淺談數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)
高中數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)課程問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的中心問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究的中心問(wèn)題之一。從1958年以來(lái)筆者參加了多次數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)、教材編寫(xiě)、實(shí)驗(yàn)研究，從三十余年的實(shí)踐中形成了關(guān)于數(shù)學(xué)課程發(fā)展規(guī)律的一些認(rèn)識(shí)。影響、制約、決定數(shù)學(xué)課程發(fā)展的因素主要是三個(gè)方面：社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)方面的需求，數(shù)學(xué)發(fā)展和教育發(fā)展的需求。數(shù)學(xué)課程的發(fā)展決定于這三個(gè)方面需求的和諧統(tǒng)一，本文基于《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》（以下簡(jiǎn)稱《實(shí)驗(yàn)教材》)的實(shí)驗(yàn)著重探討這三者如何和諧統(tǒng)一推動(dòng)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展。
一、我國(guó)社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
促進(jìn)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的眾多動(dòng)力中，沒(méi)有比社會(huì)發(fā)展這一動(dòng)力更大的了，社會(huì)發(fā)展的需要主要包括：社會(huì)生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和政治方面的要求。
我國(guó)社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程提出了以下要求。
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教育必須為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建服務(wù)。這就要求數(shù)學(xué)課程要有明確的目的性，即要為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)培養(yǎng)各級(jí)人才奠定基礎(chǔ)，為提高廣大勞動(dòng)者的素質(zhì)做出貢獻(xiàn)。當(dāng)今社會(huì)正由工業(yè)社會(huì)向信息社會(huì)過(guò)渡，在信息社會(huì)里多數(shù)人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會(huì)財(cái)富增加要更多地依靠知識(shí)；知識(shí)更新、技術(shù)進(jìn)步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應(yīng)日新月異的社會(huì)，必須把勞動(dòng)者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學(xué)習(xí)的能力。
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數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)具有應(yīng)用的廣泛性，可以運(yùn)用于解決社會(huì)生產(chǎn)、社會(huì)生活以及其他學(xué)科中的大量實(shí)際問(wèn)題；運(yùn)用于訓(xùn)練人的思維。應(yīng)該精選現(xiàn)代社會(huì)生和生活中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)作為數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容。另外，還要考慮其他學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的要求。數(shù)學(xué)課程還應(yīng)滿足現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，加進(jìn)其中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，如計(jì)算機(jī)初步知識(shí)、統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)離散概率空間、二項(xiàng)分布等概率初步知識(shí)。
數(shù)學(xué)不僅是解決實(shí)際問(wèn)題的工具，而且也廣泛用來(lái)訓(xùn)練人的思維，培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的社會(huì)成員，要使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力有信心，有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。
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我們培養(yǎng)的人應(yīng)該有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律、熱愛(ài)社會(huì)主義祖國(guó)和社會(huì)主義事業(yè)，具有國(guó)家興旺發(fā)達(dá)而艱苦奮斗的精神；應(yīng)當(dāng)不斷追求新知、實(shí)事求是、獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀點(diǎn)。這就要求數(shù)學(xué)課程適當(dāng)介紹中國(guó)數(shù)學(xué)史，以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點(diǎn)來(lái)闡述課程內(nèi)容，有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)。體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)、變化、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》用“精簡(jiǎn)實(shí)用”的選材標(biāo)準(zhǔn)來(lái)滿足這些要求。
二、數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
（一）中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當(dāng)配合的整體
數(shù)學(xué)研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的對(duì)象是數(shù)、空間、函數(shù)，相應(yīng)的是代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多綜合性數(shù)學(xué)分支，都是在它們的基礎(chǔ)上產(chǎn)生并發(fā)展起來(lái)的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運(yùn)用。代數(shù)、幾何、分析在相鄰學(xué)科和解決各種實(shí)際問(wèn)題中都有廣泛應(yīng)用，所以中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)是它們恰當(dāng)配合的整體。曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的把中學(xué)課程代數(shù)結(jié)構(gòu)化（如“新數(shù)”）的設(shè)計(jì)方案。“以函數(shù)為綱”使中學(xué)數(shù)學(xué)課程分析化的設(shè)計(jì)方案都不成功，正是沒(méi)有滿足這一要求。
（二）適當(dāng)增加應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容
應(yīng)用數(shù)學(xué)近年來(lái)蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的分支和領(lǐng)域，應(yīng)用范圍也在日益擴(kuò)大，這種形勢(shì)也要求在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中有所反映。從“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”開(kāi)始，各國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中陸續(xù)增加了概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)的初步知識(shí)。這一方面說(shuō)明概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)知識(shí)在社會(huì)生產(chǎn)和社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用，另一方面也說(shuō)明數(shù)學(xué)的發(fā)展擴(kuò)大了它的基礎(chǔ)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程提出了新的要求。
由于計(jì)算機(jī)科學(xué)研究的需要，“離散數(shù)學(xué)”越來(lái)越顯得重要。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)增加離散數(shù)學(xué)的比重。
（三）系統(tǒng)性
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，包括代數(shù)、幾何、分析到19世紀(jì)末都相繼奠定了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。到本世紀(jì)30年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派用公理化方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化。任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)都可以歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)的復(fù)合。經(jīng)過(guò)用公理化方法的整理，使數(shù)學(xué)成為一個(gè)邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。因此，作為符合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)要求的中學(xué)數(shù)學(xué)課程就必須具有一定的系統(tǒng)性和邏輯嚴(yán)密性。
（四）突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法
現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行著不同領(lǐng)域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認(rèn)為沒(méi)有任何共同之處的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎(chǔ)上了。
數(shù)學(xué)思想和方法把數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)結(jié)成一個(gè)統(tǒng)一的有結(jié)構(gòu)的整體。所以，我們應(yīng)該體現(xiàn)突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
《實(shí)驗(yàn)教材》以“反璞歸真”的指導(dǎo)思想來(lái)滿足數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的要求。
三、教育、心理學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程的要求
教育、心理學(xué)的發(fā)展，對(duì)教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的心理規(guī)律有了更深入的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律。認(rèn)知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認(rèn)知的發(fā)展呈現(xiàn)一定的規(guī)律�；谶@些規(guī)律，要求數(shù)學(xué)課程具有：
（一）可接受性
教學(xué)內(nèi)容、方法都要適合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平。獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，主要依賴于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)概念，通過(guò)新舊知識(shí)的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，它包括輸入、同化、操作三個(gè)階段。因此，作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要同學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過(guò)低或過(guò)高，要處于同級(jí)發(fā)展水平。這樣才能使數(shù)學(xué)課程內(nèi)容被學(xué)生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識(shí)有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（二）直觀性
皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段的理論認(rèn)為，中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平已由具體運(yùn)算進(jìn)入了抽象運(yùn)算階段，但是即使他們?cè)谡w上認(rèn)知水平已經(jīng)達(dá)到了抽象運(yùn)算的水平，在每個(gè)新數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數(shù)學(xué)課程應(yīng)向?qū)W生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向?qū)W生提示抽象概念的來(lái)龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發(fā)性
蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認(rèn)為兒童心理機(jī)能“最近發(fā)展區(qū)”的水平。表現(xiàn)為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨(dú)立地解決一定的靠智力解決的任務(wù)，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務(wù)。數(shù)學(xué)課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導(dǎo)那些正待成熟的心理機(jī)能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區(qū)”的矛盾得到轉(zhuǎn)化，而進(jìn)入更高一級(jí)的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平。
要使數(shù)學(xué)課程真
正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，缺乏思考余地。沒(méi)有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學(xué)生思維，甚至不能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)愿望。第二，內(nèi)容過(guò)于復(fù)雜、抽象。超過(guò)了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學(xué)生將會(huì)由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
布魯納曾指出，向成長(zhǎng)中的兒童提出難題，激勵(lì)他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導(dǎo)下，他的數(shù)學(xué)課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內(nèi)容啟發(fā)性的體現(xiàn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》用“順理成章、深入淺出”的指導(dǎo)思想來(lái)體現(xiàn)以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統(tǒng)一
上面分別考查了三個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)課程提出的要求，這些要求有時(shí)互為前題，互相補(bǔ)充，而有時(shí)卻是彼此矛盾的。這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統(tǒng)一呢？從《實(shí)驗(yàn)教材》11年的實(shí)驗(yàn)中形成了16字指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的思想，比較恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一了以上三方面的需求。這16字的指導(dǎo)思想是“精簡(jiǎn)實(shí)用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡(jiǎn)實(shí)用”是個(gè)基本的指導(dǎo)思想，它恰當(dāng)?shù)乇憩F(xiàn)了理論和實(shí)際的正確關(guān)系。由實(shí)際到理論，就是由繁精簡(jiǎn)，把實(shí)際中多樣的事物、現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)分析、綜合，歸納出簡(jiǎn)單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡(jiǎn)的理論才能用來(lái)“以簡(jiǎn)馭繁”。所以“精簡(jiǎn)實(shí)用”在科學(xué)上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡(jiǎn)明扼要的理論。要做到精簡(jiǎn)，必須抓住重點(diǎn)。教材中普遍實(shí)用的最基礎(chǔ)部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點(diǎn)。中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當(dāng)配合的整體，這樣做既可滿足社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實(shí)用的最基礎(chǔ)部分是代數(shù)中的數(shù)系，最普遍有用的是數(shù)系的運(yùn)算律（“數(shù)系通性”）；解代數(shù)方程；多項(xiàng)式運(yùn)算；待定系數(shù)法。幾何中的重要內(nèi)容是教導(dǎo)學(xué)生研習(xí)演繹法，要點(diǎn)在于讓學(xué)生逐步體會(huì)空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說(shuō)是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結(jié)構(gòu)全面代數(shù)化的理論基礎(chǔ)。用向量把幾何學(xué)全面代數(shù)化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點(diǎn)。分析的重要內(nèi)容除函數(shù)、極限、連續(xù)等分析學(xué)的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著重于教學(xué)生以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數(shù)最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡(jiǎn)單的數(shù)的運(yùn)算律，它們是整個(gè)代數(shù)學(xué)的根本所在。把它形式化，也就是多項(xiàng)式的運(yùn)算和理論。傳統(tǒng)的代數(shù)教學(xué)從多項(xiàng)式的形式理論開(kāi)始，學(xué)生不解其義，感到枯燥。《實(shí)驗(yàn)教材》反璞歸真，先講代數(shù)的基本原理就是靈活運(yùn)用運(yùn)算律，首先用以解決一次方程的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生自然地覺(jué)得應(yīng)該有一個(gè)多項(xiàng)式理論，然后再講多項(xiàng)式，這樣學(xué)生易于理解多項(xiàng)式的來(lái)源與本質(zhì)�！斑@就是反璞歸真”的一個(gè)實(shí)例。
基本的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出其教學(xué)是把知識(shí)教學(xué)與能力訓(xùn)練統(tǒng)一起來(lái)的重要一環(huán)。把知識(shí)看作一個(gè)過(guò)程，弄清它的來(lái)龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學(xué)生的數(shù)學(xué)才能才發(fā)展起來(lái)，要學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，會(huì)“數(shù)學(xué)地”提出問(wèn)題，思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。
《實(shí)驗(yàn)教材》一開(kāi)始就突出了用符號(hào)（字母）表示數(shù)的基本思想和方法。
集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生從考慮具體的數(shù)學(xué)對(duì)象到考慮對(duì)象的集合，進(jìn)而考慮分類(lèi)等問(wèn)題。
函數(shù)的思考方法，考慮對(duì)應(yīng)，考慮運(yùn)動(dòng)的變化、相依關(guān)系，由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究過(guò)程。分解和組合的方法。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與綜合、轉(zhuǎn)化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類(lèi)比、遞推、歸納等基本的數(shù)學(xué)思想與方法都分別得到強(qiáng)調(diào)。
“順理成間”就是要從歷史發(fā)展程序和認(rèn)識(shí)規(guī)律出發(fā)，“順理成間”地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)是一種演繹體系，有時(shí)甚至本末倒置。這正是數(shù)學(xué)本身的要求和學(xué)生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個(gè)矛盾，使這兩方面的要求和諧統(tǒng)一，課程設(shè)計(jì)就既不能違背邏輯次序。更要符合認(rèn)識(shí)程序。因此，要參照數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，用數(shù)學(xué)概念的逐步進(jìn)化演變過(guò)程作為明鏡，用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的層次與脈絡(luò)作為依據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展經(jīng)歷過(guò)若干重要轉(zhuǎn)折。學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程和數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程（人類(lèi)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程）有一致性。數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)要著力于采取措施引導(dǎo)學(xué)生合乎規(guī)律地實(shí)現(xiàn)那些重大轉(zhuǎn)折，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順理成章地由一個(gè)高度發(fā)展到另一個(gè)新的高度。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，主要經(jīng)歷過(guò)五個(gè)大的轉(zhuǎn)折。
由算術(shù)到代數(shù)是一個(gè)重大的轉(zhuǎn)折。實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)折，重要的是要向?qū)W生講清代數(shù)的基本精神是靈活運(yùn)用運(yùn)算律謀求問(wèn)題的統(tǒng)一解法。由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何是第二個(gè)重大轉(zhuǎn)折。要對(duì)空間的基本概念與基本性質(zhì)加以系統(tǒng)的觀察、分析與實(shí)驗(yàn)，建立“空間通性”的一個(gè)明確體系，達(dá)到“探源、奠基與啟蒙”三個(gè)目的，然后引進(jìn)集合術(shù)語(yǔ)并以集合作工具，講清一些基本邏輯關(guān)系、推理格式，再轉(zhuǎn)入歐幾里得推理幾何。第三個(gè)轉(zhuǎn)折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對(duì)幾何問(wèn)題謀求統(tǒng)一解法，出路在代數(shù)化，首先要把一個(gè)基本幾何量代數(shù)化，就得到向量的概念，然后運(yùn)用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質(zhì)引起向量的加法、倍積與內(nèi)積這三種向量運(yùn)算。這樣就把窨的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運(yùn)算。這樣就把空間的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運(yùn)算這種代數(shù)體系，因而空間的基本性質(zhì)也就轉(zhuǎn)化成向量運(yùn)算的運(yùn)算律。換句話說(shuō)，向量的運(yùn)算律也就是代數(shù)化的幾何公理。這樣就實(shí)現(xiàn)定性幾何到定量幾何的轉(zhuǎn)折。向量是這個(gè)轉(zhuǎn)折的樞紐。第四個(gè)轉(zhuǎn)折是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，這在概念和方法論方面都有相當(dāng)大幅度的飛躍，需要早作準(zhǔn)備。初中二年級(jí)已引入三角函數(shù)的初步概念，初三正式研究各種函數(shù)，到高一、高二的代數(shù)與解析幾何中，就逐步講座到連續(xù)性、實(shí)數(shù)完備性、切線等概念。數(shù)列、逼近的思想也早有滲透，到高三進(jìn)一步突出逼近法研究極限、連續(xù)、微分、積分等變量數(shù)學(xué)問(wèn)題。第五個(gè)轉(zhuǎn)折是由確定性數(shù)學(xué)到隨機(jī)性數(shù)學(xué)。在代數(shù)之后引起概率論初步。
上述數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)，既遵循歷史發(fā)展的規(guī)律，又突出了幾個(gè)轉(zhuǎn)折關(guān)頭，縮短了認(rèn)識(shí)過(guò)程。有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的思想性。
“深入淺出”就是要學(xué)到應(yīng)有的深度，才能淺出。許多事物和現(xiàn)象表面上各不相連，但是把它們提高到適當(dāng)?shù)母叨葋?lái)看，這些事物和現(xiàn)象就會(huì)有一種統(tǒng)一的理論串連其間。因此，如果沒(méi)有掌握到這種樞紐性的理論，就無(wú)法回頭用理論來(lái)統(tǒng)一一系列繁復(fù)多樣的實(shí)際。所以數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要用學(xué)生易于接受的形式引導(dǎo)學(xué)生去掌握樞紐性的理論。“占領(lǐng)制高點(diǎn)”，才能居高臨下，一目了然。把數(shù)學(xué)課程搞得淺薄，砍掉具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論，把數(shù)學(xué)課程變成一本支離破碎的流水帳，一來(lái)難懂，二來(lái)無(wú)用，所以深入淺出的要點(diǎn)在于教好那些具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論。
《實(shí)驗(yàn)教材》的實(shí)驗(yàn)證明，16監(jiān)察院指導(dǎo)思想恰當(dāng)?shù)靥幚砹死碚摵蛯?shí)際的關(guān)系，數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)系，數(shù)學(xué)課程完整性與發(fā)展性的關(guān)系等，充分滿足了三方面的要求，五個(gè)轉(zhuǎn)折都順利地實(shí)現(xiàn)了�！秾�(shí)
