生需要領(lǐng)會比教材本身更多的數(shù)學。事實上，推理訓練能使他們接觸并解決日益增加難度和復(fù)雜程度的問題。在整個課程中重要的是強調(diào)問題而不僅是練習。
擴充小學數(shù)學課程有個重要涵義是進入中學數(shù)學。中學各年級不應(yīng)當看成鞏固的時間或者暫停歇息的時間 ，而應(yīng)看成兒童的數(shù)學發(fā)展的基本部分。中心應(yīng)當是日常生活的數(shù)學，一個富有激發(fā)性的主題，它會自然地導(dǎo)出許多重要的數(shù)學課題（如數(shù)據(jù)分析、幾何度量、利率、與電子數(shù)據(jù)表分析(Spreadsheet analysis)。理解小學數(shù)學的概念對學習中學數(shù)學是根本的；然而，手算的熟練程度不應(yīng)當再作為評定學生為進一步學習的準備程度的標準。
第六，學校數(shù)學與其他科目應(yīng)當相互加強
數(shù)學發(fā)展的動因許多與科學有關(guān)，在學校里數(shù)學和它的任何應(yīng)用之間不有可貴的純樸的聯(lián)系。數(shù)學的應(yīng)用已經(jīng)遠遠超越了自然科學，擴展到事業(yè)、社會科學、地理、和各種職業(yè)及商貿(mào)領(lǐng)域。兒童能夠在探索的情境中學到很多數(shù)學。高中學生需要在自己的數(shù)學課上體驗應(yīng)用。同樣在其他課上使用數(shù)學。
因為數(shù)學是科學的語言和模式的科學，數(shù)學和科學之間的特殊聯(lián)系遠比理論和應(yīng)用之間的聯(lián)系多。數(shù)學探究的方法和科學方法都集中注意探索、調(diào)研、猜想、證明、推理。科學與數(shù)學之間的學校這條紐帶應(yīng)當特別幫助加強學生對這兩個領(lǐng)域的掌握。
第七，中學數(shù)學課程的主要目的應(yīng)當是發(fā)展符號意識(Symbol Sense)
小學過渡到中學特征是從具體對象轉(zhuǎn)到抽象符號。發(fā)展順暢使用符號和其他抽象名稱（可能是幾何的、代數(shù)的、或算法的）的能力必須是中學數(shù)學的中心目的，學生有效使用符號去推理的能力要求有以下的體驗：
表達——用符號形式表達數(shù)學問題并在關(guān)系、式子、和方程中使用這些符號表達式的能力；
操作——確定適當?shù)姆柍绦蚝瓦x擇適當?shù)姆椒ń鉀Q用符號形式表達的問題的能力；
解釋——用符號系統(tǒng)推理得出結(jié)論并檢驗這些結(jié)果的準確性和合理性的能力。
當然計算器和計算機在發(fā)展符號意識中起著重要作用。因為強有力的計算器將恰像影響算術(shù)如何做一樣深刻影響符號操作。在中學目前強調(diào)操作技能需要改成大大強調(diào)理解和問題解決。新技術(shù)對中學課程的影響無疑將是發(fā)展高經(jīng)軟件使學生能夠去發(fā)現(xiàn)模式而不僅僅是符號操作。
第八，中學數(shù)學應(yīng)當引進整套數(shù)學科學
中學數(shù)學必須為就業(yè)、升學和作公民給學生作好準備，要達到這些目標，課程性質(zhì)包括充分反映數(shù)學科學威力的廣泛的課題：
代數(shù)，包括一般算法和各類函數(shù)（多項式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)）。
幾何，包括變換幾何、向量幾何、立體幾何和解析幾何。
數(shù)據(jù)分析，包括不確定性的度量、概率和抽樣分布、以及推理論證。
離散數(shù)學，包括組合論、圖論、遞推關(guān)系、遞歸——都要強調(diào)算法思想。
最優(yōu)化，包括數(shù)學建模，“如果……會怎樣”（What if）分析、系統(tǒng)思想和網(wǎng)絡(luò)流程圖(Network flows)。
強調(diào)計算機條件下的一般算法會使代數(shù)和三角更有趣。盡管幾何作為一個科目有使人厭煩的壞名聲，但是由于它的與物理世界的聯(lián)系，它總是一門有很大興趣的科目。數(shù)據(jù)分析與離散數(shù)學和最優(yōu)化一樣能夠很容易同有趣的、有意義的應(yīng)用聯(lián)系。
