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中德兩國小學數(shù)學教材比較研究
【１９９０年，筆者曾在德國巴伐利亞州進修。在進修期間完成了《中德兩國小學數(shù)學教材比較研究》一 文。１９９１年，該文發(fā)表在德國雜志《教育世界》第９期上。德國巴伐利亞州的小學學制四年，為了具有可 比性，因此只是對兩國１—４年級的數(shù)學教材進行了比較。選取的教材是：德國巴伐利亞州一套現(xiàn)行小學數(shù)學 教材《想與算》和我國的四省市《數(shù)學》教材。本文在德文原文的基礎上，結合近幾年的學習體會進行了充實 和修改�！�教材在教學中具有十分重要的作用，這是顯然的事實。在從一綱一本到一綱多本、多綱多本變遷的今在， 我們不但十分有必要研究國內各套教材的優(yōu)缺點，而且還有必要研究國外教材與我們的差異，以便取長補短。 本文試圖對中德兩國小學數(shù)學教材的編排體系和特點從宏觀和微觀兩個角度作一比較。
一、教材編排體系的宏觀比較
所謂宏觀比較，是指對教材選取的總體教學內容、教材結構和編寫特點加以比較。一套數(shù)學教材選取的教 學內容及其編排順序，體現(xiàn)了編者對學生的要求和對學生認知能力的研究水平。（兩國１—４年級的教學內容 和教材編排順序表附在下頁）
附：中德兩國１—４年級的教學內容和教材編排順序表
閱讀了兩國的教材可以看到：
１．德國教材的內容少，我國教材的知識點多。德國小學四年數(shù)學教學內容相當于我國三年的內容。
編者在選取小學數(shù)學的教學內容時，主要考慮所取內容的必要性和學生的可接受性，同時也考慮整個義務 教育階段（中小學）數(shù)學教學的體系。德國教材在小學四年中安排的內容少，說明他們對學生所學“知識點” 上的要求比較低。由于教學內容比較少，所以在每節(jié)課中所教學的知識點也少，這樣對知識的發(fā)生過程就有可 能得到較充分的強調，這是它的優(yōu)點。但對于一部分智力相對比較好的學生來說，他們在同樣的時間內可以學 習更多的內容，而由于教材內容少，因而會產生浪費時間的現(xiàn)象。我國教材的知識點多，對于智力較好的學生 來說，可以學到更多的內容，而對于學習有困難的學生來說，常常會覺得要求過高。從兩國教材內容多少的比 較中，給我們的啟示是：要加大我國教材的“彈性”，對于不同的學生，應該有不同層次的要求。
２．我國教材結構嚴謹，德國教材結構相對松散。
數(shù)學具有嚴密的邏輯性，因此，數(shù)學教材的編寫常常要考慮數(shù)學知識本身的結構，從而讓學生在學習數(shù)學 時，體會到數(shù)學的這種嚴密性。正因為如此，我國的數(shù)學教材在編寫時，十分注重內容結構的嚴謹，常常用標 準的數(shù)學術語陳述數(shù)學內容，對概念常常給出完整的和相當嚴密的定義。相比之下，德國教材顯得相對松散， 教材中出現(xiàn)的數(shù)學概念、命題大多采用描述性的語言，使用數(shù)學術語較少，例如，在１—４年級的教材中都沒 有出現(xiàn)：加數(shù)、和；被減數(shù)、減數(shù)、差等數(shù)學術語。又如德國教材中的應用題沒有單獨列章節(jié)，也沒有比較嚴 格地按計算步數(shù)多少來編排；我國教材中的應用題單獨列章節(jié)，而且比較嚴格地按照一步、兩步及多步復合應 用題的順序呈現(xiàn)。再如，我國教材在學生系統(tǒng)學習小數(shù)的四則運算以前，要先學分數(shù)的初步認識，然后再從十 進分數(shù)轉到小數(shù)，結構十分嚴謹；而德國教材在引進分數(shù)時，只說“像１．４、１２．８……這樣的數(shù)叫小數(shù) 。小數(shù)點就是把馬克和芬尼分開的小圓點�！比缓缶烷_始小數(shù)的運算。