驗(yàn)教材》內(nèi)容多、要求高、負(fù)擔(dān)重，有待進(jìn)一步精簡(jiǎn)。
《實(shí)驗(yàn)教材》的實(shí)驗(yàn)研究取得了效果和經(jīng)驗(yàn)。但是數(shù)學(xué)課程發(fā)展的規(guī)律、指導(dǎo)發(fā)展的理論尚待探索和逐步建立，尚需使用歷史分析的方法，比較研究和實(shí)驗(yàn)研究的多種方法，研究古、今、中、外的數(shù)學(xué)課程，從中探索出規(guī)律，建立數(shù)學(xué)課程發(fā)展的系統(tǒng)理論，以指導(dǎo)今后的數(shù)學(xué)課程改革和設(shè)計(jì)的實(shí)踐。
再談面向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程
丁爾升（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 100875）
義務(wù)教育的新數(shù)學(xué)課程和教材從去年下半年開(kāi)始已在全國(guó)普遍實(shí)施和使用。義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程有一個(gè)基本精神，就是要從應(yīng)試教育轉(zhuǎn)到素質(zhì)教育，這個(gè)轉(zhuǎn)變涉及到教育思想、教育目標(biāo)、教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段等各個(gè)方面。要實(shí)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)變，絕不是編輯出版幾套新材料就完事的，何況新教材也只是一個(gè)階段性成果，隨著對(duì)新世紀(jì)挑戰(zhàn)的認(rèn)識(shí)的提高還會(huì)有新的改革。所以實(shí)施義務(wù)教育的新數(shù)學(xué)課程是一個(gè)長(zhǎng)期、艱巨的改革過(guò)程。今天我不打算全面闡述這個(gè)過(guò)程，也是我力所不及的，我只想提供一點(diǎn)“參考消息”，看看國(guó)外一些人是如何議論迎接新世紀(jì)挑戰(zhàn)問(wèn)題的。我想綜合一些研究成果或有傾向性的預(yù)測(cè)，描述一下面向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程。
1、條件的重大變化
我們從分析影響數(shù)學(xué)課程變革的條件的重大變化開(kāi)始。
首先，數(shù)學(xué)的社會(huì)需要有很大改變。隨著經(jīng)濟(jì)適應(yīng)信息時(shí)代的需要，每個(gè)部門(mén)的工作人員——從飯店服務(wù)員到秘書(shū)，從汽車(chē)修理工到旅游代理人——都必須懂得計(jì)算機(jī)控制過(guò)程�，F(xiàn)在大多數(shù)職業(yè)都要求從業(yè)人員具有分析能力而不單純是機(jī)械的操作技能，所以絕大多數(shù)學(xué)生需要更多的數(shù)學(xué)能力作為普通職業(yè)的準(zhǔn)備。同樣，在每天的報(bào)紙和公眾的政策討論中都廣泛使用圖表、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。為了更有效地參加社會(huì)生活不能不要求普通公民具有更高標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量意識(shí)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)需要人們掌握更多有用的數(shù)學(xué)。隨著承包制、股份制、租憑制的進(jìn)一步推行，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的逐步完善，無(wú)論是城市還是廣大農(nóng)村，生產(chǎn)者也將成為經(jīng)營(yíng)者，因而，成本、利潤(rùn)、投入、產(chǎn)出、貸款、效益、股份、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等一系列經(jīng)濟(jì)詞匯頻繁使用，買(mǎi)與賣(mài)、存款與保險(xiǎn)、股票與倆券……幾乎每天都會(huì)碰到。相應(yīng)地，與這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)，如比和比例、利息與利率、統(tǒng)計(jì)與概率、運(yùn)籌與優(yōu)化以及系統(tǒng)分析一決策……就應(yīng)成為中小學(xué) 要學(xué)的數(shù)學(xué)了。
科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是信息時(shí)代的到來(lái)，要求人們具有更高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，現(xiàn)代高技術(shù)越來(lái)越表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)技術(shù)。高科技的發(fā)展、應(yīng)用，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速輻射到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾�(gè)領(lǐng)域，智能機(jī)器人、辦公自動(dòng)化以及計(jì)算機(jī)儲(chǔ)蓄、售貨和個(gè)人胸等電子產(chǎn)業(yè)將高速發(fā)展，到下個(gè)世紀(jì)，理個(gè)普通老百姓要是“計(jì)算機(jī)盲”，將會(huì)像現(xiàn)在的文盲一樣不適應(yīng)現(xiàn)代生活。
生活中需要越來(lái)越多的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。各種圖統(tǒng)計(jì)圖表，數(shù)學(xué)符號(hào)向各行各業(yè)普通老百姓傳遞著大量信息。
其次，數(shù)學(xué)及其應(yīng)用有很大變化。最近二三十年數(shù)學(xué)的性質(zhì)及其應(yīng)用的途徑發(fā)生了巨大變化。不僅發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且應(yīng)用數(shù)學(xué)的問(wèn)題類(lèi)型以空前的速度增長(zhǎng)了。當(dāng)然，最顯著的是計(jì)算機(jī)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的爆炸性的增長(zhǎng)。這些計(jì)算機(jī)應(yīng)用的絕大多數(shù)都要求發(fā)展新的數(shù)學(xué)，在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前不可能在這些領(lǐng)域應(yīng)用的數(shù)學(xué)，雖不顯著，但同樣重要的是在用廣泛應(yīng)用性的統(tǒng)一概念聯(lián)系起來(lái)的幾個(gè)主要數(shù)學(xué)分支中產(chǎn)生的大量思想財(cái)富。學(xué)生必須學(xué)習(xí)在這些應(yīng)用中使用的數(shù)學(xué)以便掌握數(shù)學(xué)的威力去解決實(shí)際問(wèn)題。
數(shù)學(xué)的發(fā)展使人們對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的認(rèn)識(shí)有變化。數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)。觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想等數(shù)學(xué)的實(shí)踐部分和任何自然科學(xué)是一樣多的。嘗試和錯(cuò)誤、假說(shuō)和調(diào)研，以及度量和分類(lèi)是數(shù)學(xué)家常用的部分技巧，學(xué)校應(yīng)當(dāng)教。實(shí)驗(yàn)室作業(yè)和實(shí)習(xí)作業(yè)對(duì)于理解數(shù)學(xué)是什么及其如何使用不但是適宜 而且是必需的。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室里計(jì)算器和計(jì)算機(jī)是必需的工具。實(shí)際數(shù)據(jù)（科學(xué)實(shí)、人口統(tǒng)計(jì)、民意測(cè)驗(yàn)等的數(shù)據(jù)），觀察和度量的對(duì)象（骰子、方塊、球）是作圖工具（尺子、細(xì)繩、量角器、膠泥、坐標(biāo)紙）都是必需的。 像生物是有機(jī)體的科學(xué)，物理是物和能的科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。這種表述至少可以回朔到笛卡兒，他把數(shù)學(xué)稱作“序的科學(xué)”，后來(lái)物理學(xué)家斯梯文·溫伯格（Steven Weinberg）用它去解釋數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)自然的神奇能力時(shí)作了改進(jìn)。類(lèi)似地把數(shù)學(xué)看成“模式與關(guān)系”的科學(xué)，形成了在《美國(guó)大眾科學(xué)》(Science for All Americans)中表述數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。通過(guò)它們的所有表現(xiàn)形式——數(shù)、數(shù)據(jù)、形、序、甚至模式本身來(lái)劃分、解釋和描述模式，數(shù)學(xué)確信科學(xué)家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數(shù)學(xué)實(shí)踐的組成部分。
模式在數(shù)學(xué)的每個(gè)方面都是明顯的。學(xué)生學(xué)到算術(shù)如何依靠數(shù)的規(guī)則性；他們能夠看到乘法表中的次序，而且驚奇素?cái)?shù)模式中的無(wú)次序。多面體的幾何展示了規(guī)則性，在自然和建筑中它經(jīng)常出現(xiàn)。甚至統(tǒng)計(jì)這門(mén)研究是無(wú)序的學(xué)科，也依靠把模式展示成估價(jià)不確定性的碼尺。 數(shù)學(xué)也是一種交流形式，它是自然語(yǔ)言的補(bǔ)充，所以數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，而且數(shù)學(xué)也是一種語(yǔ)言。不僅是自然所說(shuō)的語(yǔ)言，而且也是商業(yè)、貿(mào)易的合適語(yǔ)言。
數(shù)學(xué)科學(xué)現(xiàn)在是自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和行為科學(xué)的基礎(chǔ)。由于計(jì)算機(jī)和世界范圍的數(shù)字式交流的支持，商業(yè)和工業(yè)都越業(yè)越依靠不僅是傳統(tǒng)的而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分析方法。數(shù)學(xué)可以作商業(yè)和科學(xué)的語(yǔ)言準(zhǔn)確地是因?yàn)閿?shù)學(xué)是描述模式的語(yǔ)言。用它的符號(hào)和句法、詞匯和成語(yǔ)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是交流關(guān)系和模式的通用工具。它是一種每個(gè)人都必須學(xué)習(xí)使用的語(yǔ)言。 如果說(shuō)數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)和語(yǔ)言，那么要學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)就是要去研究和表示模式之間的關(guān)系：在復(fù)雜、模糊的環(huán)境中能夠辨明模式；理解并變換模式間的關(guān)系；對(duì)模式分類(lèi)、編碼、描述；用模式的語(yǔ)言讀寫(xiě)；并使用模式的知識(shí)運(yùn)達(dá)到各種實(shí)際目的。要掌握模式的多樣性，數(shù)學(xué)課程需要介紹和發(fā)展多種不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)模式。數(shù)學(xué)要研究的模式不限于算術(shù)法則，所以中學(xué)數(shù)學(xué)里研究的模式必須打破人為的限制。 一個(gè)搞數(shù)學(xué)的人，他搜集、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造或表達(dá)關(guān)于模式的事實(shí)和思想。數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造性的、活躍的過(guò)程和被動(dòng)地掌握概念和程序很不相同。事實(shí)、公式和信息有多價(jià)值只有看它在多大程度上支持有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)。雖然有些基礎(chǔ)的概念和程序所有學(xué)生都必須知識(shí)只是 是教學(xué)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)定地強(qiáng)調(diào)，學(xué)數(shù)學(xué)是要追求去理解、去交流，而不僅僅是去計(jì)算，通過(guò)展開(kāi)模式的基本原理，數(shù)學(xué)可以使腦子成為處理現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題的有效工具。從這些觀點(diǎn)能夠?yàn)橄乱粋�(gè)世紀(jì)導(dǎo)出有效的、能動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課程。
第三，新技術(shù)的作用有很大變化。計(jì)算器和計(jì)算機(jī)已經(jīng)深刻地改變了數(shù)學(xué)世界。它們不僅影響到什么數(shù)學(xué)是重要的，而且也影響到如何做數(shù)學(xué)，現(xiàn)在袖珍計(jì)算器上能夠做幾乎所有幼兒園到兩年制大學(xué)教的數(shù)學(xué)技術(shù)，僅只這一事實(shí)（巴斯卡的夢(mèng)在我們這個(gè)時(shí)代實(shí)現(xiàn)了）就必定會(huì)大大影響數(shù)學(xué)課程。雖然學(xué)科的最前沿的發(fā)展一般不會(huì)對(duì)早期的教育產(chǎn)生主要影響，但是由計(jì)算機(jī)和計(jì)算器帶來(lái)的數(shù)學(xué)中的變化如此深刻，需要重新調(diào)整中學(xué)數(shù)學(xué)中各課題的處理方法和它們之間的平
衡。
比如對(duì)發(fā)展常規(guī)計(jì)算技能的重視程度應(yīng)降低，這就會(huì)有更多的時(shí)間來(lái)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程的理解和推理能力；易于開(kāi)發(fā)一種課程，可能加強(qiáng)近似計(jì)算和估算。一個(gè)學(xué)生能準(zhǔn)確作2507×4131的乘法和能夠說(shuō)出結(jié)果大約是一千萬(wàn),哪個(gè)更重要些呢?常常一個(gè)近似的答案不僅已經(jīng)足夠,而且比精確答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以給精確結(jié)果提供快速檢驗(yàn);可以開(kāi)發(fā)強(qiáng)調(diào)各種數(shù)學(xué)方法的更廣的課程.
