左刪失右截斷數(shù)據(jù)的分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間估計

　  一、引言
　　在生存分析研究中，一些個體生存時間的開始點在試驗開始之前，所以人們無法觀察到這些個體在進(jìn)入試驗之前的數(shù)據(jù)。這樣所獲得的個體數(shù)據(jù)就是左截斷數(shù)據(jù)。如果個體一旦進(jìn)入試驗，人們可能在試驗結(jié)束之前未能完全觀察到這個個體的全部過程，因此引起了右刪失的數(shù)據(jù)。這樣的左截斷右刪失數(shù)據(jù)是生存分析中常常遇到的數(shù)據(jù)之一。具體地說，設(shè)(X,T,Y)表示三維的隨機(jī)變量，其中X為感興趣的隨機(jī)變量，具有連續(xù)的分布函數(shù)F；T是左截斷隨機(jī)變量具有分布函數(shù)G，以及Y是右刪失隨機(jī)量具有分布L。假定X是與(T,Y)獨(dú)立的，但T和Y可以是相關(guān)的。所謂左截斷右刪失數(shù)據(jù)是：如果Z≥T,(Z,T,δ)是可以觀察的，其中Z=X∧Y=min(X,Y)和δ=I(X≤Y)。而當(dāng)Z＜T時，人們無法觀察到任何數(shù)據(jù)。不失一般性，設(shè)α≡P(T≤Z)＞0和W表示Z的分布函數(shù)，即有1-W=(1-F)(1-L)。在文中，設(shè)(Z[,i],T[,i],δ[,i])是一列獨(dú)立同分布的觀察樣本且與(Z,T,δ),i=1,2,…,n具有相同的分布。又設(shè)表示分布函數(shù)的累積風(fēng)險函數(shù)。周知，累積風(fēng)險函數(shù)Λ與分布函數(shù)F是一對一的關(guān)系，具有如下表示式
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　　容易證明
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　　在左截斷右刪失數(shù)據(jù)下，固定寬度的分位數(shù)序貫置信區(qū)間估計是生存分析中的重要研究對象之一，一個例子是基于分位數(shù)估計對研究對象進(jìn)行分類。有關(guān)的真實數(shù)據(jù)是心臟病的心率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見[8]），目的是進(jìn)行它和正常人數(shù)據(jù)的比較，由于沒有足夠多的數(shù)據(jù)和所獲數(shù)據(jù)的不完全性，難于對分位數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計。因此準(zhǔn)確分類也是不可能的。但一個重要而有效的解決方法是進(jìn)行序貫試驗，在給定所要求的精度下，適當(dāng)增加試驗樣本。在獨(dú)立同分布情況下，Choudhury,Serfling[9]研究了相類似的固定長度的序貫置信區(qū)間。在右刪失數(shù)據(jù)下，Gijbels,Veraverbeke[10,11]以及Wang,Hettmansperger[12]研究了這樣的置信區(qū)間，Gürler,Stute,Wang[4]考慮了左截斷的情況。
　　在生存分析中，序貫方法是生物統(tǒng)計中一種廣泛應(yīng)用的方法之一，它的優(yōu)點是節(jié)約成本和試驗時間，在試驗中可以由它來控制所需的時間和成本進(jìn)行抽樣。在實際工作中，試驗者往往要求在給定的置信水平和滿足一定的精度下，對所感興趣的量進(jìn)行統(tǒng)計估計和推斷，同時不要浪費(fèi)太多的資源。因此，此時的序貫區(qū)間估計就是一種很好的選擇。具體體現(xiàn)是，人們首先要求統(tǒng)計推斷滿足一定精度，即是給定固定區(qū)間的長度，當(dāng)置信水平已知（即給定某個置信水平）的情況下進(jìn)行抽樣。這些方法在大多數(shù)的應(yīng)用中是很乎合實際要求的。這就是所謂固定寬度的序貫置信區(qū)間估計。本文就在這方面進(jìn)行研究。
　　為了證明分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間的漸近性質(zhì)，我們給出一個擴(kuò)展的p[,n]分位估計的Bahadur的強(qiáng)表示定理，其中p[,n]可以是一個隨機(jī)量。當(dāng)ξ[,pn]是ξ[,p]強(qiáng)相合估計。在某些簡單的條件下，的Bahadur表示是
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　　其中f=F'和R[,n]是剩余項。在下一節(jié)，我們給出剩余項R[,n]的幾乎處處漸近收斂速度，其中是一列收斂于p的隨機(jī)變量。對于特別的應(yīng)用，p[,n]一般定義為乘積限估計的漸近方差的泛函。此表示定理在推導(dǎo)分位數(shù)估計的大樣本性質(zhì)上具有廣泛的應(yīng)用，此結(jié)果是[13]中重要結(jié)果的推廣。為了獲得分位數(shù)的置信區(qū)間估計，這種推廣是必要的。在此節(jié)的最后，給出相合的漸近方差估計。為方便，假設(shè)Y和T是非負(fù)的隨機(jī)變量。在本文，我們多次用到如下的積分條件，對于任意T＜T[,W]，
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　　根據(jù)[7]的結(jié)果，我們表述如下的引理