我國教材的編寫注意知識結構的嚴密性，這對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和建立較完整的知識體系是有利的 。但如果教材過份強調嚴密，時時都要考慮數(shù)學知識本身的結構，那就不利于在教材中適當加強或滲透現(xiàn)代數(shù) 學知識。德國的教材比較松散、通俗，容易被學生接受和掌握。從兩國教材的結構比較中，給我們的啟示是： 我們應該適當?shù)仄瞥瓉淼摹皣烂堋笨蚣�，不受“嚴密”的束縛，把一個公民必須具備的現(xiàn)代數(shù)學知識和思想 編寫進小學數(shù)學教材中去。
３．德國教材重視知識的實際應用，我國教材重視知識的形式化操練。
（附圖 {圖}）
德國教材十分重視讓學生運用學到的數(shù)學知識去認識周圍世界，去解決實際問題。例如有關時間的計算， 教材中編寫了許多實際生活中的問題，在課本里印有一張奧格斯堡火車總站在９∶００—１２∶００之間的真 實火車時刻表。時刻表中有這樣一些信息：在９∶００—１２∶００這段時間里，從奧格斯堡火車總站發(fā)出的 各輛火車的車次、火車行駛方向、旅客上車的站臺號、沿途�？扛髡緯r間、到達終點站的時間等。根據(jù)這張時 刻表，要求學生解答類似于下面的一些問題：
①寫出在９∶００—１２∶００這段時間中，從奧格斯堡發(fā)出的去下列方向的所有火車車次；
ａ）去慕尼黑； ｂ）去紐倫堡。
②在９∶００—１２∶００這段時間里，乘哪幾次火車的旅客要從８號站臺上車？
③卡塔琳小姐在９∶２０到達奧格斯堡火車總站，她想去慕尼黑，可以乘哪幾次火車？最快的是哪一次？ 到達慕尼黑是幾時？從奧格斯堡到慕尼黑要多少時間？
有關看火車時刻表的問題中，這套教材里出了１３個大題，２９個小題，幾乎把日常生活中碰到的一些實 際問題都編進了教材。
德國教材中有關行程問題，一般先給學生一張火車的時速表，先要求學生讀出速度值，再計算。我國教材 中有關時間問題的計算，一般讓學生計算：上午９時到下午３時經(jīng)過多少時間？有關行程問題，常讓學生練習 “一列火車每小時行６０千米，行了９小時，共行多少路程”這樣的形式化操練題。
筆者認為，教材重視知識的實際應用，是十分必要的，是培養(yǎng)學生具有良好的數(shù)學素質的重要途徑。對數(shù) 學知識作適當?shù)男问交倬�，對于鞏固基礎知識，形成基本技能，提高實際應用能力是有益而無害的。但目前 我國有些教材過分注重形式化操練，而忽視了知識的實際應用，這是不足取的。德國教材中重視實際應用的做 法值得我們借鑒。
４．德國教材重視估算，我國教材估算內容相對較少。
在我們的日常生活中估算的次數(shù)常常比精確計算的次數(shù)多。因此，估算的掌握就顯得很重要。德國教材無 論在計算、應用題、量的計量等方面的教學中都十分重視估算。例如，在計算教學中常出現(xiàn)以下類型的試題：
題目 估算 精確計算 驗算
１７４×５０３
３８１４÷６１ 德國教材給出的應用題的解題步驟是：①仔細地讀題；②在重要的詞后的數(shù)下面劃線 ；③畫出草圖；④寫出解題計劃；⑤估算；⑥精確計算；⑦比較估算和精確計算的結果；⑧再讀一遍題目的問 題，作出答案。把估算作為解應用題的一個步驟，這也說明對估算教學的重視。
在量的計量教學中，德國教材不但要求學生估計長度、時間、重量、容積，而且要求估計商品的價格，例 如估計一輛自行車、一個書包的價格等。
我國教材通常在長度、時間、重量、容積等方面的教學中有估算的內容，但與德國教材相比，估算內容太 少。