計(jì)算器和計(jì)算機(jī)不僅改變了什么數(shù)學(xué)重要,而且也改變了數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)如何教.它們把困難的變得容易,使不可行的變得可行.例如,計(jì)算機(jī)能夠顯示和操作像三維的形狀復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象。使用計(jì)算機(jī)，學(xué)生能夠解決與他們?nèi)粘Ｉ钣嘘P(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和能夠激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生持久的興趣。計(jì)算機(jī)能把教師解放出來(lái)去完成只有教師才能完成的任務(wù)。比如和學(xué)生一起去探索、猜想。計(jì)算機(jī)提供了一種動(dòng)態(tài)的、畫(huà)圖的手段；它還提供了許多有效的途徑去表達(dá)數(shù)學(xué)思想。 新技術(shù)使數(shù)學(xué)更加現(xiàn)實(shí)，計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，難以完成現(xiàn)實(shí)問(wèn)題所要求的計(jì)算，有了計(jì)算機(jī)計(jì)算不再是障礙，只要問(wèn)題能被學(xué)生掌握，就能解出。實(shí)驗(yàn)中得到的現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)可以得到分析處理。表達(dá)重要物理現(xiàn)象的方程可以解出。許多精深的概念用計(jì)算機(jī)比用其他任何更能做得易理解。
第四，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的理解有變化。學(xué)習(xí)不是一種被動(dòng)地吸取知識(shí)，并通過(guò)反復(fù)練習(xí)，強(qiáng)化儲(chǔ)存知識(shí)的過(guò)程，而是學(xué)生原有知識(shí)處理每項(xiàng)新的任務(wù)，同化新知識(shí)，并構(gòu)建他們自己的意義，再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過(guò)去用的自然語(yǔ)言及遇到過(guò)的情況相聯(lián)系。這種對(duì)學(xué)習(xí)的積極的、構(gòu)造性的觀點(diǎn)必須在教數(shù)學(xué)的途徑中反映出來(lái)。 2、通向未來(lái)的轉(zhuǎn)變
美國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)家教育委員會(huì)、數(shù)學(xué)科學(xué)家委員會(huì)以及2000年數(shù)學(xué)科學(xué)委員會(huì)提出的《人人有份》（Everybody Counts）這份報(bào)告中預(yù)示這次數(shù)學(xué)課程改革要實(shí)現(xiàn)七個(gè)重大的轉(zhuǎn)變寫(xiě)道：“為了迎接時(shí)代的挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)教育正要處理幾個(gè)困難的轉(zhuǎn)變，這些轉(zhuǎn)變將支配本世紀(jì)剩下這段時(shí)間的改革過(guò)程”。這七個(gè)轉(zhuǎn)變可以概括數(shù)學(xué)教育，特別是數(shù)學(xué)課程改革的趨向和前景。這七個(gè)轉(zhuǎn)變是：
第一，中學(xué)數(shù)學(xué)的目標(biāo)應(yīng)從雙重使命（為多數(shù)人的數(shù)學(xué)很少，為少數(shù)人的數(shù)學(xué)很多）轉(zhuǎn)變到單一目標(biāo)：為所有學(xué)生提供重要的、共同的核心數(shù)學(xué)。由于工業(yè)社會(huì)、信息社會(huì)對(duì)勞動(dòng)力的需求是要他們有更高文化修養(yǎng)，所以要給所有學(xué)生提供更多的數(shù)學(xué)教育，所要要發(fā)展適合于每個(gè)年級(jí)所有學(xué)生的核心數(shù)學(xué)課程，即要面向大多數(shù)，甚至是所有學(xué)生，要大多數(shù)公民甚至是全體公民都學(xué)好數(shù)學(xué)；對(duì)能力強(qiáng)的學(xué)生還要用數(shù)學(xué)去激勵(lì)他們；在教學(xué)中用方法和進(jìn)度而不是用課程目標(biāo)來(lái)區(qū)分；選擇普遍有趣的課題和有效的教學(xué)方法。
第二，數(shù)學(xué)教學(xué)從“傳授知識(shí)”的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變到“以激勵(lì)學(xué)習(xí)為特征的，以學(xué)生為中心”的實(shí)踐模式，由學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講的課堂變成學(xué)生積極主動(dòng)參與的像下面這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境：鼓勵(lì)學(xué)生去探索；幫助學(xué)生表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想；讓學(xué)生看到許多數(shù)學(xué)問(wèn)題不只一個(gè)正確答案；提供證據(jù)，證明數(shù)學(xué)是生動(dòng)的，激動(dòng)人心的；使學(xué)生體驗(yàn)到深入理解和嚴(yán)格推理的重要性；使所有學(xué)生都建立起能夠?qū)W好數(shù)學(xué)的自信心。
第三，公眾對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度從冷漠和敵意轉(zhuǎn)到承認(rèn)數(shù)學(xué)在今日社會(huì)中的重要性。通過(guò)現(xiàn)代事件傳送的信息，使公眾認(rèn)識(shí)：期望高的地方，數(shù)學(xué)要得也多；隨著科學(xué)技術(shù)作用的增大，數(shù)學(xué)的重要性也增加；對(duì)于有文化的公民發(fā)揮作用來(lái)說(shuō)；數(shù)學(xué)文化同文化一樣重要。
第四，數(shù)學(xué)教學(xué)從熱衷于無(wú)數(shù)的常規(guī)練習(xí)轉(zhuǎn)到發(fā)展基礎(chǔ)寬廣的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力應(yīng)該要求達(dá)到能夠辨明關(guān)系、邏輯推理，并能運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法去解決廣泛的、多種多樣的非常規(guī)問(wèn)題，要求今天的學(xué)生必須能夠：進(jìn)行心算和有效的估算；知道在某一特定條件下適于使用哪種數(shù)學(xué)運(yùn)算；能夠正確、自信和恰當(dāng)?shù)厥褂糜?jì)算器；會(huì)估計(jì)數(shù)量級(jí)以確認(rèn)心算或計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果：會(huì)使用表、圖、電子數(shù)據(jù)表 (Spreadsheet)和統(tǒng)計(jì)技術(shù)去組織、解釋和表示數(shù)值信息；能判斷別提供的數(shù)據(jù)的可靠性；會(huì)使用計(jì)算機(jī)軟件去完成數(shù)學(xué)任務(wù)；能從模糊的實(shí)際課題中去形成一些特別的問(wèn)題；會(huì)選擇有效解決問(wèn)題的策略。
第五，數(shù)學(xué)教學(xué)從強(qiáng)調(diào)為學(xué)習(xí)進(jìn)一步的課程的需要轉(zhuǎn)到更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生今天和將來(lái)所需要的課題，大多數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容都要在它的運(yùn)用的情境中來(lái)呈現(xiàn)，它的邏輯體系要隨年級(jí)的提高慢慢地建立起來(lái)。值得更加強(qiáng)調(diào)的課題和領(lǐng)域，作為例子，可以舉出：概率，它便于不確定性地說(shuō)理和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的估價(jià)；探測(cè)數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計(jì)，它便于關(guān)于數(shù)據(jù)的說(shuō)理；建模，它可以增進(jìn)對(duì)復(fù)雜情形的系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)性的理解；運(yùn)籌學(xué)，它便于復(fù)雜任務(wù)的計(jì)劃和行為目標(biāo)的達(dá)成；離散數(shù)學(xué)，它便于對(duì)大多數(shù)計(jì)算機(jī)應(yīng)用的理解。這些課題和領(lǐng)域?qū)?huì)使觀察和實(shí)驗(yàn)在未來(lái)數(shù)學(xué)大綱中占重要地位，將使數(shù)學(xué)和其他科目，特別是和自然科學(xué)科目更加靠近。
第六，數(shù)學(xué)教學(xué)從原始的紙筆計(jì)算轉(zhuǎn)到使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，各級(jí)數(shù)學(xué)教師正使他們的教學(xué)方法和科目適應(yīng)于未來(lái)的課程。計(jì)算器和計(jì)算機(jī)使得新教學(xué)模式成為可行的同時(shí)給學(xué)習(xí)環(huán)境注入一種特別的驚異的感覺(jué)，它將伴隨數(shù)學(xué)能力的健康發(fā)展。
由于技術(shù)發(fā)展計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用方法也要持續(xù)地迅速改變。應(yīng)當(dāng)使用新技術(shù)不是因?yàn)樗绪攘�，而是因通過(guò)擴(kuò)充每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力它通順提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)不是去代替用功和嚴(yán)密思維，而是用作爭(zhēng)取好成績(jī)的武器。
