復數(shù)的加法與減法

教學目標

　　 （1）掌握復數(shù)加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

　�。�2）理解并掌握復數(shù)加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

　　（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

　�。�4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；

　�。�5）通過本節(jié)內(nèi)容的學習，培養(yǎng)學生良好思維品質(zhì)（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）．

教學建議

一、知識結(jié)構

二、重點、難點分析

　　本節(jié)的重點是復數(shù)加法法則。難點是復數(shù)加減法的幾何意義。復數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則，它是復數(shù)加減法運算的基礎，對于這個規(guī)定的合理性，在教學過程中要加以重視。復數(shù)加減法的幾何意義的難點在于復數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法，以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

三、教學建議

　�。�1）在復數(shù)的加法與減法中，重點是加法．教材首先規(guī)定了復數(shù)的加法法則．對于這個規(guī)定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規(guī)定的合理性：①當 時，與實數(shù)加法法則一致；②驗證實數(shù)加法運算律在復數(shù)集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則．
　�。�2）復數(shù)加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數(shù)是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）．
　�。�3）向?qū)W生介紹復數(shù)加法的三角形法則．講過復數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和．這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量．
　�。�4）向?qū)W生指出復數(shù)加法的三角形法則的好處．向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數(shù)減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便．
　　（5）講解了教材例2后，應強調(diào) （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數(shù) － 對應的向量．點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數(shù) － 的模，即 ．

　　例如，起點對應復數(shù)－1、終點對應復數(shù) 的那個向量（如圖），可用 來表示．因而點 與 （ ）點間的距離就是復數(shù)     的模，它等于 。

 

教學設計示例

復數(shù)的減法及其幾何意義

      教學目標

　　1．理解并掌握復數(shù)減法法則和它的幾何意義．

　　2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想和方法，提高分析、解決問題能力．

　　3．培養(yǎng)學生良好思維品質(zhì)（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）．

教學重點和難點

　　重點：復數(shù)減法法則．

　　難點：對復數(shù)減法幾何意義理解和應用．

教學過程設計

（一）引入新課

　　上節(jié)課我們學習了復數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數(shù)減法及其幾何意義．（板書課題：復數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復數(shù)減法

　　復數(shù)減法是加法逆運算，那么復數(shù)減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

1．復數(shù)減法法則

　�。�1）規(guī)定：復數(shù)減法是加法逆運算；

　�。�2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則．

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．

　　推導的想法和依據(jù)把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算．

　　推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即復數(shù) + i為復數(shù) + i減去復數(shù) + i的差．由規(guī)定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據(jù)加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據(jù)復數(shù)相等定義，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．這樣推導每一步都有合理依據(jù)．

　　我們得到了復數(shù)減法法則，兩個復數(shù)的差仍是復數(shù)．是唯一確定的復數(shù)．

　　復數(shù)的加（減）法與多項式加（減）法是類似的．就是把復數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．

（三）復數(shù)減法幾何意義

　　我們有了做復數(shù)減法的依據(jù)——復數(shù)減法法則，那么復數(shù)減法的幾何意義是什么？
　　設z= + i（ ， ∈R），z₁= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖

　　由于復數(shù)減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由復數(shù)加法幾何意義，以 為一條對角線， ₁為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 ₂所表示的向量OZ₂就與復數(shù)z-z₁的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖．

　　在這個平行四邊形中與z-z₁差對應的向量是只有向量 ₂嗎？ 

　　還有 ． 因為OZ₂ Z₁Z，所以向量 ，也與z-z₁差對應．向量 是以Z₁為起點，Z為終點的向量．

　　能概括一下復數(shù)減法幾何意義是：兩個復數(shù)的差z-z₁與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應．

（四）應用舉例





　　在直角坐標系中標Z₁（-2，5），連接OZ₁，向量 ₁與多數(shù)z₁對應，標點Z₂（3，2），Z₂關于x軸對稱點Z₂（3，-2），向量 ₂與復數(shù)對應，連接，向量與的差對應（如圖）．

　　例2　根據(jù)復數(shù)的幾何意義及向量表示，求復平面內(nèi)兩點間的距離公式．

　　解：設復平面內(nèi)的任意兩點Z₁，Z₂分別表示復數(shù)z₁，z₂，那么Z₁Z₂就是復數(shù)對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數(shù)z₂-z₁的模．如果用d表示點Z₁，Z₂之間的距離，那么d=|z₂-z₁|．

　　例3  在復平面內(nèi)，滿足下列復數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么．

　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數(shù)Z與復數(shù)1+i差的模．

　　幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離．方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數(shù)z與復數(shù)-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離．這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線．

　　（2）|z+i|+|z-i|=4；

　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡．滿足方程的動點軌跡是橢圓．

　�。�3）|z+2|-|z-2|=1．

　　這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線．是雙曲線右支．

　　由z₁-z₂幾何意義，將z₁-z₂取模得到復平面內(nèi)兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．

　　例4  設動點Z與復數(shù)z= + i對應，定點P與復數(shù)p= + i對應．求

　�。�1）復平面內(nèi)圓的方程；

　　解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

　　由圓的定義，得復平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r．

　�。�2）復平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R₊）的點Z的集合是什么圖形？

　　解：復平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R₊）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．利用復平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結(jié)

　　我們通過推導得到復數(shù)減法法則，并進一步得到了復數(shù)減法幾何意義，應用復數(shù)減法幾何意義和復平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業(yè)P193習題二十七：2，3，8，9．

 

探究活動

復數(shù)等式的幾何意義

　　復數(shù)等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數(shù)等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

       分析與解

　　1．  復數(shù)等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2．  復數(shù)等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3．  復數(shù)等式 在復平面上表示一條線段。

　　4．  復數(shù)等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5．  復數(shù)等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

　　說明　復數(shù)與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數(shù)的代數(shù)形式工（幾何意義）之

間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數(shù)知識的掌握。

 

【復數(shù)的加法與減法】相關文章：

《小數(shù)的加法與減法》教學反思03-06

小數(shù)加法和減法教學反思01-25

《小數(shù)加法和減法》教學反思03-27

小數(shù)加法和減法的教學反思03-07

小數(shù)的加法和減法教學反思03-23

《小數(shù)加法和減法》說課稿（精選30篇）05-16

萬以內(nèi)的加法減法二教學反思01-02

100以內(nèi)加法和減法教學反思12-31

萬以內(nèi)的加法和減法教學反思03-22

100以內(nèi)的加法和減法教學反思03-22