基本作圖

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．熟練運(yùn)用尺規(guī)完成四種基本作圖，并會(huì)寫出已知、求作和作法．

　　2．培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力．

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是掌握四種基本作圖；難點(diǎn)是用準(zhǔn)確精練的幾何語(yǔ)言敘述作圖過程．

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　一、作圖的預(yù)備知識(shí)

　　1．明確尺規(guī)作圖和基本作圖的含義．

　　教師應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖與以前畫圖的區(qū)別，如解釋以前角平分線，垂線、平行線的畫法為什么不符合尺規(guī)作圖的要求．

　　2．常用的作圖語(yǔ)句的練習(xí)．

　　(1)如圖1(a)，平面上有三點(diǎn)A，B，C，按下列要求完成作圖：

　　①過點(diǎn)A，點(diǎn)B作直線AB(簡(jiǎn)稱“作直線AB”)；

　�、谧魃渚�CA；

　�、垩娱L(zhǎng)BC到D，使 CD=BC；

　　④在線段BA上截取BH=BC；

　　⑤連結(jié)兩點(diǎn)H，C(簡(jiǎn)稱“連結(jié)HC”)．

　　答案見圖1(b)．

　　(2)如圖1(c)，按下列要求完成作圖：

　�、僖渣c(diǎn)D為圓心，AD為半徑作弧交DC于E；

　�、诜謩e以點(diǎn)B，C為圓心，DC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，G．

　　以上為七種基本語(yǔ)句．

　　二、思考并實(shí)現(xiàn)四種基本作圖

　　1．作一個(gè)角等于已知角．

　　(1)教師帶領(lǐng)學(xué)生分析標(biāo)題，分清已知、求作，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示．注意“求作”中先寫出作什么圖形，再寫出它所需滿足的條件．

　　已知∠AOB(如圖2(a))．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．

　　(2)教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考作圖的實(shí)現(xiàn)過程，注意以下幾點(diǎn)：

　�、偎悸罚豪�用全等三角形的判定方法來實(shí)現(xiàn)作圖過程，將∠AOB放到△COD中(如圖2(b))，利用“SAS”公理作出與△COD全等的△C′O′D′，從而得

　　到∠A′O′B′=∠AOB(如圖2(c))．

　�、跒楹�(jiǎn)化作圖過程，便于操作，可取△COD為等腰三角形，即在∠AOB的兩邊上截取OC=OD．更進(jìn)一步地，可改造成尺規(guī)作圖的語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)練的作圖語(yǔ)句準(zhǔn)確描述作圖的實(shí)施過程．

　　(3)按照課本作法作圖并證明．證明時(shí)要注意作圖的作法中提供的邊的條件．

　　以下幾種基本作圖都可仿照此步驟處理．

　　2．平分已知角．

　　已知：∠AOB(如圖3)．

　　求作：∠AOB內(nèi)部的射線OC，使∠AOC=∠COB．

　　(1)教師重點(diǎn)分析作法是怎樣想出來的．

　�、俳梃b基本作圖Ⅰ的思路，畫出符合條件的示意圖，分析如何構(gòu)造以∠AOC，

　　∠COB為元素的兩個(gè)全等三角形．

　　答：用“SSS”構(gòu)造△ODF與△OEF，其中OD=OE，F(xiàn)在OC上，DF=EF．

　�、诜治鋈绾斡米鲌D實(shí)現(xiàn)以上過程：

　　要使OD=OE，以O(shè)為圓心任意長(zhǎng)為半徑作弧即可；要確定∠AOB上一點(diǎn)F，使DF=EF，只要分別以D，E為圓心，特定長(zhǎng)a為半徑作弧，注意為保證兩弧能有

　　
　　(2)讓學(xué)生整理思路，按課本作法作圖并證明．

　　練習(xí)1 作平角∠AOB的平分線OC，并回答OC與直線AB有何關(guān)系？

　　練習(xí)2 如圖4，已知：鈍角∠MCN．

　�、偾笞鳌螹CN的平分線CF；

　�、谠趯W(xué)生畫出圖4的基礎(chǔ)上，求證ED⊥CF，CF平分DE．

　　3．經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線．

　　已知直線AB和一點(diǎn)C，求作AB的垂線，使它過點(diǎn)C．

　　注意以下幾點(diǎn)：

　　(1)分析標(biāo)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)討論已知點(diǎn)C與已知直線AB的位置關(guān)系(兩種情況)．

　　(2)對(duì)于點(diǎn)C在直線AB上的情況，引導(dǎo)學(xué)生將新問題化歸為已知情況——過直線AB上一點(diǎn)C平分平角∠ACB．

　　(3)當(dāng)點(diǎn)C不在直線AB上時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生由練習(xí)2的作法和證明結(jié)論來提煉出本題的作圖方法：先確定D，E兩點(diǎn)(注意書上選取K點(diǎn)的作用)，再確定F點(diǎn)(找F時(shí)所作弧的半徑有特定條件)．

　　4．作線段的垂直平分線．

　　重點(diǎn)分析基本作圖4與練習(xí)2的關(guān)系．

　　分析圖4中的結(jié)論：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分線CF，只需確

　　
　　三、四種基本作圖的變式和復(fù)合練習(xí)

　　例1 用尺規(guī)按下列要求作圖．(不寫作法只畫圖)

　　(1)如圖5，在∠AOD的內(nèi)部作射線OB，使∠AOB=∠COD．

　　(2)作一個(gè)角的余角．

　　(3)把線段AB四等分．

　　(4)如圖6，在鈍角△ABC中，∠ABC為鈍角．求作：

　�、佟鰽BC中∠ACB的平分線CD；

　�、凇鰽BC中BC邊上的高AH；

　�、跘C邊的中垂線EF；

　�、蹵B邊上的中線CG．

　　(5)如圖7，已知直線AB和AB外一點(diǎn)C．求作：過C的直線CD∥AB．(提示：過C作直線l交AB于點(diǎn)E，在點(diǎn)C處作∠CEB的同位角(或內(nèi)錯(cuò)角)，使它等

　　于∠CEB．)

　　四、師生共同小結(jié)

　　1．目前已學(xué)過的五種基本作圖；

　　2．幾種常用的作圖語(yǔ)句；

　　3．尺規(guī)作圖的基本步驟；

　　4．以后作圖中再遇到五種基本作圖時(shí)，不必再重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只需給出標(biāo)題，如作線段的垂直平分線”．

　　五、作業(yè)(略)

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成．

　　1．為了分散難點(diǎn)，便于學(xué)生用語(yǔ)言準(zhǔn)確敘述本節(jié)課的基本作圖，教師設(shè)計(jì)了預(yù)備知識(shí)這一部分，目的是讓學(xué)生熟悉所要用到的常用作圖語(yǔ)句，以及讓學(xué)生自己分析思考如何用這些語(yǔ)句來解決本節(jié)的基本作圖．

　　2．基本作圖的分析過程要教給學(xué)生分析的方法，逐層實(shí)現(xiàn)目的，并要揭示四個(gè)基本作圖分別“怎樣想出來”和“為什么這樣想”的思維過程，變學(xué)生“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)”，更好地理解和掌握四種基本作圖．

　　3．教師根據(jù)課時(shí)情況，可將第三部分的基本作圖的部分練習(xí)題(如例1(1)，(4)①)插到基本作圖1，2后．

　　4．本課在基本作圖2后面設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)，目的是既鞏固基本作圖2的各種變式情況下的作圖，又為基本作圖3，4啟發(fā)思路．實(shí)質(zhì)上，作角平分線與作垂線和中垂線的方法相類似．

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