第七，公眾對(duì)數(shù)學(xué)的理解從“隨心所欲的法則的不變教條”轉(zhuǎn)到“關(guān)于模式的嚴(yán)格而生動(dòng)的科學(xué)”。數(shù)學(xué)是一門(mén)生動(dòng)活潑的科目，它尋求蘊(yùn)藏于周?chē)澜绾臀覀冾^腦中的模式。這個(gè)轉(zhuǎn)變要求課程內(nèi)容和教學(xué)方式兩個(gè)方面的變革：尋求解法，不僅是記住步驟；探索模式，不僅是學(xué)習(xí)公式；形成猜想，不僅是做練習(xí)，當(dāng)教學(xué)開(kāi)始反映這些重點(diǎn)的時(shí)候，學(xué)生將有機(jī)會(huì)像這樣去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：作為探索性的、動(dòng)態(tài)的、進(jìn)展的科目，而不是作為僵死的、絕對(duì)的、封閉的一組被記住的定律去學(xué)習(xí)，學(xué)生將被鼓勵(lì)去把數(shù)學(xué)看作一門(mén)科學(xué)，而不是看作教規(guī)，并且認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)而不僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)。
3、建立新數(shù)學(xué)課程的原則
前面已經(jīng)談到促使數(shù)學(xué)課程改革的條件變化和改革的方向。把數(shù)學(xué)看成模式的科學(xué)和語(yǔ)言的觀點(diǎn)為新數(shù)學(xué)課程奠定了基礎(chǔ)，改革仍可采取多種形式，但它應(yīng)該遵循一些基本原則。美國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會(huì)在《重建中小學(xué)數(shù)學(xué)》（Reshaping School Mathematics）一書(shū)中提出了六條原則：
原則1：數(shù)學(xué)教育必須集中于發(fā)展數(shù)學(xué)能力
數(shù)學(xué)能力使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和方法并且在各種情況下辨明數(shù)學(xué)關(guān)系。它幫助學(xué)生邏輯地推理，解決各種問(wèn)題，常規(guī)的和非常規(guī)的問(wèn)題。數(shù)學(xué)能力要求學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)方法閱讀文獻(xiàn)，能夠用口頭和書(shū)面的形式表達(dá)數(shù)量的和邏輯的分析。
數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生能夠在他的職業(yè)和日常生活中使用數(shù)學(xué)。他們將是數(shù)學(xué)思想的明智使用者，接受或者拒絕表面上有數(shù)學(xué)論證的主張，他們將會(huì)數(shù)學(xué)地看事情，知道什么時(shí)候數(shù)學(xué)的分析有助于解釋清問(wèn)題。他們將有充分的數(shù)學(xué)知識(shí)去擇業(yè)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)要求精通數(shù)學(xué)的學(xué)科
。
數(shù)學(xué)能力不包括交流數(shù)學(xué)的才能。除了知道如何解決問(wèn)題以外，學(xué)生還必須會(huì)閱讀并理解數(shù)學(xué)課本并且會(huì)口頭和書(shū)面地把數(shù)學(xué)研究和問(wèn)題解決的結(jié)果向別人表達(dá)。所以，數(shù)學(xué)課程必須提供適當(dāng)?shù)那榫�，讓學(xué)生能夠?qū)W習(xí)讀數(shù)學(xué)、寫(xiě)數(shù)學(xué)、說(shuō)數(shù)學(xué)。
原則2：數(shù)學(xué)課程從始至終都應(yīng)當(dāng)使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)
學(xué)生只有把數(shù)學(xué)看成配稱現(xiàn)代的科目才能獲得數(shù)學(xué)能力。新課程教材必須設(shè)計(jì)得能從 科學(xué)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展預(yù)期不斷改革。在數(shù)學(xué)中，不積極參與數(shù)學(xué)的交際活動(dòng)過(guò)程（猜想與爭(zhēng)論、探索和推理、問(wèn)題提出和解決、計(jì)算和檢驗(yàn)），一般不可能達(dá)到理解。計(jì)算器功能像“快筆”，所以能夠使數(shù)學(xué)過(guò)程比用紙筆更有用、更有效率。同樣，計(jì)算機(jī)能使學(xué)生算得快、畫(huà)得快，快速地模似過(guò)程，使用其他任何手段是難以作到的。所以使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的教學(xué)比傳統(tǒng)教學(xué)更有潛力，更能使學(xué)生獲得深刻的理解。
原則3：恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用應(yīng)當(dāng)是課程有的機(jī)組成部分
學(xué)生需要在自然地產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想 的情境——從簡(jiǎn)單的計(jì)算和度量到商業(yè)和科學(xué)中的應(yīng)用——中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想。計(jì)算器和計(jì)算機(jī)使得在課程中能夠引進(jìn)實(shí)際應(yīng)用。
一項(xiàng)應(yīng)用是否恰當(dāng)重要的標(biāo)準(zhǔn)是看它是否能引起學(xué)生興趣。是否是激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維，有吸引力的應(yīng)用應(yīng)當(dāng)取自兒童生活的世界，取自社會(huì)事件，或課程的其他部分，不僅取自自然科學(xué)，也要取自商業(yè)、地理、藝術(shù)和其他科目。
教學(xué)的基本目的應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)在反映實(shí)際應(yīng)用的情境中使用數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)思想總是應(yīng)當(dāng)在有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)的情境中呈現(xiàn)和發(fā)展。
原則4：課程的每一部分都應(yīng)當(dāng)由其本身的價(jià)值來(lái)證明其必要性。
數(shù)學(xué)提供了如此豐富、大量有趣、有用的思想，以至難以挑選。然而，課程中不能僅僅因?yàn)楝F(xiàn)在已經(jīng)有了的概念或技能就應(yīng)當(dāng)保留。雖然在現(xiàn)在的課程中有許多是有效的，但是我們不能再把“課程中已經(jīng)有了”作為這個(gè)課題應(yīng)當(dāng)保留的主要理由。我們需要“從零開(kāi)始”，沒(méi)有一個(gè)思想不作仔細(xì)考查。
修訂課程不應(yīng)當(dāng)只是增加更多的課題，而是確立重點(diǎn)，有些重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)取消，有消增加，有些保留。甚至對(duì)于確實(shí)要保留的重要重點(diǎn)，現(xiàn)代應(yīng)用或現(xiàn)代技術(shù)可以作十分不同的處理。常常一種新穎的處理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。 原則5：課程的選材應(yīng)當(dāng)和中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化標(biāo)準(zhǔn)相一致。
新的“中小學(xué)數(shù)學(xué)課程和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（NCTM，1989）提供了一類(lèi)課程標(biāo)準(zhǔn)的范例，應(yīng)當(dāng)用來(lái)作評(píng)定中小學(xué)數(shù)學(xué)課題的價(jià)值的標(biāo)準(zhǔn)。課程的選材應(yīng)當(dāng)和這些課程標(biāo)準(zhǔn)相一致，改革的步子如此巨大，甚至現(xiàn)在的課程指南未適應(yīng)明天的需要。課程改革要求持續(xù)地努力，植限于學(xué)校的現(xiàn)實(shí)，目標(biāo)堅(jiān)定地指向未來(lái)。
原則6：各級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)都應(yīng)當(dāng)促進(jìn)學(xué)生積極參與
恰當(dāng)使用新技術(shù)要求有新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，使學(xué)生成為更積極的學(xué)習(xí)者。除了使用新技術(shù)之外，關(guān)于學(xué)生如何學(xué)習(xí)的研究提出了更多教數(shù)學(xué)的有效 方法。數(shù)學(xué)教學(xué)必須適應(yīng)這兩方面的發(fā)展，大多數(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)不再適于傳統(tǒng)的老師教學(xué)生被動(dòng)地聽(tīng)的模式。
沒(méi)有單獨(dú)的一種教學(xué)方法。也沒(méi)有單獨(dú)的一類(lèi)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌虬l(fā)展各種數(shù)學(xué)能力。需要的是各種活動(dòng)，包括學(xué)生之間的討論，實(shí)習(xí)作業(yè)，重要技術(shù)的實(shí)踐。問(wèn)題解決，日常的應(yīng)用，調(diào)研工作，以及教師講解。
教師應(yīng)當(dāng)是催化劑，他幫助學(xué)生學(xué)會(huì)自己思考，他們不應(yīng)當(dāng)只扮演教育者，其作用只是告訴學(xué)生“正確方法”。此外，課堂活動(dòng)應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供充分的機(jī)會(huì)用書(shū)面和口頭的數(shù)學(xué)語(yǔ)言彼此交流。
一個(gè)有用的比喻是，教師是一個(gè)明智的輔導(dǎo)員，不同的時(shí)間，要求教師充當(dāng)以下不同角色：
模特兒角色，他不僅演示正確途徑，而且也演示錯(cuò)誤的開(kāi)端和高級(jí)思維技能，引導(dǎo)去解決問(wèn)題；
顧問(wèn)，他幫助個(gè)人、小組、全班決定他們的工作是否保持了主題，進(jìn)展得是否合理；
仲裁人，他提出總是讓學(xué)生考慮，但把決定留給全班去做；
對(duì)話者，他支持學(xué)生在班上發(fā)表意見(jiàn)，鼓勵(lì)他們靠自己的活動(dòng)去做出反應(yīng)，靠自己去探索數(shù)學(xué)；
詢問(wèn)者，他鞭策學(xué)生弄清他們做什么才是合理的、有目的的，使學(xué)生確信他們能夠捍衛(wèi)自己的結(jié)論。（未完，待續(xù)）
4、新數(shù)學(xué)課程目的