我國教材注重精確計算，這對提高學生的計算能力有一定的好處。德國教材重視估算，能使學生從小具有 估算意識和較強的估算能力。從中給我們的啟示是：估算能力是公民應具有的一種基本數(shù)學素質，我們的教材 應該適當增加這方面的內容。
二、教材編排體系的微觀比較
這里的微觀比較指的是對教材中的某一具體教學內容的編排以及具體的計算方法的比較。對于同一數(shù)學知 識，常常有不同的編排順序，中德兩國教材在以下幾塊四則計算內容的編排和計算方法中存在差異：
１．２０以內數(shù)的進位加法和退位減法。
我國教材在編排２０以內數(shù)的進位加法和退位減法時，采用的是加減混編或加減分編。在加減混編中，常 采用９加幾和相應的減法，８加幾和相應的減法……的順序編寫；或者按和是１１的加法和相應的減法，和是 １２的加法和相應的減法……的順序編寫。在加減分編中，總是先加后減，加法的編排順序是９＋幾、８＋幾 、７＋幾、６＋幾。９＋幾的加法又是按９＋２、９＋３、……、９＋９的順序編排。８＋幾、７＋幾、６＋ 幾的加法編排順序與９＋幾相同。
德國教材采用加減分編，順序是６＋幾、７＋幾、８＋幾、９＋幾。在每一段加法的編排中，又分別是以 ６＋６，７＋７，８＋８，９＋９這些“對子數(shù)”相加作為開頭。具體順序如下： ６＋６＝１２ ７＋７＝１４ ８＋８＝１６ ９＋９＝１８ ６＋５＝ ７＋６＝ ８＋９＝ １０＋９＝ ６＋７＝ ７＋８＝ ８＋７＝ ８＋９＝ ５＋６＝ ６＋７＝ ９＋８＝ ９＋１０＝ ７＋６＝ ８＋７＝ ７＋８＝ ９＋８＝
在計算方法上，如６＋幾，當計算６＋６＝１２時，采用湊十法，其他幾題的計算以６＋６＝１２為依據(jù) ，分別推算出答案。如要算６＋５＝？思考過程為：因為６＋６＝１２，而５比６�。�，所以６＋５＝１１。 其余類推。德國教材在退位減法中，也分別以１２－６、１４－７、１６－８、１８－９作為每一段減法的開 頭。
筆者曾經(jīng)問德國數(shù)學教材的編者，為什么這樣編排？他的回答是：有實驗證明兩個相同的數(shù)相加最容易掌 握，教材這樣編排是為了貫徹由易到難的原則。中德兩國對２０以內數(shù)的進位加法和退位減法采用了不同的編 排體系，到底哪一種編排體系更有利于學生學習，有待實驗進一步證明。
２．多位數(shù)加減。
我國教材筆算加法起始于兩位數(shù)加兩位數(shù)不進位加法，常安排在一下年級教學；德國教材筆算加減法起始 于三位數(shù)加三位數(shù)不進位加法，安排在三年級。
德國三年級數(shù)學教材，在三位數(shù)加三位數(shù)的進位加法后，緊接著出現(xiàn)了三位數(shù)減三位數(shù)不退位筆算減法， 這也是他們筆算減法的開始。在我國現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中，筆算減法開始于兩位數(shù)減兩位數(shù)不退位減法，通 常安排在一下年級教學。在計算方法上，兩國之間存在著較大差異，德國采用“想加做減”的方法，他們把這 種方法稱為“補充法”。例如計算：
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計算這道題語言表達是：因為６個一加上１個一是７個一，所以在個位上寫１。十位、百位上的數(shù)相減的 表達方式與此類似。在退位減法中，當某一位上的數(shù)不夠減時，他們采用“被減數(shù)和減數(shù)都加同一個數(shù)”的辦 法。
例如計算：
（附圖 {圖}）