數(shù)學教學中重要的是闡明這門科目的統(tǒng)一性和完整性。例如，分形幾何(Fractal geometry)高中學生是十分能夠接受的并且包含代數(shù)、幾何和離散數(shù)學的一些方面。還提供了計算機的誘人使用。數(shù)據(jù)分析直接導(dǎo)致代數(shù)和幾何方法，而代數(shù)和幾何本身又結(jié)合成解析幾何。這些把一個課題和其他課題聯(lián)系起來的紐帶常常和這些課題本身一樣重要。
第九，學生應(yīng)當領(lǐng)悟，在數(shù)學中推理得真理的標準
學會理解和建立邏輯的、首尾一貫的數(shù)學誰是學校數(shù)學的主要目的，然而，歐幾里得幾何不是教學生推理的唯一載體，代數(shù)和離散數(shù)學都為誰提供了很好的機會；甚至流程圖和電子數(shù)據(jù)表也能用來說明數(shù)學論證的邏輯性質(zhì)。
比熟練形式證明更加重要的是從各種基本例子中理解數(shù)學真理是邏輯的不單純是經(jīng)驗的。少年兒童能夠從算術(shù)的基本經(jīng)驗中發(fā)展邏輯意識。一旦理解了符號，許多基本思想就可以證明，常�？梢杂酶鞣N方法來證明。代數(shù)結(jié)果的幾何證明（例如，畢達哥拉斯公式用重組正方形的方法展示）常常特別使學生信服。
第十，所有學生在校期間每年都應(yīng)當學習數(shù)學
數(shù)學應(yīng)當在所有學生而不僅是升學的教育中發(fā)揮重要作用。核心的中學數(shù)學對所有學生基本上應(yīng)當是一樣的，盡管表述的深度上可以不同。核心以外的擴充自然是不同的，要估計到學生的不同志向和可能的進一步教育。學生能夠?qū)W會去應(yīng)用數(shù)學。他們的確常常能夠在與數(shù)學有聯(lián)系的學科（如自然科學、地理、商業(yè)）中學到新的數(shù)學。數(shù)學和
語文一樣是一門應(yīng)當“跨課程”來教的科目。
5、新數(shù)學課程設(shè)計中的幾個問題 第一，關(guān)于教學內(nèi)容
60年代 “新數(shù)”運動后，中學數(shù)學教學內(nèi)容包含了代數(shù)、幾何、分析加上一點在力學上的應(yīng)用、統(tǒng)計和概率。1986年在討論“九十年代學校數(shù)學”的ICMI Kuwoait會上把代數(shù)看作仍然“在中學課程中占中心的重要地位”，“ 然而，重要的事情濁讓學生掌握操作技能（如多項式運算）而是教學生把代數(shù)看作解決問題的自然工具”。有的國家取消了歐氏幾何，感到后悔，因為“大量從事科技工作的人需要掌握非常嚴格的邏輯性或數(shù)學性的陳述”。沒有取消的仍然堅持，因為幾何有利于激發(fā)學生的學習動機，為以后的學習和工作作準備。Kuwoait 會建議的課程內(nèi)容，改革以微積分占優(yōu)勢的狀況，引進與計算機科學有關(guān)聯(lián)的離散數(shù)學的概念，此外，還包括了那些由于有了計算機而可能搬上課堂的內(nèi)容，如數(shù)據(jù)分析，這些都是計算機發(fā)展帶來的影響。這里再補充三點：一是算法得到重新強調(diào)，并且要比較解決同一問題的不同算法的效率；二是符號操作；三是離散數(shù)學，對于程序設(shè)計的價值的看法有分歧，一方面看到，在填寫程序中許多是純技術(shù)性的工作；另一方面，有一些重要的研究表明，在程序設(shè)計中的認知活動可以起到概念化的輔助作用，這個問題需要通過實驗研究來解決。
教學內(nèi)容中的另一個問題是“為大眾的數(shù)學”的研究。６０年代的“新數(shù)”主要是為了加強“中小學數(shù)學”與“高等數(shù)學”之間的聯(lián)系；現(xiàn)在在大力研究中把中小學數(shù)學同“民族數(shù)學”聯(lián)系起來，搞面向大眾的“為大眾的數(shù)學”的運動。這個運動從1984年到現(xiàn)在已經(jīng)十年了，要回答的一個主要問題是“數(shù)學是否應(yīng)該保持在為大眾的中小學課程中的核心地位？”可能有四種選擇：一是否定回答，對每個人不能都教“純數(shù)學”；二是肯定回答，但必須設(shè)計好；三是肯定回答，但未必所有人都學懂；四也是肯定回答，但要設(shè)計區(qū)分的課程，對不同水平的學生區(qū)別對待。前面講的七個轉(zhuǎn)變中認為目標不能降低，可以通過教法和進度來區(qū)別。 第二，關(guān)于課程的結(jié)構(gòu)