數(shù)學(xué)教學(xué)有幾個(gè)非常不同的目的，它們是數(shù)學(xué)在社會(huì)中的作用的反映。它們是：
實(shí)用目的：幫助個(gè)人解決日常生活問(wèn)題。
公民目的：使公民能夠明智地參加公民事務(wù)。
職業(yè)目的：為學(xué)生找工作、就業(yè)、或?qū)W業(yè)備作準(zhǔn)備。
文化目的：傳遞人類(lèi)文化的主要因素。
為達(dá)到這些目的所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)在二十世紀(jì)已有了巨大變化。以后還將比以前變得更快。前面在討論條件的重要變化時(shí)已涉及，這里不再贅述。
這里要談的目的是前面的一般原則的具體化。它們可以為新的數(shù)學(xué)課程提供一個(gè)構(gòu)造性的框架。
第一，小學(xué)數(shù)學(xué)的基本目的是發(fā)展數(shù)的意識(shí)(Number Sense)
學(xué)生用數(shù)值住處去有效地說(shuō)理的能力要求有以下的體驗(yàn)：
表達(dá)——用數(shù)表達(dá)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的能力。
操作——熟練一位新的算術(shù)；決定適當(dāng)?shù)乃阈g(shù)程序的能力；熟練估算；選擇適當(dāng)方法進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)。
解釋——從數(shù)據(jù)中抽取結(jié)論的能力和為了準(zhǔn)確性和合理性去檢驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)論的能力。
小學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)使用具體材料、計(jì)算機(jī)軟件和計(jì)算器。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)心算，特別是估算多位數(shù)計(jì)算和結(jié)果，同時(shí)應(yīng)當(dāng)大大削減教多位數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的傳統(tǒng)筆算方法的時(shí)間。用這種觀點(diǎn)處理算術(shù)的小學(xué)課程將同今天教的普通算術(shù)顯著不同。今天的小學(xué)數(shù)學(xué)的中心任務(wù)是發(fā)展整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的各種運(yùn)算的手工技巧。要根本改革教學(xué)，不再?gòu)?qiáng)調(diào)這些課題，而增加說(shuō)理、發(fā)現(xiàn)模式、辨明正確程序以及抽取結(jié)論的機(jī)會(huì)，這樣安排著重點(diǎn)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程會(huì)使數(shù)量推理的水準(zhǔn)獲得驚人的進(jìn)步。 第二，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)打好一切方面的基礎(chǔ)
如果學(xué)生為就業(yè)和日常生活作更好的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，小學(xué)數(shù)學(xué)就必須包括比算術(shù)更多的科目：
幾何，包含二維、三維對(duì)象的性質(zhì)，對(duì)稱和全等，幾何圖形的作圖和幾何圖形的變換；
度量，包括度量單位，報(bào)時(shí)，量溫，算錢(qián)；
數(shù)據(jù)分析，包括搜集、整理、表示和解釋數(shù)據(jù)；制作統(tǒng)計(jì)圖表；以及用數(shù)據(jù)去作分析和預(yù)測(cè)；
概率，介紹簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)搜集；
離散數(shù)學(xué)，包括基礎(chǔ)組合思想和用圖作問(wèn)題模型。
每個(gè)這樣的課題都能夠起到使小學(xué)數(shù)學(xué)課程更有趣、更適合學(xué)生的顯著作用。幾何提供了看物理世界的明顯窗戶，現(xiàn)在通過(guò)計(jì)算機(jī)畫(huà)圖更提高了明顯程度，在數(shù)學(xué)里和
在生活中一樣，一圖值千言，度量即使很年輕的兒童也能提供有意義的應(yīng)用。并加強(qiáng)數(shù)的概念。數(shù)據(jù)分析提供了有趣、合適的問(wèn)題的源泉，概率也如此，它還能和熟悉的游戲聯(lián)系。代數(shù)的一些概念能把學(xué)生引向簡(jiǎn)單的抽象，而離散數(shù)學(xué)提供一些課題，使數(shù)學(xué)能與許多領(lǐng)域聯(lián)系，特別是和計(jì)算機(jī)聯(lián)系。 另外，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是綜合的，使得不同領(lǐng)域間的關(guān)系得以領(lǐng)悟和加強(qiáng)。比如，教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)算術(shù)在幾何和概率中的應(yīng)用，以及幾何概念在數(shù)據(jù)表示中的使用。
第三，在一切教學(xué)和評(píng)估中都應(yīng)當(dāng)使用計(jì)算器
計(jì)算器在學(xué)校數(shù)學(xué)中從幼 兒園開(kāi)始就應(yīng)當(dāng)作為設(shè)備使用。兒童用來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系和解決問(wèn)題。把大多數(shù)紙筆計(jì)算訓(xùn)練換成用計(jì)算器的教學(xué)本身不是萬(wàn)應(yīng)藥。不動(dòng)腦子的訓(xùn)練用紙筆和用計(jì)算器是一樣的，但是用計(jì)算器可以讓學(xué)生進(jìn)行加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和探索的活動(dòng)。用紙筆計(jì)算是作不到的。
學(xué)會(huì)什么時(shí)候如何使用加減乘除對(duì)學(xué)生總是重要的。但是標(biāo)準(zhǔn)算法的反復(fù)訓(xùn)練并不顯然會(huì)導(dǎo)致理解。數(shù)學(xué)教師必須利用計(jì)算器教學(xué)的好處作為工具去幫助學(xué)生獲得理解。
第四，學(xué)生應(yīng)當(dāng)使用現(xiàn)實(shí)事物和現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
觀察對(duì)數(shù)學(xué)和對(duì)科學(xué)一樣是基本的。兒童學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)和算術(shù)時(shí)需要擺弄現(xiàn)實(shí)的東西。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兒童要發(fā)展長(zhǎng)度、面積、體積和形狀的正確直覺(jué)必須畫(huà)、切、折、注、量。
各年齡段的學(xué)生都必須經(jīng)常探索學(xué)校數(shù)學(xué)中學(xué)到的比較原始的模式間和紊亂的現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際資料數(shù)據(jù)間 的關(guān)系�，F(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)比編造的更可信，搜集數(shù)據(jù)的行為，不管是測(cè)量的、數(shù)出的、民意測(cè)驗(yàn)的、實(shí)驗(yàn)的，不是計(jì)算機(jī)模擬的數(shù)據(jù)，可以豐富兒童的學(xué)習(xí)活動(dòng)。而且度量出的數(shù)據(jù)和計(jì)算出的數(shù)據(jù)之間，即實(shí)驗(yàn)的和理論的數(shù)據(jù)之間的不可避免的交流會(huì)獲得數(shù)學(xué)的完整科學(xué)。 第五，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)實(shí)踐的數(shù)學(xué)能力
如果說(shuō)教學(xué)是要給學(xué)生數(shù)學(xué)能力，那么在各年級(jí)都必須始終強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決。學(xué)生需要領(lǐng)會(huì)比教材本身更多的數(shù)學(xué)。事實(shí)上，推理訓(xùn)練能使他們接觸并解決日益增加難度和復(fù)雜程度的問(wèn)題。在整個(gè)課程中重要的是強(qiáng)調(diào)問(wèn)題而不僅是練習(xí)。
擴(kuò)充小學(xué)數(shù)學(xué)課程有個(gè)重要涵義是進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)。中學(xué)各年級(jí)不應(yīng)當(dāng)看成鞏固的時(shí)間或者暫停歇息的時(shí)間 ，而應(yīng)看成兒童的數(shù)學(xué)發(fā)展的基本部分。中心應(yīng)當(dāng)是日常生活的數(shù)學(xué)，一個(gè)富有激發(fā)性的主題，它會(huì)自然地導(dǎo)出許多重要的數(shù)學(xué)課題（如數(shù)據(jù)分析、幾何度量、利率、與電子數(shù)據(jù)表分析(Spreadsheet analysis)。理解小學(xué)數(shù)學(xué)的概念對(duì)學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)是根本的；然而，手算的熟練程度不應(yīng)當(dāng)再作為評(píng)定學(xué)生為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備程度的標(biāo)準(zhǔn)。
第六，學(xué)校數(shù)學(xué)與其他科目應(yīng)當(dāng)相互加強(qiáng)
數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)因許多與科學(xué)有關(guān)，在學(xué)校里數(shù)學(xué)和它的任何應(yīng)用之間不有可貴的純樸的聯(lián)系。數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了自然科學(xué)，擴(kuò)展到事業(yè)、社會(huì)科學(xué)、地理、和各種職業(yè)及商貿(mào)領(lǐng)域。兒童能夠在探索的情境中學(xué)到很多數(shù)學(xué)。高中學(xué)生需要在自己的數(shù)學(xué)課上體驗(yàn)應(yīng)用。同樣在其他課上使用數(shù)學(xué)。