　　引理1.1  假定a[,G]＜a[,W]或a[,G]=a[,W]和(3)成立。當(dāng)a[,W]＜x≤b＜b[,W]，一致地有
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　　其中表示概率收斂。
　　在右刪失數(shù)據(jù)下，Cheng[14],Aly,,Horváth[15],Lo,Singh[16]研究了Bahadur表示中剩余項R[,n](p)的幾乎處處收斂速度。Gijbels,Veraverbeke[10,11]給出了Ghosh型的弱表示定理。Zhou[17]考慮了光滑分位數(shù)估計和給出了其一致Bahadur表示定理。Padgett[18]獲得了些核光滑的分位數(shù)估計的漸近性質(zhì)。Gürler,Stute,Wang[4]首先考慮了左截數(shù)據(jù)下的分位數(shù)估計的各種漸近性質(zhì)。
　　  二、Bahadure表示定理及固定長度置信區(qū)間
　　在這節(jié)，給出分位數(shù)估計表示式(2)的結(jié)果。為些我們需要如下的條件。
　　條件(i)  對于T＜T[,W]，
　　附圖
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　　雖然f的估計容易獲得，但是卷入麻煩的窗寬選擇，因此盡量不用其非參數(shù)估計。使用Y[,i]的次序統(tǒng)計量可以簡單地構(gòu)造分位數(shù)的置信區(qū)間，克服使用f的非參數(shù)估計的窗寬選擇的麻煩。這置信區(qū)間是
　　附圖
　　關(guān)于固定長度的序貫區(qū)間方法(11)及其所要求的隨機(jī)樣本大小τ，我們?nèi)菀淄茖?dǎo)出如下定理。
　　附圖
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　　在這里，我們進(jìn)行一個小的計算機(jī)模型試驗，目的是在左截斷右刪失數(shù)據(jù)下，檢驗分位數(shù)估計序貫方法的有效性，以及在給定精度下，如何有效地進(jìn)行序貫試驗，即在更短的試驗時間里，獲得合乎精度要求的分位數(shù)估計。我們的隨機(jī)試驗是在如下的條件下進(jìn)行的。設(shè)(X,T,Y)分別來自指數(shù)分布的隨機(jī)變量，對應(yīng)于指數(shù)分布的參數(shù)分別是θ[,1],θ[,2],θ[,3]，它們的值分別取1,1.5,0.25。共進(jìn)行500次試驗，每次產(chǎn)生樣本數(shù)分別是100,200和500。因此，在這些設(shè)計下，被刪失的數(shù)據(jù)占20%而且被截斷的占45%。獲得的結(jié)果如上表。其它參數(shù)的組合下進(jìn)行了同樣的模擬試驗，所獲結(jié)果與此情況相似，故略。在此我們僅列出樣本為200的結(jié)果，其它情況略。
　　表中的是指數(shù)分布p-分位數(shù)的估計，對于每個分位數(shù)的序貫估計分別取3種不同的精度。d[,1]的取法是全樣本下的分位數(shù)估計值除以1.96,d[,2]是d[,1]的一半。而d[,3]是全樣本估計的標(biāo)準(zhǔn)差乘以1.96的兩倍再除于,n是全部樣本的數(shù)量。sd(Q)(se)指的是標(biāo)準(zhǔn)方差和在括號里面的是500次分位估計值的標(biāo)準(zhǔn)方差。Bias是估計相對誤差。n(d)是序貫方法所使用的樣本數(shù)。Covag是分位數(shù)估計落入95%的置信區(qū)間的次數(shù)。這個數(shù)值越靠近95%越好。從表中我們可以看出，序貫估計是相當(dāng)精確的。同時，我們可以從下面p-分位數(shù)估計的直方圖中可以看出，不管是全樣本還是部分樣本的分位數(shù)估計的分布形狀近似于正態(tài)分布，而且它們是非常相近。最后，從表中看出當(dāng)分位點靠近分布的尾部時，標(biāo)準(zhǔn)差估計不足，這主要是在方差估計中我們使用了(1-p)[2]這個因子。相信適當(dāng)?shù)男薷母倪M(jìn)這個估計。
　　附圖
　　分位點p=0.5，指數(shù)分布p分位數(shù)的真值是0.6928。圖(a)是全樣本分位數(shù)估計，估計值是0.690，圖(b)是在區(qū)間長度的精度為d[,1]=0

.30下，分位數(shù)序貫估計，估計值是0.653。圖(c)是在區(qū)間長度的精度為d[,2]=0.15下，分位數(shù)序貫估計，估計值是0.653。圖(d)是在區(qū)間長度的精度為d[,3]=0.10下，分位數(shù)序貫估計，估計值是0.689。
　　  三、定理的證明
　　下面的一些引理具有獨(dú)立的應(yīng)用意義。首先我們擴(kuò)展p-分位數(shù)的定義到p=0和p=1。
　　證  這個引理的證明與周勇[13]中的引理2類似，故略。
　　命題2.1的證明  注意到
　　附圖
　　證  周知，僅要證明對于某個d[,0]＞0，有
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　　4.由引理3.5，隨機(jī)變量是一致可積的，因此(22)取均值仍成立。最后，因為一致可積性可推得，因此有Eτ＜∞,d＞0。定理2.2獲證。
【責(zé)任編輯】彭非
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