課程改革不僅是內(nèi)容問題，還有課程的結(jié)構(gòu)問題，即要回答“如何構(gòu)建課程才能不僅易學，而且符合教學目標？”只學“結(jié)果”呢，不是要學“過程？”現(xiàn)在強調(diào)學習“知識何來”，也就是學“過程”。數(shù)學課程應(yīng)該以數(shù)學過程為基礎(chǔ)，而不是像現(xiàn)在這樣以學科內(nèi)容為基礎(chǔ)來重新編制。數(shù)學是一組過程。學校的任務(wù)是幫助學生去“數(shù)學化”，那么，不僅是確定哪些數(shù)學課題對于中學生是必不可少的，而且重要的任務(wù)是選擇哪些過程可能會更好地為提高公民素質(zhì)服務(wù)，以及什么學校實踐可能幫助學生學習這些過程。
在一個計算機化的社會里，這些過程應(yīng)包括：比較、分類、排序、抽象、符號化、一般化、…等等，所有這些都可以歸入“數(shù)學化”這個術(shù)語之中，如何才能發(fā)展數(shù)學化的功能呢？“過程”能夠作為數(shù)學課程建構(gòu)的實際可能的基礎(chǔ)嗎？等等仍然是研究的課題。
第三，重視數(shù)學的應(yīng)用
近年來，對于“應(yīng)用”，對于使數(shù)學教學“貼近”實際，對于“數(shù)學模型”的教學，已經(jīng)有許多談?wù)�，事實上，�?shù)學教學歷史上總是具有很強的職業(yè)的成份；只能隨著中學和大學的學院化，數(shù)學和現(xiàn)實的聯(lián)系才被忽視，但是教“應(yīng)用”和使用“現(xiàn)實生活”例子的問題仍有待研究�！皯�(yīng)用”在數(shù)學教學中可以有許多解釋，有些人為的非現(xiàn)實生活的例子，也可能有重要的教育價值，也可能養(yǎng)成學生應(yīng)用數(shù)學的技能，不能一概否定，還有一類傳統(tǒng)的例子是過份“現(xiàn)實”的，是直接從職業(yè)中拿出來的，如薄記、稅收、聯(lián)系特殊地方工業(yè)的數(shù)學，如“三機一泵”這樣的現(xiàn)實例子，這就有一個“誰的現(xiàn)實”的問題。這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取�！退闩懦诉@類實例，還會有多種形式體現(xiàn)“應(yīng)用”。比如，“守門員如何站位才能縮小對手的射角？”、“攻球員應(yīng)當把球帶到離球門多遠處，他的射球位置能取得最大射角？”這些問題把數(shù)學與實際情境聯(lián)系在一起，對有些學生有吸引力，但并不是真用數(shù)學解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置，數(shù)學的應(yīng)用主要不在于這樣的“應(yīng)用”。更重要的是，這種“聯(lián)系”不可能總是結(jié)合學生“實際的”，正如Carson說的，“現(xiàn)實是主體和時間的函數(shù)，對我是現(xiàn)實的，對別人未必是現(xiàn)實的；在過去是現(xiàn)實的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實的了�！笨梢娨拐n程有“應(yīng)用”性是既復(fù)雜、又長期的問題。
