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排列、組合、二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
排列、組合、二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；
�。�2）能結(jié)合樹(shù)形圖來(lái)幫助理解加法原理與乘法原理；
�。�3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個(gè)原理與分類(lèi)有關(guān)，哪一個(gè)原理與分步有關(guān)；
（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題，提高學(xué)生理解和運(yùn)用兩個(gè)原理的能力；
�。�5）通過(guò)對(duì)加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是加法原理與乘法原理，難點(diǎn)是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個(gè)原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)內(nèi)容之中，一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時(shí)有許多直接應(yīng)用。
兩個(gè)原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問(wèn)題，其區(qū)別在于：運(yùn)用加法原理的前提條件是， 做一件事有n類(lèi)方案，選擇任何一類(lèi)方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的；運(yùn)用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個(gè)驟，只要在每個(gè)步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的。簡(jiǎn)單的說(shuō)，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類(lèi)的問(wèn)題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問(wèn)題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。
三、教法建議
關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)要分三個(gè)層次：
第一是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)與理解．這里要求學(xué)生理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的意義，并弄清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計(jì)數(shù)原理，什么情況下使用乘法計(jì)數(shù)原理．（建議利用一課時(shí)）．
第二是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的使用．可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議利用兩課時(shí)）：
�、儆�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位號(hào)碼；
�、谟�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位整數(shù)；
�、塾�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；
�、苡�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；
�、萦�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；
�、抻�0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．
第三是使學(xué)生掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該貫徹整個(gè)教學(xué)中，每個(gè)排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，每一道排列、組合問(wèn)題都可以直接利用兩個(gè)原理求解，另外直接計(jì)算法、間接計(jì)算法都是兩個(gè)原理的一種體現(xiàn)．教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)、分步，用好、用活兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
加法原理和乘法原理
教學(xué)目標(biāo)
正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．
難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用．
�。ㄒ唬┮胄抡n
從本節(jié)課開(kāi)始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問(wèn)題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問(wèn)題，就離不開(kāi)它．
今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．
�。ǘ┲v授新課
1．介紹兩個(gè)基本原理
先考慮下面的問(wèn)題：
問(wèn)題1：從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船．一天中，火車(chē)有4個(gè)班次，汽車(chē)有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？
因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有4種走法，乘汽車(chē)有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．
這個(gè)問(wèn)題可以總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理（打出片子——加法原理）：
加法原理：做一件事，完成它可以有幾類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．
請(qǐng)大家再來(lái)考慮下面的問(wèn)題（打出片子——問(wèn)題2）：
問(wèn)題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見(jiàn)下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？
這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．
一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
2．淺釋兩個(gè)基本原理
兩個(gè)基本原理的用途是計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．
比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？
兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．
看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：
題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類(lèi)辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類(lèi)辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類(lèi)辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)．
1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．
題2：在前面的問(wèn)題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)，共有多少種不同的走法？
第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．
題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．
從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．
（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）
進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，要求各類(lèi)辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．
如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．
也就是說(shuō)：類(lèi)類(lèi)互斥，步步獨(dú)立．
�。ㄔ趯W(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類(lèi)都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類(lèi)、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）
�。ㄈ⿷�(yīng)用舉例
現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了．
例1 書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)．
（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？
（2）若從這些書(shū)中，取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？
�。�3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法？
（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫(xiě)出這3個(gè)問(wèn)題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）
�。�1）從書(shū)架上任取一本書(shū)，可以有3類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書(shū)中任取1本，有3種方法；第二類(lèi)辦法是從5本不同的語(yǔ)文書(shū)中任取1本，有5種方法；第三類(lèi)辦法是從6本不同的英語(yǔ)書(shū)中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是
N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書(shū)架上任取一本書(shū)的不同取法有14種．
�。�2）從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書(shū)，有3種方法；第二步取1本語(yǔ)文書(shū)，有5種方法；第三步取1本英語(yǔ)書(shū)，有6種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，從書(shū)架上取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，有90種不同的方法．
�。�3）從書(shū)架上任取不同科目的書(shū)兩本，可以有3類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×5種方法；第二類(lèi)辦法是數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×6種方法；第三類(lèi)辦法是語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，從書(shū)架任取不同科目的書(shū)兩本的不同取法有63種．
例2 由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？
解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是N=4×5×5=100．
答：可以組成100個(gè)三位整數(shù)．
教師的連續(xù)發(fā)問(wèn)、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計(jì)算方法，使學(xué)生的分析問(wèn)題能力有所提高．教師在第二個(gè)例題中給出板書(shū)示范，能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)兩個(gè)基本原理實(shí)質(zhì)的理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書(shū)寫(xiě)，對(duì)于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、規(guī)范書(shū)寫(xiě)良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用，也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個(gè)基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ).
（四）歸納小結(jié)
歸納什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理：
分類(lèi)時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理．
應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)需要注意分類(lèi)時(shí)要求各類(lèi)辦法彼此之間相互排斥；分步時(shí)要求各步是相互獨(dú)立的．
�。ㄎ澹┱n堂練習(xí)
P222：練習(xí)1～4．
�。▽�(duì)于題4，教師有必要對(duì)三個(gè)多項(xiàng)式乘積展開(kāi)后各項(xiàng)的構(gòu)成給以提示）
�。┎贾米鳂I(yè)
P222：練習(xí)5，6，7．
補(bǔ)充題：
1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？
�。ㄌ崾荆喊词簧蠑�(shù)字的大小可以分為9類(lèi)，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個(gè)個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)）
2．某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個(gè)不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫(xiě)3個(gè)不同的志愿，求該生填寫(xiě)志愿的方式的種數(shù)．
�。ㄌ崾荆盒枰慈齻�(gè)志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）種填寫(xiě)方式）
3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？
�。ㄌ崾荆嚎梢杂孟旅娣椒▉�(lái)求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）類(lèi)中每類(lèi)都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)）
4．某小組有10人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中8人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，（1）從中任選一個(gè)會(huì)外語(yǔ)的人，有多少種選法？（2）從中選出會(huì)英語(yǔ)與會(huì)日語(yǔ)的各1人，有多少種不同的選法？
提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)
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