數(shù)學(xué)美的哲學(xué)斷想

　數(shù)學(xué)中處處蘊(yùn)涵著美——形式的美與內(nèi)容的美，內(nèi)隱的美與外顯的美，婉約的美與奇異的美，獨(dú)立的美與統(tǒng)一的美，這些美自然而不矯作，高貴而不俗庸，沉穩(wěn)而不浮躁，冷峻中不失靈動(dòng)，奇異中又不乏和諧，這些美反映了一種自然的秩序與規(guī)律，同時(shí)也更加彰顯了人的最深層次的本質(zhì)力量對(duì)象化的外部結(jié)果。如果將彪炳史冊(cè)的數(shù)學(xué)大家們比作美的締造者與傳播者，我想，這一點(diǎn)也不為過。這是因?yàn)椋�在他們深沉的筆觸之下所流淌出來的和諧而雋永的數(shù)學(xué)樂章，歷久彌新，時(shí)刻能讓后學(xué)者感受到……
　　一組精要的數(shù)學(xué)符號(hào)，一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)公式，一條言簡深邃的數(shù)學(xué)定理，一種精彩絕倫的數(shù)學(xué)構(gòu)想……，無不閃現(xiàn)著這些數(shù)學(xué)巨人們思想深處那汩汩不息的美感之源所散發(fā)出的激情與脈動(dòng)，其升騰出的美的氤氳，籠罩著一種思維上的靈逸和深遠(yuǎn)，帶給人們一絲迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言說得好：“美是真理的光輝�！比绻麑⑦@句話投射在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我想，大量的事例都可印證其簡約的表述之下所蘊(yùn)涵的深遠(yuǎn)意境。但從更廣泛的意義看，美又何嘗不是一種力量，一種蓄以待發(fā)的、存乎自然與人最深處的追求本真的力量，一種屬性固有與理性追求的完美統(tǒng)一。不難體會(huì)到，數(shù)學(xué)的美——一種獨(dú)特的、兼具震撼力的美，本質(zhì)上包含了兩個(gè)側(cè)面的含義：主觀意義上的數(shù)學(xué)美與客觀意義上的數(shù)學(xué)美，即數(shù)學(xué)美既是一種人的能動(dòng)的主觀感受與思維表達(dá)，又是內(nèi)蘊(yùn)于客觀世界的現(xiàn)實(shí)存在。從這兩個(gè)側(cè)面出發(fā)，以一種全面、深刻、辯證的數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，站在哲學(xué)平臺(tái)上，對(duì)數(shù)學(xué)美的本質(zhì)做進(jìn)一步的剖析與探討工作，既有理論的完善意義，又具有數(shù)學(xué)美育實(shí)踐的指導(dǎo)與促進(jìn)意義。鑒于此，筆者拙筆寫下了這篇斷想。
　　1　數(shù)學(xué)美的存在性——客觀世界的反映
　　在客觀世界紛繁蕪雜的各種變化與現(xiàn)象中，時(shí)刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規(guī)律。美是客觀世界的本質(zhì)屬性，是引領(lǐng)整個(gè)客觀世界向前發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力。數(shù)學(xué)美作為科學(xué)美的重要方面，就是對(duì)自然界中客觀存在的秩序與規(guī)律從數(shù)與形的角度給予反映和揭示。具體來說，對(duì)于美的存在性，我們可以從兩個(gè)方面來認(rèn)識(shí)與考察。
　　首先，客觀世界中處處滲透與體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是對(duì)客觀世界內(nèi)在規(guī)律的反映。對(duì)于數(shù)學(xué)美與客觀世界之間的相互聯(lián)系，其實(shí)早在古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就開始著手研究。畢氏學(xué)派在研究音樂樂理的諧音與天體運(yùn)行的軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)量關(guān)系上都滿足整數(shù)比，從而就此得出結(jié)論“宇宙間萬物的總規(guī)律，其本質(zhì)就是數(shù)的嚴(yán)整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，畢氏學(xué)派試圖從數(shù)和數(shù)的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，進(jìn)而得到黃金比。這是數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識(shí)史上的一大突破。從古希臘到現(xiàn)在，黃金比在各種造型藝術(shù)中都有著重要的美學(xué)價(jià)值。現(xiàn)代科學(xué)研究甚至表明，黃金比在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中也有著應(yīng)用價(jià)值，如優(yōu)選法中的0.618法。即使在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)保健領(lǐng)域中，都可以處處感受到它的存在與神奇。最令人驚奇的是，很多生物的形體比例也是等于黃金比。難道它們都懂得優(yōu)選法，自覺采用黃金比？不！這只能證明美學(xué)家的斷言：“美是一切事物生存和發(fā)展的本質(zhì)特征�！�
　　其次，溯源于客觀世界的數(shù)學(xué)理論內(nèi)部也充滿著數(shù)學(xué)美。這種美本質(zhì)上間接地表征了客觀世界的固有規(guī)律。徐利治教授曾說過：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)、具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美……如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異美等�！惫糯�哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美�！钡拇_，數(shù)學(xué)中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的典范；希爾伯特以非構(gòu)造方法成功解決了代數(shù)不變量理論中的戈丹問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的簡單美；代數(shù)中的共扼根式、共扼復(fù)數(shù)、對(duì)稱多項(xiàng)式、對(duì)稱矩陣等。幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、鏡面對(duì)稱等，都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美；運(yùn)算、變換、函數(shù)，這三個(gè)分別隸屬代數(shù)、幾何、分析等不同數(shù)學(xué)分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統(tǒng)一于映射的概念，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美……。近代科學(xué)家開普勒更是一針見血地指出：“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型。”言簡意賅、意蘊(yùn)深遠(yuǎn)的一句話，給人以深刻的思想啟迪。
　　2　　數(shù)學(xué)美的獨(dú)特性——內(nèi)隱而深邃的理智美與理性精神