前面說的都是用來為數(shù)學教學服務(wù)的“現(xiàn)實”例子，當數(shù)學用來為現(xiàn)實服務(wù)時，情況就完全不同了，它是完全不同的一類例子，它是用數(shù)學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現(xiàn)實問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于數(shù)學一科，不要用到學生多方面的知識。 加強實際應(yīng)用，是教育傳統(tǒng)中長期持續(xù)的工作，1918年Kilpatrick講的“在社會環(huán)境中有目的的活動”運用“設(shè)計”、“興趣中心”來激發(fā)學習動機，即所謂“設(shè)計教學”法，這是老例子，但也有一些新例子。
現(xiàn)在有一種愿望：在中小學引進跨學科的，以社會為基礎(chǔ)的設(shè)計工作，在這種設(shè)計工作中，學生會看到數(shù)學如何才能夠應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實生活”問題上去，并且可望獲得進一步學習的動力，會自然地產(chǎn)生建立“數(shù)學模型”的機會，實際上關(guān)于數(shù)學建模的學習包括了各種水平的活動�，F(xiàn)在有必要研究許多模型，明確“數(shù)學建模”的確切意圖。2000年的一個重大挑戰(zhàn)不僅是提供在學校能夠?qū)W的應(yīng)用的實例，而且是更深入地研究各種類型應(yīng)用的教育目的和正確性，所以學生如何運用數(shù)學必定是九十年代一個主要目標。這里有三種可能的選擇：第一，在數(shù)學課內(nèi)的應(yīng)用，這種應(yīng)用可以直接引起動機，要求學生具有數(shù)學以外的知識；第二，數(shù)學應(yīng)用于其他課內(nèi)；第三，數(shù)學應(yīng)用于跨學科的設(shè)計（項目）中，這項工作在未來的年代中是值得認真探討的開發(fā)性的工作。
第四，關(guān)于問題解決
問題解決是數(shù)學教育改革的熱門話題，范圍也在日益擴大，日本已把問題解決納入指導(dǎo)要領(lǐng)（教學大綱）。美國的課程標準。仍把問題解決作為“一切數(shù)學活動的組成部分，應(yīng)當成為數(shù)學課程的核心”，整個數(shù)學課程要圍繞問題解決展開。英國也是把問題解決作為一種教學模式、數(shù)學教學的指導(dǎo)思想來對待的。而對文化壓力的增長和新技術(shù)的挑戰(zhàn)更加顯得問題解決的重要。認為要通過教育中的更大的問題解決的方法去開發(fā)學生的智力。來回答迅猛的技術(shù)革命的問題，這里的原則是：如果我們不能預(yù)測明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武裝下一代去面對的新的挑戰(zhàn)。當然不能低估實現(xiàn)這種措施的困難。和60年代的“新數(shù)”不同，“新數(shù)”至少有大學訓練的教師是了解其內(nèi)容的，而問題解決除了少數(shù)人外，對絕大多數(shù)人都是全新的。 荷蘭在1981-1985年間為文科開發(fā)了一套新的16-19歲的數(shù)學課程，對數(shù)學作了現(xiàn)實主義的處理。現(xiàn)實世界的問題在把它們數(shù)學化之前，先直觀地考察，進行數(shù)學化，變成數(shù)學問題加以解決。這和“新數(shù)”的結(jié)構(gòu)主義的處理恰成鮮明對照。
有些建議，通過數(shù)學建模把更多的問題解決因素引進高中數(shù)學：
“我們確實要學生能夠把他們的數(shù)學技能用到實踐中去，而且只有通過活躍的問題解決他們才能做到這一點，問
題可以是現(xiàn)實的或者純數(shù)學的，統(tǒng)一它們的是，它們給學生以機會去： 應(yīng)用他們的數(shù)學技能；小組活動；表現(xiàn)創(chuàng)造性、想像力、革新精神、批判性；激勵進一步的數(shù)學學習。
【淺談數(shù)學的設(shè)計】相關(guān)文章：
淺談數(shù)學課程的設(shè)計08-08
淺談數(shù)學課堂教學設(shè)計08-23
淺談小學數(shù)學有效性作業(yè)的設(shè)計08-24
淺談設(shè)計美學08-05
課件設(shè)計淺談08-07
淺談生物實驗的設(shè)計08-19