因?yàn)閿?shù)學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言和模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)和科學(xué)之間的特殊聯(lián)系遠(yuǎn)比理論和應(yīng)用之間的聯(lián)系多。數(shù)學(xué)探究的方法和科學(xué)方法都集中注意探索、調(diào)研、猜想、證明、推理�？茖W(xué)與數(shù)學(xué)之間的學(xué)校這條紐帶應(yīng)當(dāng)特別幫助加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)領(lǐng)域的掌握。
第七，中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要目的應(yīng)當(dāng)是發(fā)展符號(hào)意識(shí)(Symbol Sense)
小學(xué)過(guò)渡到中學(xué)特征是從具體對(duì)象轉(zhuǎn)到抽象符號(hào)。發(fā)展順暢使用符號(hào)和其他抽象名稱（可能是幾何的、代數(shù)的、或算法的）的能力必須是中學(xué)數(shù)學(xué)的中心目的，學(xué)生有效使用符號(hào)去推理的能力要求有以下的體驗(yàn)：
表達(dá)——用符號(hào)形式表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題并在關(guān)系、式子、和方程中使用這些符號(hào)表達(dá)式的能力；
操作——確定適當(dāng)?shù)姆?hào)程序和選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q用符號(hào)形式表達(dá)的問(wèn)題的能力；
解釋——用符號(hào)系統(tǒng)推理得出結(jié)論并檢驗(yàn)這些結(jié)果的準(zhǔn)確性和合理性的能力。
當(dāng)然計(jì)算器和計(jì)算機(jī)在發(fā)展符號(hào)意識(shí)中起著重要作用。因?yàn)閺?qiáng)有力的計(jì)算器將恰像影響算術(shù)如何做一樣深刻影響符號(hào)操作。在中學(xué)目前強(qiáng)調(diào)操作技能需要改成大大強(qiáng)調(diào)理解和問(wèn)題解決。新技術(shù)對(duì)中學(xué)課程的影響無(wú)疑將是發(fā)展高經(jīng)軟件使學(xué)生能夠去發(fā)現(xiàn)模式而不僅僅是符號(hào)操作。
第八，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)引進(jìn)整套數(shù)學(xué)科學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)必須為就業(yè)、升學(xué)和作公民給學(xué)生作好準(zhǔn)備，要達(dá)到這些目標(biāo)，課程性質(zhì)包括充分反映數(shù)學(xué)科學(xué)威力的廣泛的課題：
代數(shù)，包括一般算法和各類(lèi)函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)）。
幾何，包括變換幾何、向量幾何、立體幾何和解析幾何。
數(shù)據(jù)分析，包括不確定性的度量、概率和抽樣分布、以及推理論證。
離散數(shù)學(xué)，包括組合論、圖論、遞推關(guān)系、遞歸——都要強(qiáng)調(diào)算法思想。
最優(yōu)化，包括數(shù)學(xué)建模，“如果……會(huì)怎樣”（What if）分析、系統(tǒng)思想和網(wǎng)絡(luò)流程圖(Network flows)。
強(qiáng)調(diào)計(jì)算機(jī)條件下的一般算法會(huì)使代數(shù)和三角更有趣。盡管幾何作為一個(gè)科目有使人厭煩的壞名聲，但是由于它的與物理世界的聯(lián)系，它總是一門(mén)有很大興趣的科目。數(shù)據(jù)分析與離散數(shù)學(xué)和最優(yōu)化一樣能夠很容易同有趣的、有意義的應(yīng)用聯(lián)系。
數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的是闡明這門(mén)科目的統(tǒng)一性和完整性。例如，分形幾何(Fractal geometry)高中學(xué)生是十分能夠接受的并且包含代數(shù)、幾何和離散數(shù)學(xué)的一些方面。還提供了計(jì)算機(jī)的誘人使用。數(shù)據(jù)分析直接導(dǎo)致代數(shù)和幾何方法，而代數(shù)和幾何本身又結(jié)合成解析幾何。這些把一個(gè)課題和其他課題聯(lián)系起來(lái)的紐帶常常和這些課題本身一樣重要。
第九，學(xué)生應(yīng)當(dāng)領(lǐng)悟，在數(shù)學(xué)中推理得真理的標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)會(huì)理解和建立邏輯的、首尾一貫的數(shù)學(xué)誰(shuí)是學(xué)校數(shù)學(xué)的主要目的，然而，歐幾里得幾何不是教學(xué)生推理的唯一載體，代數(shù)和離散數(shù)學(xué)都為誰(shuí)提供了很好的機(jī)會(huì)；甚至流程圖和電子數(shù)據(jù)表也能用來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)論證的邏輯性質(zhì)。
比熟練形式證明更加重要的是從各種基本例子中理解數(shù)學(xué)真理是邏輯的不單純是經(jīng)驗(yàn)的。少年兒童能夠從算術(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)中發(fā)展邏輯意識(shí)。一旦理解了符號(hào)，許多基本思想就可以證明，常�？梢杂酶鞣N方法來(lái)證明。代數(shù)結(jié)果的幾何證明（例如，畢達(dá)哥拉斯公式用重組正方形的方法展示）常常特別使學(xué)生信服。
第十，所有學(xué)生在校期間每年都應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)在所有學(xué)生而不僅是升學(xué)的教育中發(fā)揮重要作用。核心的中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)所有學(xué)生基本上應(yīng)當(dāng)是一樣的，盡管表述的深度上可以不同。核心以外的擴(kuò)充自然是不同的，要估計(jì)到學(xué)生的不同志向和可能的進(jìn)一步教育。學(xué)生能夠?qū)W會(huì)去應(yīng)用數(shù)學(xué)。他們的確常常能夠在與數(shù)學(xué)有聯(lián)系的學(xué)科（如自然科學(xué)、地理、商業(yè)）中學(xué)到新的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)和
語(yǔ)文一樣是一門(mén)應(yīng)當(dāng)“跨課程”來(lái)教的科目。
5、新數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中的幾個(gè)問(wèn)題 第一，關(guān)于教學(xué)內(nèi)容
60年代 “新數(shù)”運(yùn)動(dòng)后，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容包含了代數(shù)、幾何、分析加上一點(diǎn)在力學(xué)上的應(yīng)用、統(tǒng)計(jì)和概率。1986年在討論“九十年代學(xué)校數(shù)學(xué)”的ICMI Kuwoait會(huì)上把代數(shù)看作仍然“在中學(xué)課程中占中心的重要地位”，“ 然而，重要的事情濁讓學(xué)生掌握操作技能（如多項(xiàng)式運(yùn)算）而是教學(xué)生把代數(shù)看作解決問(wèn)題的自然工具”。有的國(guó)家取消了歐氏幾何，感到后悔，因?yàn)椤按罅繌氖驴萍脊ぷ鞯娜诵枰莆辗浅?yán)格的邏輯性或數(shù)學(xué)性的陳述”。沒(méi)有取消的仍然堅(jiān)持，因?yàn)閹缀斡欣诩ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為以后的學(xué)習(xí)和工作作準(zhǔn)備。Kuwoait 會(huì)建議的課程內(nèi)容，改革以微積分占優(yōu)勢(shì)的狀況，引進(jìn)與計(jì)算機(jī)科學(xué)有關(guān)聯(lián)的離散數(shù)學(xué)的概念，此外，還包括了那些由于有了計(jì)算機(jī)而可能搬上課堂的內(nèi)容，如數(shù)據(jù)分析，這些都是計(jì)算機(jī)發(fā)展帶來(lái)的影響。這里再補(bǔ)充三點(diǎn)：一是算法得到重新強(qiáng)調(diào)，并且要比較解決同一問(wèn)題的不同算法的效率；二是符號(hào)操作；三是離散數(shù)學(xué)，對(duì)于程序設(shè)計(jì)的價(jià)值的看法有分歧，一方面看到，在填寫(xiě)程序中許多是純技術(shù)性的工作；另一方面，有一些重要的研究表明，在程序設(shè)計(jì)中的認(rèn)知活動(dòng)可以起到概念化的輔助作用，這個(gè)問(wèn)題需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究來(lái)解決。
教學(xué)內(nèi)容中的另一個(gè)問(wèn)題是“為大眾的數(shù)學(xué)”的研究。６０年代的“新數(shù)”主要是為了加強(qiáng)“中小學(xué)數(shù)學(xué)”與“高等數(shù)學(xué)”之間的聯(lián)系；現(xiàn)在在大力研究中把中小學(xué)數(shù)學(xué)同“民族數(shù)學(xué)”聯(lián)系起來(lái)，搞面向大眾的“為大眾的數(shù)學(xué)”的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)從1984年到現(xiàn)在已經(jīng)十年了，要回答的一個(gè)主要問(wèn)題是“數(shù)學(xué)是否應(yīng)該保持在為大眾的中小學(xué)課程中的核心地位？”可能有四種選擇：一是否定回答，對(duì)每個(gè)人不能都教“純數(shù)學(xué)”；二是肯定回答，但必須設(shè)計(jì)好；三是肯定回答，但未必所有人都學(xué)懂；四也是肯定回答，但要設(shè)計(jì)區(qū)分的課程，對(duì)不同水平的學(xué)生區(qū)別對(duì)待。前面講的七個(gè)轉(zhuǎn)變中認(rèn)為目標(biāo)不能降低，可以通過(guò)教法和進(jìn)度來(lái)區(qū)別。 第二，關(guān)于課程的結(jié)構(gòu)