　　英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣描述過數(shù)學(xué)的美：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地�！绷_素的這番精彩論述以“冷而嚴(yán)肅”“純凈”“崇高”“嚴(yán)格”“完滿的境地”等字眼來形容數(shù)學(xué)的美，辭藻華麗且思想深刻，將數(shù)學(xué)美的與眾不同淋漓盡致地展現(xiàn)在人們面前，再進(jìn)一步看，正如前面所論述的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)包含了兩個(gè)側(cè)面（主觀意義和客觀意義）。因此，從主觀與客觀及其相互聯(lián)系統(tǒng)一的角度來研究數(shù)學(xué)美的獨(dú)特性，必然會(huì)有助于我們更好地去理解與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的內(nèi)在本質(zhì)。
　　第一，數(shù)學(xué)的美是內(nèi)在的美、隱蔽的美、深邃的美，美在數(shù)學(xué)思想內(nèi)部，數(shù)學(xué)美是客觀規(guī)律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動(dòng)反映，是自然社會(huì)化的結(jié)果，是人的本質(zhì)力量對(duì)象化的結(jié)果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創(chuàng)造。因此，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美必須透過，“抽象、枯燥”的符號(hào)、公式及定理等洞察其內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想：比如愛因斯坦創(chuàng)立的相對(duì)論可謂內(nèi)容豐富之極，但如果用式子表示的話，卻極其簡單：
　　E=mc[2],P=mv(E為能量，P為動(dòng)量，m為質(zhì)量，c為真空中的光速）并非所有人都能意識(shí)到其中的美。其實(shí)，這兩個(gè)公式代表了愛因斯坦對(duì)人類貢獻(xiàn)的精華，它們深刻地揭示了微觀、宏面、宇觀的無數(shù)質(zhì)能變化現(xiàn)象的規(guī)律，但式子卻非常簡單。其用字之少，內(nèi)容之豐富，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美。再比如，數(shù)學(xué)家們把等式
　　e[πi]+1=0
　　視為最優(yōu)美的公式，美在哪里？其實(shí)，這個(gè)式子將算術(shù)中的"1""0"，代數(shù)中的"i"，幾何中的“π”，分析中的"e"神奇地統(tǒng)一在了一起，即它們相會(huì)于天橋：e[iθ]=cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。
　　第二，從價(jià)值追求的角度看，數(shù)學(xué)美實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運(yùn)用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”；正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，以試圖回答有關(guān)人類自身提出的一些問題”；正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律”；正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得的知識(shí)的最深刻的、最完美的學(xué)科內(nèi)涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是筆者從羅素的論述中感悟到的數(shù)學(xué)美的精神層面的獨(dú)特內(nèi)涵。

　　3　數(shù)學(xué)美的驅(qū)動(dòng)性——個(gè)人創(chuàng)新與數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)力
　　對(duì)于數(shù)學(xué)美的追求歷來是科學(xué)家進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要內(nèi)部驅(qū)動(dòng)力。阿達(dá)瑪與彭加勒都曾從心理學(xué)角度闡釋美與發(fā)明創(chuàng)造之間的關(guān)系。他們認(rèn)為，創(chuàng)造的本質(zhì)就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學(xué)美感。正如阿達(dá)瑪所說的：“科學(xué)美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向?qū)В�”因�(yàn)�，“唯有美感能預(yù)示將來的研究結(jié)果是否會(huì)富有成果�！睌�(shù)學(xué)史的研究表明，希臘幾何學(xué)家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再?zèng)]有什么其他動(dòng)力了。著名物理學(xué)家麥克斯韋在沒有任何實(shí)驗(yàn)依據(jù)的情況之下，僅從數(shù)學(xué)美的考慮出發(fā)，將實(shí)驗(yàn)得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對(duì)稱優(yōu)美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了，而且利用方程還可推導(dǎo)出一系列令人陶醉的結(jié)果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動(dòng)力與支配力。誠如愛因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不斷地給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、美和真。”事實(shí)上，愛因斯坦所提出的科學(xué)思想，有很多是出于美學(xué)而不是邏輯的考慮。他對(duì)實(shí)驗(yàn)和理論不相符的憂慮，甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及對(duì)基本原理的不簡潔、不和諧所引起的憂慮，而這正是刺激他的思想的源泉。
　　從廣泛的意義上看，對(duì)數(shù)學(xué)美的追求也在不斷推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)向前發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不啻是一部追求數(shù)學(xué)美的前進(jìn)史。比如，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈地追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，從而相繼誕生出三部數(shù)學(xué)巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數(shù)學(xué)原理》，布爾巴基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數(shù)學(xué)家們很早就對(duì)歐氏平行公理的自明性和獨(dú)立性產(chǎn)生懷疑，經(jīng)過幾個(gè)世紀(jì)的研究，最終導(dǎo)致非歐幾何的建立。此外，對(duì)于奇異性的追求也同樣推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展，對(duì)此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個(gè)極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認(rèn)為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識(shí)也仍然放射出光芒的話，人們就將仍把哥德爾的工作……看成一切知識(shí)的中心�！�
　　綜上所述，無論是對(duì)個(gè)人的創(chuàng)新，還是對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的整體發(fā)展，數(shù)學(xué)美的推動(dòng)作用都是毋庸質(zhì)疑的。從本質(zhì)上說，對(duì)于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性的追求過程就是個(gè)人與群體認(rèn)識(shí)不斷深化和發(fā)展的過程。正如鄭額信教授所說：“無論是對(duì)于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性或抽象性的追求，事實(shí)上都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能獲得更深刻、更全面、更正確的認(rèn)識(shí)。因此，他們總是希望能將復(fù)雜的東西予以簡單化，將分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總是希望能開拓新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實(shí)上也就是認(rèn)識(shí)不斷得到發(fā)展和深化的過程。”
　　4　數(shù)學(xué)美的甄別性——評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理論的重要標(biāo)準(zhǔn)之一
　　古往今來的很多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都將數(shù)學(xué)美視作衡量自己或他人研究成果的重要評(píng)價(jià)尺度之一。數(shù)學(xué)美猶如一個(gè)篩子，數(shù)學(xué)家們利用這個(gè)篩子對(duì)理論中的各種因素做總體上的甄別與評(píng)判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統(tǒng)一。著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就曾說過：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要都是美學(xué)的�！饼嬁ㄈR則更明確地說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)……一個(gè)解答、一個(gè)證明的和諧、對(duì)稱以及恰到好處的平衡……能使我們對(duì)整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識(shí)和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方。”
　　數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們之所以如此看重?cái)?shù)學(xué)美，就是因?yàn)閿?shù)學(xué)美的甄別性在一定程度上為該理論的發(fā)展前景作出了預(yù)測，同時(shí)也在一定程度上為科學(xué)家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產(chǎn)生始于17世紀(jì)，在當(dāng)時(shí)，由于人們對(duì)概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數(shù)學(xué)的簡單美與統(tǒng)一美，不僅對(duì)論述無限隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列或一般的隨機(jī)過程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)也很方便。歷史的發(fā)展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進(jìn)一步發(fā)展，而且后來還產(chǎn)生了不少新的分支。正如Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應(yīng)該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預(yù)言、解釋、提供范例，可用它來進(jìn)行工作，因而數(shù)學(xué)美能激起人們的熱情，對(duì)它的追求就好像是一種信仰行為……數(shù)學(xué)美是對(duì)理論具有決定取舍作用的一個(gè)準(zhǔn)則�！�
　　5　數(shù)學(xué)美的層次性——主觀客觀彼此交融的重要特征之一
　　根據(jù)前面的分析，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)在兩個(gè)側(cè)面，即它既是一種客觀世界的本質(zhì)屬性，又是人對(duì)于這種本質(zhì)屬性的主觀認(rèn)識(shí)與感受，且二者之間是辯證的融合。站在這樣的一種辨證的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)觀（數(shù)學(xué)的主觀美、客觀美及其你中有我、我中有你）平臺(tái)上，筆者認(rèn)為，從客體作用于主體的角度考察，客觀世界存在的各種數(shù)學(xué)美的外部呈現(xiàn)與反映體現(xiàn)出典型的層次性特征。從本質(zhì)上說，這種美的層次性特征既表達(dá)了客體美對(duì)人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現(xiàn)了個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)美的主觀認(rèn)識(shí)上的階段性與發(fā)展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對(duì)這一課題做了獨(dú)特而深入的研究，他們結(jié)合數(shù)學(xué)美育，從主觀認(rèn)識(shí)與客觀反映之間辨證聯(lián)系的角度出發(fā)，提出了數(shù)學(xué)美的四個(gè)層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點(diǎn)，探究優(yōu)化課堂教學(xué)的策略與構(gòu)想。在此，筆者相信，對(duì)該課題的研究將會(huì)是繼續(xù)深入、不斷完善的。
　　6　結(jié)束語
　　在教育部剛剛制定并頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，有關(guān)數(shù)學(xué)美的要求已開始有所涉及，這反應(yīng)了一種趨勢，即數(shù)學(xué)美育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比重將逐漸加大。

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