思考過程如下：因為找不到這樣一個數(shù)（在小學里），使得９加上這個數(shù)等于３，所以，被減數(shù)補充１０ 個一（１０寫在３的下面），減數(shù)補充１個十（１寫在６的下面）。補充的１０個一和原來個位上的３個一合 在一起是１３個一，即１３，而９＋４＝１３，所以，在差的個位上寫４。十位上的數(shù)的計算過程與個位上類 似。由上述計算可以看到，德國教材中做退位減法的基礎知識是：
①十進制位值原則；
②２０以內（包括１０以內）數(shù)的加法；
③“被減數(shù)和減數(shù)都加上同一個數(shù)，差不變”的性質。
我國現(xiàn)行教材中，做不退位減法時，一般采用“想減做減”的方法。在做退位減法時，采用“向高位去借 ”的辦法。做退位減法的主要基礎知識是：
①十進制位值原則；
②２０以內（包括１０以內）數(shù)的加、減法。
比較兩國的計算方法，筆者認為，我們的計算方法比德國的方法要優(yōu)越。我們的方法思考過程簡單，用到 的基礎知識少。有趣的是筆者給德國的小學生介紹了我們的計算方法，當他們掌握后，問他們喜歡哪一種方法 ，德國的小學生回答是喜歡他們自己的方法，這也可能是不同的民族有不同的習慣吧。
當然，如果運用他們的方法去計算“被減數(shù)中間或末尾有幾個零”的退位減法題，有其方便的一面，因為 它不會像我們的方法那樣產生“連續(xù)向高位去借”的情況。
３．乘法。
中德兩國教材在被乘數(shù)和乘數(shù)的書寫形式上正好相反。如３＋３＋３＋３，德國教材寫作４×３，而我國 教材寫作３×４。德國教材只給出一種讀法：“４乘３”，我國教材對于３×４可以有兩種讀法。由此可見， 對一個乘法算式書寫的形
式以及算式的讀法完全是人定的。
中德兩國教材在表內乘法的編排體系上存在較大差異。我國教材一般按照自然數(shù)的順序依次講述２、３、 ４、……８、９的乘法口訣。而德國教材的編排順序是：１０、５、２、４、８、３、６、９、７。德國的教 育工作者認為：一個自然數(shù)與１０相乘最方便，只要在這個數(shù)后面添上一個零即可，因此與１０相乘要先學； 而與５相乘是這個數(shù)乘以１０的一半；與２相乘就是把這個數(shù)“翻倍”；與４相乘是在與２相乘后再“翻倍” ；與８相乘是在與４相乘后“翻倍”；與３相乘和與６、與９相乘道理類似。而一個數(shù)與７相乘是最難的，因 此放在最后。表內乘法教材到底哪國的編寫順序更有利于學生學習，有待于實驗研究。
兩國教材在筆算一位數(shù)乘法時，乘的方法和順序沒有區(qū)別。在筆算多位數(shù)乘法時，我國教材采用從低位到 高位的順序，德國教材正相反，采用從高位到低位的順序。例如： 德國 我國
６９４·７２９ ６９４
×７２９
---------------- ------------------
４８５８ ６２４６
１３８８ １３８８
６２４６ ４８５８
------------- ------------------
５０５９２６ ５０５９２６
筆者認為，兩種乘法順序無本質差異。在估算時，對掌握從高位乘起的方法者更有利。
常州市教育科學研究所高級講師、特級教師邱學華評析：
朱樂平撰寫的《中德兩國小學數(shù)學教材比較研究》一文，觀點鮮明，通俗易懂。通過比較，為促進我國教 材建設服務，體現(xiàn)了“洋為中用”的原則。
通過宏觀比較，他認為我國教材知識點多，教材結構嚴謹，但是過分注重形式操練，忽視知識的實際應用 。這些意見是十分中肯的，有遠見的，表明作者具有扎實的理論基礎和豐富的實踐經(jīng)驗。
在微觀比較中，客觀地介紹了兩國的某些具體內容編排體系以及具體的計算方法。誰是誰非，作者并沒有 下結論，而是說“到底哪一種編排體系更有利學生學習，有待實驗進一步證明”，充分體現(xiàn)了作者的科學態(tài)度 。
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