課程改革不僅是內(nèi)容問(wèn)題，還有課程的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，即要回答“如何構(gòu)建課程才能不僅易學(xué)，而且符合教學(xué)目標(biāo)？”只學(xué)“結(jié)果”呢，不是要學(xué)“過(guò)程？”現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)“知識(shí)何來(lái)”，也就是學(xué)“過(guò)程”。數(shù)學(xué)課程應(yīng)該以數(shù)學(xué)過(guò)程為基礎(chǔ)，而不是像現(xiàn)在這樣以學(xué)科內(nèi)容為基礎(chǔ)來(lái)重新編制。數(shù)學(xué)是一組過(guò)程。學(xué)校的任務(wù)是幫助學(xué)生去“數(shù)學(xué)化”，那么，不僅是確定哪些數(shù)學(xué)課題對(duì)于中學(xué)生是必不可少的，而且重要的任務(wù)是選擇哪些過(guò)程可能會(huì)更好地為提高公民素質(zhì)服務(wù)，以及什么學(xué)校實(shí)踐可能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這些過(guò)程。
在一個(gè)計(jì)算機(jī)化的社會(huì)里，這些過(guò)程應(yīng)包括：比較、分類(lèi)、排序、抽象、符號(hào)化、一般化、…等等，所有這些都可以歸入“數(shù)學(xué)化”這個(gè)術(shù)語(yǔ)之中，如何才能發(fā)展數(shù)學(xué)化的功能呢？“過(guò)程”能夠作為數(shù)學(xué)課程建構(gòu)的實(shí)際可能的基礎(chǔ)嗎？等等仍然是研究的課題。
第三，重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用
近年來(lái)，對(duì)于“應(yīng)用”，對(duì)于使數(shù)學(xué)教學(xué)“貼近”實(shí)際，對(duì)于“數(shù)學(xué)模型”的教學(xué)，已經(jīng)有許多談?wù)�，事�?shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)歷史上總是具有很強(qiáng)的職業(yè)的成份；只能隨著中學(xué)和大學(xué)的學(xué)院化，數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系才被忽視，但是教“應(yīng)用”和使用“現(xiàn)實(shí)生活”例子的問(wèn)題仍有待研究�！皯�(yīng)用”在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以有許多解釋，有些人為的非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教育價(jià)值，也可能養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定，還有一類(lèi)傳統(tǒng)的例子是過(guò)份“現(xiàn)實(shí)”的，是直接從職業(yè)中拿出來(lái)的，如薄記、稅收、聯(lián)系特殊地方工業(yè)的數(shù)學(xué)，如“三機(jī)一泵”這樣的現(xiàn)實(shí)例子，這就有一個(gè)“誰(shuí)的現(xiàn)實(shí)”的問(wèn)題。這些例子只是社會(huì)的一些特殊需要，不足取�！退闩懦诉@類(lèi)實(shí)例，還會(huì)有多種形式體現(xiàn)“應(yīng)用”。比如，“守門(mén)員如何站位才能縮小對(duì)手的射角？”、“攻球員應(yīng)當(dāng)把球帶到離球門(mén)多遠(yuǎn)處，他的射球位置能取得最大射角？”這些問(wèn)題把數(shù)學(xué)與實(shí)際情境聯(lián)系在一起，對(duì)有些學(xué)生有吸引力，但并不是真用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，沒(méi)有哪個(gè)球員會(huì)這樣去計(jì)算他們站立的位置，數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要不在于這樣的“應(yīng)用”。更重要的是，這種“聯(lián)系”不可能總是結(jié)合學(xué)生“實(shí)際的”，正如Carson說(shuō)的，“現(xiàn)實(shí)是主體和時(shí)間的函數(shù)，對(duì)我是現(xiàn)實(shí)的，對(duì)別人未必是現(xiàn)實(shí)的；在過(guò)去是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實(shí)的了�！笨梢�(jiàn)要使課程有“應(yīng)用”性是既復(fù)雜、又長(zhǎng)期的問(wèn)題。
前面說(shuō)的都是用來(lái)為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的“現(xiàn)實(shí)”例子，當(dāng)數(shù)學(xué)用來(lái)為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時(shí)，情況就完全不同了，它是完全不同的一類(lèi)例子，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟悉的社會(huì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，這種問(wèn)題不僅有社會(huì)意義，而且不局限于數(shù)學(xué)一科，不要用到學(xué)生多方面的知識(shí)。 加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用，是教育傳統(tǒng)中長(zhǎng)期持續(xù)的工作，1918年Kilpatrick講的“在社會(huì)環(huán)境中有目的的活動(dòng)”運(yùn)用“設(shè)計(jì)”、“興趣中心”來(lái)激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，即所謂“設(shè)計(jì)教學(xué)”法，這是老例子，但也有一些新例子。
現(xiàn)在有一種愿望：在中小學(xué)引進(jìn)跨學(xué)科的，以社會(huì)為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)工作，在這種設(shè)計(jì)工作中，學(xué)生會(huì)看到數(shù)學(xué)如何才能夠應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問(wèn)題上去，并且可望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，會(huì)自然地產(chǎn)生建立“數(shù)學(xué)模型”的機(jī)會(huì)，實(shí)際上關(guān)于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)包括了各種水平的活動(dòng)�，F(xiàn)在有必要研究許多模型，明確“數(shù)學(xué)建�！钡拇_切意圖。2000年的一個(gè)重大挑戰(zhàn)不僅是提供在學(xué)校能夠?qū)W的應(yīng)用的實(shí)例，而且是更深入地研究各種類(lèi)型應(yīng)用的教育目的和正確性，所以學(xué)生如何運(yùn)用數(shù)學(xué)必定是九十年代一個(gè)主要目標(biāo)。這里有三種可能的選擇：第一，在數(shù)學(xué)課內(nèi)的應(yīng)用，這種應(yīng)用可以直接引起動(dòng)機(jī)，要求學(xué)生具有數(shù)學(xué)以外的知識(shí)；第二，數(shù)學(xué)應(yīng)用于其他課內(nèi)；第三，數(shù)學(xué)應(yīng)用于跨學(xué)科的設(shè)計(jì)（項(xiàng)目）中，這項(xiàng)工作在未來(lái)的年代中是值得認(rèn)真探討的開(kāi)發(fā)性的工作。
第四，關(guān)于問(wèn)題解決
問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教育改革的熱門(mén)話題，范圍也在日益擴(kuò)大，日本已把問(wèn)題解決納入指導(dǎo)要領(lǐng)（教學(xué)大綱）。美國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)。仍把問(wèn)題解決作為“一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的組成部分，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)課程的核心”，整個(gè)數(shù)學(xué)課程要圍繞問(wèn)題解決展開(kāi)。英國(guó)也是把問(wèn)題解決作為一種教學(xué)模式、數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想來(lái)對(duì)待的。而對(duì)文化壓力的增長(zhǎng)和新技術(shù)的挑戰(zhàn)更加顯得問(wèn)題解決的重要。認(rèn)為要通過(guò)教育中的更大的問(wèn)題解決的方法去開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力。來(lái)回答迅猛的技術(shù)革命的問(wèn)題，這里的原則是：如果我們不能預(yù)測(cè)明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武裝下一代去面對(duì)的新的挑戰(zhàn)。當(dāng)然不能低估實(shí)現(xiàn)這種措施的困難。和60年代的“新數(shù)”不同，“新數(shù)”至少有大學(xué)訓(xùn)練的教師是了解其內(nèi)容的，而問(wèn)題解決除了少數(shù)人外，對(duì)絕大多數(shù)人都是全新的。 荷蘭在1981-1985年間為文科開(kāi)發(fā)了一套新的16-19歲的數(shù)學(xué)課程，對(duì)數(shù)學(xué)作了現(xiàn)實(shí)主義的處理。現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題在把它們數(shù)學(xué)化之前，先直觀地考察，進(jìn)行數(shù)學(xué)化，變成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。這和“新數(shù)”的結(jié)構(gòu)主義的處理恰成鮮明對(duì)照。
有些建議，通過(guò)數(shù)學(xué)建模把更多的問(wèn)題解決因素引進(jìn)高中數(shù)學(xué)：
“我們確實(shí)要學(xué)生能夠把他們的數(shù)學(xué)技能用到實(shí)踐中去，而且只有通過(guò)活躍的問(wèn)題解決他們才能做到這一點(diǎn)，問(wèn)
題可以是現(xiàn)實(shí)的或者純數(shù)學(xué)的，統(tǒng)一它們的是，它們給學(xué)生以機(jī)會(huì)去： 應(yīng)用他們的數(shù)學(xué)技能；小組活動(dòng)；表現(xiàn)創(chuàng)造性、想像力、革新精神、批判性；激勵(lì)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
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